Disequazioni Goniometriche Elementari

Le disequazioni goniometriche elementari sono quelle del tipo sen x > m, cos x > m, tan x > m. Il trucco sta nel seguire sempre lo stesso metodo in tre passi.

Prima scegli un intervallo con ampiezza uguale al periodo della funzione (per seno e coseno è 2π, per tangente è π). Poi risolvi la disequazione solo in questo intervallo limitato.

Infine, scrivi le soluzioni per tutto l'asse reale usando la periodicità. Ad esempio, se cos x < 1/2, prima trovi le soluzioni in [0, 2π], poi aggiungi +2kπ per ottenere tutte le soluzioni possibili.

💡 Trucco: Ricorda che quando includi gli estremi (con ≤ o ≥), devi controllare se lo zero è compreso nelle soluzioni!

Disequazioni Fratte e Sistemi

Le disequazioni fratte con funzioni goniometriche seguono le stesse regole delle fratte normali. Devi studiare separatamente numeratore e denominatore, poi fare la tabella dei segni.

Per esempio, con cos(2x)/$tan x + 1$ ≤ 0, trovi quando cos(2x) ≥ 0 e quando tan x + 1 > 0. Attenzione: il denominatore non può mai essere zero!

I sistemi di disequazioni goniometriche si risolvono come i sistemi normali. Risolvi ogni disequazione separatamente, poi fai l'intersezione delle soluzioni. La parte più importante è rappresentare graficamente gli intervalli per vedere dove si sovrappongono.

⚠️ Attenzione: Nelle disequazioni fratte, il denominatore deve sempre essere diverso da zero!

Trovare le Soluzioni Finali

Per le soluzioni finali di un sistema, devi vedere dove si intersecano tutti gli intervalli che hai trovato. È come trovare la parte comune tra diverse "fette" dell'asse reale.

Il modo più efficace è disegnare una retta numerica e segnare tutti gli intervalli. Le soluzioni del sistema sono solo le parti dove tutti gli intervalli si sovrappongono.

Non dimenticare di controllare sempre la periodicità: se trovi una soluzione in un periodo, quella soluzione si ripete infinitamente aggiungendo il periodo della funzione.