Le disequazioni sono uno degli strumenti più utili in matematica...
Matematica2,784 visualizzazioni·Aggiornato Jun 24, 2026·12 pagineRisoluzione di Disequazioni e Sistemi di Disequazioni
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Patrizio@jerry88
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Le basi delle disequazioni algebriche
Pensi che le equazioni siano difficili? Le disequazioni sono in realtà più interessanti perché invece di un singolo valore, trovi un intero intervallo di soluzioni! Una disequazione è una disuguaglianza del tipo A(x) ≤ B(x), dove cerchi tutti i valori che rendono vera la disuguaglianza.
La differenza tra disequazioni algebriche (che usano solo le quattro operazioni) e quelle trascendenti (con logaritmi, funzioni trigonometriche) è importante da capire. Per esempio, 2xy - 5 > z² - x - 3 è algebrica, mentre cos ≥ 0 è trascendente.
I principi di equivalenza sono le tue armi segrete. Puoi sommare o sottrarre la stessa quantità ad entrambi i membri senza problemi. Per moltiplicazione e divisione, attenzione: se moltiplichi per un numero positivo tutto resta uguale, ma se moltiplichi per un numero negativo devi cambiare il verso della disequazione!
Ricorda: Quando moltiplichi o dividi per un numero negativo, il verso si ribalta sempre!
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Disequazioni di primo e secondo grado
Le disequazioni di primo grado sono le più facili da risolvere. Basta applicare i principi di equivalenza e fare attenzione al cambio di verso quando necessario. Alcune possono essere impossibili o sempre verificate (come 0 ≤ 11).
Con le disequazioni di secondo grado il gioco si fa interessante! La strategia è sempre la stessa: porta tutto in forma canonica con a > 0, poi studia l'equazione associata ax² + bx + c = 0.
Il trucco è visualizzare la parabola. Le soluzioni dell'equazione sono i punti dove la parabola tocca l'asse x. Per la disequazione, devi capire quando la parabola sta sopra o sotto l'asse x. È come guardare un grafico e decidere quali parti ti interessano!
Metodo infallibile: Prima risolvi l'equazione associata, poi disegna mentalmente la parabola per capire dove è positiva o negativa.
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I tre casi del discriminante
Il discriminante Δ decide tutto nelle disequazioni di secondo grado! Quando a > 0 e Δ > 0, hai due soluzioni distinte e la parabola interseca l'asse x in due punti. Per ax² + bx + c > 0, la soluzione è negli intervalli esterni (x < x₁ o x > x₂). Per ax² + bx + c < 0, negli intervalli interni (x₁ < x < x₂).
Con Δ = 0 la parabola è tangente all'asse x in un solo punto. La disequazione ax² + bx + c > 0 è verificata per tutti i valori tranne quello di tangenza, mentre ax² + bx + c < 0 non ha mai soluzioni.
Quando Δ < 0 la parabola non tocca mai l'asse x. Se è rivolta verso l'alto (a > 0), allora ax² + bx + c > 0 è sempre vera, mentre ax² + bx + c < 0 non ha mai soluzioni. È il caso più semplice da ricordare!
Trucco visivo: Disegna sempre la parabola nella tua mente - ti dirà subito dove sono le soluzioni!
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Disequazioni fratte e tecniche avanzate
Le disequazioni fratte sembrano complicate ma hanno una strategia precisa. Quando hai N(x)/D(x) ≤ 0, devi studiare separatamente il segno del numeratore e del denominatore. Ricorda che il denominatore non può mai essere zero!
La tecnica è fare uno studio del segno: trovi dove N(x) = 0 e dove D(x) = 0, poi costruisci una tabella per vedere dove la frazione è positiva o negativa. È come un puzzle dove ogni pezzo ha il suo posto.
Negli esercizi vedrai che spesso devi prima portare tutto al primo membro per ottenere la forma canonica. Non aver paura dei calcoli lunghi - ogni passaggio ti avvicina alla soluzione. Il risultato finale ti darà degli intervalli che escludono sempre i valori che annullano il denominatore.
Attenzione: Nelle disequazioni fratte, i valori che annullano il denominatore vanno sempre esclusi dalle soluzioni!
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Sistemi di disequazioni
I sistemi di disequazioni sono come un puzzle dove devi soddisfare più condizioni contemporaneamente. Le soluzioni sono l'intersezione di tutte le soluzioni singole - solo i valori che funzionano per tutte le disequazioni del sistema.
Il metodo più efficace è rappresentare graficamente ogni disequazione su una retta numerica, poi trovare le zone comuni. È come sovrapporre più filtri e vedere cosa rimane visibile attraverso tutti.
Negli esempi vedrai disequazioni sempre vere che non limitano le soluzioni, e altre che invece restringono molto il campo. La rappresentazione grafica è fondamentale per non sbagliare - disegna sempre le rette con le soluzioni!
Strategia vincente: Risolvi prima ogni disequazione separatamente, poi trova l'intersezione con un grafico sulla retta numerica.
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Disequazioni di grado superiore
Le disequazioni di grado superiore al secondo si risolvono scomponendo il polinomio. I tuoi alleati sono il raccoglimento a fattor comune, il teorema di Ruffini e la sostituzione di variabile per quelle biquadratiche.
Negli esercizi con x⁴ - x² > 0, la sostituzione y = x² trasforma tutto in una disequazione di secondo grado molto più gestibile. È come tradurre un problema difficile in uno che sai già risolvere!
Il teorema di Ruffini ti permette di dividere polinomi di grado alto quando intuisci una radice. Una volta scomposto in fattori più semplici, puoi studiare il segno di ciascun fattore separatamente, poi applicare la regola dei segni per trovare le soluzioni finali.
Consiglio pratico: Cerca sempre di scomporre in fattori il più semplici possibile - renderai tutto più facile da gestire!
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L'applicazione è molto facile da usare e ben progettata. Finora ho trovato tutto quello che cercavo e ho potuto imparare molto dalle presentazioni! Utilizzerò sicuramente l'app per i compiti in classe! È molto utile anche come fonte di ispirazione.
Stefano Sutente iOS
Questa applicazione è davvero grande! Ci sono tantissimi appunti e aiuti con lo studio [...]. La mia materia problematica, per esempio, è il francese e l'app ha così tante opzioni per aiutarmi. Grazie a questa app ho migliorato il mio francese. La consiglio a tutti.
Samantha Klichutente Android
Wow, sono davvero stupita. Ho appena provato l'app perché l'ho vista pubblicizzata molte volte e sono rimasta assolutamente sbalordita. Questa app è L'AIUTO che cercate per la scuola e soprattutto offre tantissime cose, come allenamenti e schede, che a me personalmente sono state MOLTO utili.
Annautente iOS
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Patrizio@jerry88
Le disequazioni sono uno degli strumenti più utili in matematica per risolvere problemi reali. Imparerai a risolverle passo dopo passo, dalle più semplici a quelle più complesse, con tecniche che ti serviranno anche all'università.
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Le basi delle disequazioni algebriche
Pensi che le equazioni siano difficili? Le disequazioni sono in realtà più interessanti perché invece di un singolo valore, trovi un intero intervallo di soluzioni! Una disequazione è una disuguaglianza del tipo A(x) ≤ B(x), dove cerchi tutti i valori che rendono vera la disuguaglianza.
La differenza tra disequazioni algebriche (che usano solo le quattro operazioni) e quelle trascendenti (con logaritmi, funzioni trigonometriche) è importante da capire. Per esempio, 2xy - 5 > z² - x - 3 è algebrica, mentre cos ≥ 0 è trascendente.
I principi di equivalenza sono le tue armi segrete. Puoi sommare o sottrarre la stessa quantità ad entrambi i membri senza problemi. Per moltiplicazione e divisione, attenzione: se moltiplichi per un numero positivo tutto resta uguale, ma se moltiplichi per un numero negativo devi cambiare il verso della disequazione!
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Disequazioni di primo e secondo grado
Le disequazioni di primo grado sono le più facili da risolvere. Basta applicare i principi di equivalenza e fare attenzione al cambio di verso quando necessario. Alcune possono essere impossibili o sempre verificate (come 0 ≤ 11).
Con le disequazioni di secondo grado il gioco si fa interessante! La strategia è sempre la stessa: porta tutto in forma canonica con a > 0, poi studia l'equazione associata ax² + bx + c = 0.
Il trucco è visualizzare la parabola. Le soluzioni dell'equazione sono i punti dove la parabola tocca l'asse x. Per la disequazione, devi capire quando la parabola sta sopra o sotto l'asse x. È come guardare un grafico e decidere quali parti ti interessano!
Metodo infallibile: Prima risolvi l'equazione associata, poi disegna mentalmente la parabola per capire dove è positiva o negativa.
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I tre casi del discriminante
Il discriminante Δ decide tutto nelle disequazioni di secondo grado! Quando a > 0 e Δ > 0, hai due soluzioni distinte e la parabola interseca l'asse x in due punti. Per ax² + bx + c > 0, la soluzione è negli intervalli esterni (x < x₁ o x > x₂). Per ax² + bx + c < 0, negli intervalli interni (x₁ < x < x₂).
Con Δ = 0 la parabola è tangente all'asse x in un solo punto. La disequazione ax² + bx + c > 0 è verificata per tutti i valori tranne quello di tangenza, mentre ax² + bx + c < 0 non ha mai soluzioni.
Quando Δ < 0 la parabola non tocca mai l'asse x. Se è rivolta verso l'alto (a > 0), allora ax² + bx + c > 0 è sempre vera, mentre ax² + bx + c < 0 non ha mai soluzioni. È il caso più semplice da ricordare!
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Sistemi di disequazioni
I sistemi di disequazioni sono come un puzzle dove devi soddisfare più condizioni contemporaneamente. Le soluzioni sono l'intersezione di tutte le soluzioni singole - solo i valori che funzionano per tutte le disequazioni del sistema.
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Disequazioni di grado superiore
Le disequazioni di grado superiore al secondo si risolvono scomponendo il polinomio. I tuoi alleati sono il raccoglimento a fattor comune, il teorema di Ruffini e la sostituzione di variabile per quelle biquadratiche.
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