Derivate

Didascalia alternativa:

0=0y¹ = 0 h-o h➜o ho h eim _f(x+h)-f(x) h➜o h y'= 1 3 y=x²° α = Dom B lim f(x+h)-f(x) = lim (x+h) *- (x)* ho h h→0 h eim ho Quadrato di un binomio (a+b)" = a"+ xª+dx-¹.h+...+ = lim x+h₂x = lim h-o h h➜o es h non e zero, TENDE a ZERO! y=x² y=x³ +axha-1 +ha_xa h h(ax-¹+....h... ha-1) -1 y=xd →y¹ = αx² α-1 =dx y' = 2x' y' = 3x² h h -....+an-b+an-26² +an-3 b³ +...+abn-+b" = 1 α-1 K X esempio y=x²-y²= 2x¹ y=x3 - y'=3x? →y': xx x-1 X+K 4 y=1 424 5 y=e* lim h→0 y=x² lim _f(x+h)-f(x) h➜o h = -1-1 1 lim h⇒o y=e* 6y= lnx eim h➜o eim _f(x+h)-f(x) hoo h en (x+h) y' = = = = = ex. eh-ex = lim h h→0 y = x² → y'=e* = sen x =X = lim e h➜o -2 lim-senx (1-cosh) h→0 h eim h→0 x+h + = lim_ en (x+h)-enx ho eim senx (cosh-1) +cosx senh h→0 h se y=x² + y² = αxa-d y=x-1 - (e"-1) h = 0 h h en (1+1) f(x+h)-f(x) = lim_sen(x+h)- senx h h→0 h eim senx cosh + cosx senh - senx h➜o h LIMITE NOTEVOLE ex h cosx senh h X X LIMITE NOTEVOUE = 1 LIMITE NOTEVOLE = 1 LIMITE NOTEVOLE = 1 = COS X y' = cosx y y=k f(x) y = f(x) + g(x) f(x). g(x) y= 1 f(x) y= f(x) g(x) y = f(x) [g(x)] y = y = regole di derivazione "√√x y = k* y' y'= K-f(x) y = f(x)± g'(x) |y'=f(x) · g(x) + f(x) · g'(x) F(X) y's (f(x)) ² |y'=. f'(x) g(x)-f(x) g(x) g² (x) y' = f'[g(x)] g'(x) y's no ne 1 xn-1 y=en (K). K* y y= (f(x))* y = √F(x) f(x) y = e' y = en f(x) y = sen f(x) y = arctg f(x) y=[F(x)] 9(x) y' y' = α (f(x)) = - = f(x) y'= 1 21f(X) y = f(x) y'= y' = f'(x)\ • F'(x) f(x) f(x) y'= cos f(x) . f(x) 1 (f(x))² y'= e g(x). en f(x) · f'(x) (1) y = k = Kf(x) →y²= Kf'(x) eim f(x+h)-f(x) = lim Kf(x+h) - K f(x) hoo h h→0 h K f(x) Pim K[f(x+h)-f(x)] h➜o h lim h→0 2 y = f(x) + g(x) eim [f(x+h)+g(x+h)] - [ f(x) + g(x)] ho Pim f(x+h)-f(x) h+o h + 3 f(x). g(x) y = lim h➜o DIMOSTRAZIONI f(x) = = h [ f(x+h)-f(x)] + [g(x+h)-gcx>] h f(x+h)-f(x) h y₁ = f(x) + g'(x) = esempio y = 8cosx y'= f(x) · g(x) -> = g(x+h)-g(x) = f(x) + h · g'(x) + f(x). esempio y = 3x4 y = 8 D cosx = 8 (-senx) -_-8 sen x · g(x+h) + f(x) g(x+h) - g(x) h esempio y = senx + cosx y'= 3 Dx² = 3·4x³-12x³ =4 2√x } y' esempio y = 4√x -3x³+2+37 = Dsenx+ Dcosx = (- senx) y'= 4 D√x - 3Dx³ + 2.D 1 + D37 X Se la COSTANTE e Da SOLA -3.5ײ+2 (-4) +0 g'(x) eim f(x+h) g(x+h)-f(x). g(x) _ lim f(x+h) g(x+h) = f(x) · g(x) + f(x) · g(x+h)-f(x)g(x+h) = h➜o h h➜o h = = COSX + AGGIUNGO O + f(x) g(x+h) O + g(x). f(x+h) f'(x) · g(x) + f(x) · g'(x) lim ho = eim h➜o y= = = eim 5 y= f(x) 1 f(x+h). h>>o y= f(x) g(x) f(x) g(x) y' = D f(x). f(x) h f(x+h)-f(x) f(x+h) f(x) f(x+h)-f(x) h f(x). 1 g(x) F'(x) y = (f(x))² g(x) f'(x) · g(x)-f(x).g'(x) (g(x))² = lim h→0 + f(x). D 1 h f(x) = f'(g(x)) · g'(x) 1 g(x) = . f(x) = →g(x)=z eim f(g(x-h))-f(g(x)) = h→0 h f'(x) g(x)-f(x) · g(x) g² (x) f(x+h) f(x+h) f(x) h 1 eim fox) f(x+h) f(x) ho f(x+h) f(x) Ⓒy=f(x) [g(x)]→→→→→y' = f'[g(x)] g'(x) eim f(2+42)-f(2) Δε eim = h➜o h A² hoo = f(x). 1+ f(x). g(x) = = esempio 5 y = enx g'(x) (g(x))² y' 5. D f(z+A2)-f(2) Az 1 enx lim h→0 e Az = g(x+h)-g(x) g(x+h) = g(x) + A² = 2+A² = f(x) F(x) f(x) o'o'o Az =lim F(2+A2)-f(x) h h-o Az F f'(z) = (enx)² f(x) (f(x)² per h→o 42-9 g(x+h)-g(x) _ h g'(x) CALCOLA LA DERIVATA DX € SX NEL CINDICATO pag 1595 m 82-87 f(x)= -SX= X-3 SE X≤3 ×-1 SE X>3' f(c) = eim h-o m 87 Sosrir. •A SINISTRA di 3, per h<o in f(c +h)-f(c) QUINDI: f(3) = 1/3 •A DESTRA di 3, per h>0; f(x-1) f(x)= |-x²+2x| C=2 h CALCOLO IL LIMITE SX = C=3 f(x-3) V f(3) = 4 = • CALCOLO IL LIMITE DX = +(c) = lim h-ot h • DX = f(c) = lim f(c +h)-f(c) h-o+ h QUINDI: f(2)=2 v f(2)=-2 [(3+h)-3]-(x-3) h f(c) = @im_f(c +h)-f(c) h-o h h f(c +h)-f(c) h -l-h²-2h|-|-x²+2x11-²-2h1-0₂ 1-²-2h| |-K(+2)| |-h-21=-20 h J ¸ |-h²-2h| - |-x²+2×1²_ = [(3+h)-1] -(½×-4) ¸ ¾h-x+₁₂ h-x+3 h-3+3 = 슬 h 3h h 3h SOST. = = = h-x+3 h sostituisco x con 3 h-3+3 =1 h [1−(2+h)²+ 2 (2+h)|]- (1-x²+2x1) h 1-h²-2h1-0_ h = [1–(2+h)²+ 2 (2+h)|]-(1-x²+2x1) h h 1-h²-2h1_1-K(h+2)| J = = DX o | =1-h-21=2 DSX CALCOLA IL RAPPORTO INCREMENTALE pag 1591 n° 18 f(x)=x²-4x+8 h=0 - Dato un ce un h generico: ду f(c+h)-f(c) Δx c+h-c = - imposto C=-3 - Calcolo • f(c+h) →→→ (-3+h)² - 4 (-3+h) +8 = 9-6h+h²+12 - 4h+8= 29+h² - 10h ·f (c) 9-4-(-3)+8 = 29 f(x) = 1 √√x-1 h²-40h+29-29 h²-10h h h f(c+h)-f(c) h CALCOLA LA DERIVATA IN UN PUNTO C pag. 1593 n° 45 = c=5 Quindi: f'(5) =. f(c+h)-f(c) h - Calcolo il rapporto incrementale in c 1 4 √5+h-1 √5-1 = 16 (h-10) h-10 -.h(h-10) h 4-4-h 4h-√4+h+ 2h (4+h) 2-√4+h 2-√√4+h h 2-√4+h 2h √4+h 2/(2√√4th+(4+h)) 2.2 +4 = 8 To 1 16 Mazionalizzo 2+√4+h 2+√4+h CALCOLA LA DERIVATA IN UN GENERICO PUNTO X pag 1594 m 70 f(x) = 1+√1+x² APPUCO LA DEFINIZIONE DI DERIVATA f'(x)= eim f(xo+h)-f(xo) h-o f(x) = eim h➜o 1+ √₁+(x+h)² = (1+√₁+x²) 1+√₁+x² +h² + 2xh -£-√√√1+x² h Mazionalizzo √√₁+x² +h²+2xh-√√₁+x² √√√1+x²+h²+2xh + √₁+x² h √√+x+h²+2xh + √√₁+x² X(b+2x) X (√₁+x² +h²+2xh + √√₁+x²) So Quindi : f'(x) = . X √1+x² = = 2X 2-√√1+x² 17+h²+2xh-1-7 h(√₁+x²+h²+2xh + √1₁+x²)