Concetti base delle disequazioni

Le disequazioni stabiliscono relazioni tra numeri usando i simboli >, <, ≥, ≤. In una disequazione come a > b, a è il primo membro e b è il secondo membro. Ricorda che a > b è equivalente a b < a!

Quando lavori con le disequazioni, esistono tre proprietà fondamentali:

La proprietà di monotonia dell'addizione ci dice che sommando o sottraendo uno stesso numero a entrambi i membri di una disequazione, il verso rimane invariato $a < b → a + c < b + c$.

Per la proprietà della moltiplicazione, moltiplicando entrambi i membri per un numero positivo il verso rimane lo stesso, mentre con un numero negativo il verso si inverte (a < b e c < 0 → ac > bc).

💡 Attenzione ai numeri negativi! Quando moltiplichi o dividi per un numero negativo, devi invertire il verso della disequazione.

La proprietà dei reciproci stabilisce che, per numeri concordi diversi da zero, la disequazione tra i reciproci ha verso opposto (2 < 3 → 1/2 > 1/3).

Rappresentazione delle soluzioni

Una disequazione è una disuguaglianza con espressioni letterali dove cerchiamo i valori dell'incognita che la rendono vera. Ma come rappresentiamo queste soluzioni?

Le soluzioni possono essere rappresentate come intervalli sulla retta numerica. Un intervallo limitato contiene i numeri compresi tra due estremi, mentre un intervallo illimitato contiene i numeri che precedono o seguono un certo valore.

Quando rappresentiamo gli intervalli, usiamo:

• Parentesi quadre $a; b$ quando includiamo gli estremi (a ≤ x ≤ b)
• Parentesi tonde (a; b) quando escludiamo gli estremi (a < x < b)
• Parentesi miste $a; b) o (a; b$ quando includiamo solo uno degli estremi

Sulla retta numerica, usiamo cerchietti pieni per gli estremi inclusi e cerchietti vuoti per quelli esclusi. Per gli intervalli illimitati, utilizziamo +∞ o -∞, che non sono numeri reali e quindi vanno sempre esclusi.

🔍 Ricorda: quando disegni gli intervalli, un cerchietto pieno indica che il numero è compreso nelle soluzioni, mentre un cerchietto vuoto indica che è escluso.

Tipi di disequazioni e principi di equivalenza

Le disequazioni si classificano in diversi tipi. Una disequazione è intera quando l'incognita è al numeratore, fratta quando è al denominatore. È numerica se contiene solo l'incognita e letterale se contiene anche altri parametri.

Il grado di una disequazione è il massimo esponente dell'incognita nella forma normale. Ricorda che una disequazione è in forma normale quando è scritta come P(x) > 0 o P(x) < 0, dove P(x) è un polinomio senza monomi simili.

Due disequazioni sono equivalenti se hanno lo stesso insieme di soluzioni. Per trasformare una disequazione in una equivalente, puoi applicare due principi:

1. Primo principio di equivalenza: puoi aggiungere o sottrarre la stessa espressione a entrambi i membri. Un termine può essere trasportato da un membro all'altro cambiandogli il segno.

2. Secondo principio di equivalenza: puoi moltiplicare o dividere entrambi i membri per uno stesso numero positivo mantenendo il verso, oppure per uno negativo cambiando il verso della disequazione.

⚠️ Attenzione! Se moltiplichi o dividi per un'espressione contenente l'incognita, devi verificare quando tale espressione è positiva o negativa, altrimenti rischi di perdere soluzioni.

Disequazioni intere e letterali

Per risolvere una disequazione intera, devi portarla alla forma ax < b (o altre varianti con ≤, >, ≥). Usa la regola della cancellazione e del trasporto per isolare l'incognita. Ricorda di cambiare il verso se dividi per un numero negativo!

Nelle disequazioni letterali (con altre lettere oltre all'incognita), dopo aver isolato x, devi considerare i diversi casi in base al segno dei coefficienti. Per esempio, in $Ax ≤ B$:

• Se $A > 0$, allora $x ≤ \frac{B}{A}$
• Se $A < 0$, allora $x ≥ \frac{B}{A}$
• Se $A = 0$ e $B > 0$, la soluzione è tutti i numeri reali
• Se $A = 0$ e $B ≤ 0$, non ci sono soluzioni

Per le disequazioni con frazioni, bisogna:

1. Eliminare le parentesi
2. Ridurre allo stesso denominatore
3. Eliminare i denominatori moltiplicando entrambi i membri per il loro mcm

🔍 Quando risolvi una disequazione letterale, devi sempre discutere i diversi casi in base ai valori possibili dei parametri. Un singolo valore del parametro può cambiare completamente l'insieme delle soluzioni!

Sistemi di disequazioni e valori assoluti

Un sistema di disequazioni è un insieme di due o più disequazioni che devono essere soddisfatte contemporaneamente. La soluzione è l'intersezione delle soluzioni delle singole disequazioni. Se non c'è intersezione, il sistema è impossibile.

Per le equazioni con valori assoluti, ricorda che:

• $|p(x)|$ è sempre ≥ 0 per ogni x reale
• $|p(x)| = |-p(x)|$
• $|p(x)| = 0$ implica che $p(x) = 0$

Quando risolvi $|f(x)| = k$ con $k > 0$, devi considerare due casi:

• $f(x) = k$ se $f(x) ≥ 0$
• $-f(x) = k$ cioè $f(x) = -k$ se $f(x) < 0$

Per esempio, per risolvere $|2x+3| = 5$, devi risolvere due sistemi:

1. $\begin{cases} 2x+3 = 5 \ 2x+3 ≥ 0 \end{cases}$ che dà $x = 1$ e $x ≥ -\frac{3}{2}$
2. $\begin{cases} -(2x+3) = 5 \ 2x+3 < 0 \end{cases}$ che dà $x = -4$ e $x < -\frac{3}{2}$

La soluzione finale è l'unione: $x = 1$ o $x = -4$

💡 Nei problemi con valori assoluti, è essenziale dividere il lavoro in casi, considerando quando l'espressione dentro il modulo è positiva o negativa.

Disequazioni con valori assoluti

Le disequazioni con valori assoluti si risolvono considerando le seguenti regole fondamentali (con $k > 0$):

• $|x| < k$ equivale a $-k < x < k$
• $|f(x)| < k$ equivale a $-k < f(x) < k$
• $|x| > k$ equivale a $x < -k$ o $x > k$
• $|f(x)| > k$ equivale a $f(x) < -k$ o $f(x) > k$

Per risolvere disequazioni come $|x-2| < 3x+6$, si impostano due sistemi:

1. Per $x-2 ≥ 0$: $\begin{cases} x-2 < 3x+6 \ x ≥ 2 \end{cases}$
2. Per $x-2 < 0$: $\begin{cases} -(x-2) < 3x+6 \ x < 2 \end{cases}$

Risolvendo entrambi i sistemi e facendo l'unione delle soluzioni, si ottiene il risultato finale.

Per le disequazioni letterali con valori assoluti, è necessario esaminare diversi casi in base al segno dei parametri. Ad esempio, in $|2x| < 6a$, devi considerare separatamente i casi $a > 0$ e $a < 0$.

⚠️ Quando risolvi disequazioni con parametri, ricorda che la soluzione può essere completamente diversa a seconda del valore del parametro. Non dimenticare di analizzare tutti i casi possibili!

Il segno di un prodotto

Studiare il segno di un prodotto è fondamentale nelle disequazioni. Per un prodotto di fattori di primo grado come $(x-3)(2x+5) > 0$, dobbiamo:

1. Scrivere la disequazione con il prodotto a primo membro e 0 al secondo
2. Ricordare che un prodotto è positivo quando entrambi i fattori sono positivi o entrambi negativi

Per risolvere $(x-3)(2x+5) > 0$, studiamo il segno di ciascun fattore:

• $(x-3) > 0$ quando $x > 3$
• $(2x+5) > 0$ quando $x > -\frac{5}{2}$

Rappresentando questi valori sulla retta, vediamo che il prodotto è positivo quando $x < -\frac{5}{2}$ o $x > 3$.

Per un prodotto come $3x(2x-6) < 0$ (dove vogliamo che sia negativo), cerchiamo quando un fattore è positivo e l'altro negativo:

• $3x > 0$ quando $x > 0$
• $(2x-6) < 0$ quando $x < 3$

La soluzione è quindi $0 < x < 3$.

💡 Per studiare il segno di un prodotto, segna sulla retta numerica gli zeri di ogni fattore. Questi dividono la retta in intervalli dove i fattori mantengono il loro segno, rendendo più facile trovare dove il prodotto è positivo o negativo.

Disequazioni fratte

Le disequazioni fratte contengono l'incognita in almeno un denominatore. Per risolverle:

1. Scrivi la disequazione in forma $\frac{N}{D} (<, >, \leq, \geq) 0$
2. Riduci al minimo denominatore comune (non eliminare il denominatore!)
3. Studia il segno del numeratore $N$ e del denominatore $D$ (ricorda che $D$ non può mai essere zero)

Ad esempio, per risolvere $\frac{3x-5}{1-x} \geq 0$:

• $N = 3x-5 \geq 0$ quando $x \geq \frac{5}{3}$
• $D = 1-x > 0$ quando $x < 1$

La frazione è positiva o nulla quando $N$ e $D$ hanno lo stesso segno. Studiando i segni sulla retta, la soluzione è $x \leq \frac{5}{3}$.

Nelle disequazioni letterali fratte devi considerare diversi casi in base al valore dei parametri. Per esempio, in $\frac{(a+1)(x-2)}{2ax} \geq 0$, le condizioni variano in base al segno di $a$:

• Se $a = 0$, la disequazione diventa $\frac{(x-2)}{0}$, che non ha senso
• Se $a > 0$, la soluzione è $x \geq 2$ quando $a+1 > 0$
• Se $a < -1$, la soluzione è $x \leq 2$ quando $a+1 < 0$

⚠️ Nelle disequazioni fratte è fondamentale considerare che il denominatore non può mai essere zero! Questo vincolo può limitare il dominio delle soluzioni possibili.