Disequazioni Fratte: Il Metodo che Funziona Sempre

Quando hai una disequazione fratta come $\frac{x^2-5x+6}{x^2-9} \leq 0$, devi studiare separatamente numeratore (N) e denominatore (D). Il trucco è ricordare che il denominatore non può mai essere zero!

Per il numeratore $x^2-5x+6 \geq 0$, usi la formula risolutiva e trovi le radici x₁ = 2 e x₂ = 3. Dato che il coefficiente di x² è positivo, la parabola ha la concavità verso l'alto, quindi N ≥ 0 quando x ≤ 2 oppure x ≥ 3.

Per il denominatore $x^2-49 > 0$, risolvi x² = 49 e ottieni x = ±7. Anche qui la parabola è rivolta verso l'alto, quindi D > 0 quando x < -7 oppure x > 7.

Trucco fondamentale: Quando la disequazione ha ≤ o ≥, il numeratore può essere uguale a zero, ma il denominatore mai!

Ora costruisci il grafico dei segni sulla retta dei numeri con tutti i punti critici: -7, 2, 3, +7. Studia dove la frazione è negativa o nulla, e la soluzione finale è: -7 < x ≤ 2 oppure 3 ≤ x < 7.