Equazioni Lineari e Fratte

Le equazioni sono semplicemente delle uguaglianze che contengono delle incognite (di solito la x) che devi trovare. Pensale come degli indovinelli matematici che hanno una soluzione precisa.

Le equazioni lineari intere sono le più semplici: basta spostare tutte le x da una parte e tutti i numeri dall'altra. Nell'esempio x + 2x = 5 + 8x, raccogli le x a sinistra $3x - 8x = -5x$ e ottieni x = 1.

Le equazioni fratte sono un po' più complicate perché hanno la x al denominatore. Prima di tutto devi stabilire le condizioni di esistenza (c.e.): il denominatore non può mai essere zero! Poi risolvi normalmente usando il minimo comune multiplo.

Ricorda: nelle equazioni fratte, controlla sempre che la soluzione rispetti le condizioni di esistenza!

Equazioni di Secondo Grado

Le equazioni di secondo grado hanno la forma ax² + bx + c = 0 e sono ovunque in fisica e ingegneria. La x è elevata al quadrato, il che le rende più interessanti delle lineari.

Quando manca uno dei coefficienti, l'equazione diventa incompleta: se b = 0 è pura $ax² + c = 0$, se c = 0 è spuria $ax² + bx = 0$, se manca a diventa lineare.

Per risolverle hai due strade: il raccoglimento (fattorizzazione) o la formula del delta. Con il delta Δ = b² - 4ac scopri subito quante soluzioni hai: se Δ < 0 nessuna soluzione reale, se Δ = 0 una soluzione, se Δ > 0 due soluzioni.

Trucco: se b è pari, usa la formula semplificata Δ = $b/2$² - ac per calcoli più veloci!

Equazioni con Moduli

Il valore assoluto (o modulo) rende sempre positivo quello che c'è dentro, come una "macchina che toglie il segno meno". |x| = 3 significa che x può essere +3 o -3.

Per risolvere |A(x)| = k, devi considerare tre casi: se k < 0 è impossibile, se k = 0 allora A(x) = 0, se k > 0 hai due equazioni A(x) = +k e A(x) = -k.

Quando hai equazioni tipo |A(x)| = |B(x)|, devi creare sistemi di disequazioni. Prima fai lo studio del segno per capire quando gli argomenti sono positivi o negativi, poi risolvi i sistemi che ne derivano.

Attenzione: verifica sempre che le soluzioni trovate soddisfino le condizioni dei sistemi!

Equazioni Irrazionali

Le equazioni irrazionali contengono radici con l'incognita sotto il segno di radice. La chiave è prestare attenzione all'indice della radice.

Con indici dispari (come ∛) puoi stare tranquillo: il radicando può essere qualsiasi numero. Basta elevare entrambi i membri all'indice per eliminare la radice.

Con indici pari (come √) devi essere più attento! La radice esiste solo se il radicando è ≥ 0, quindi servono le condizioni di esistenza. Inoltre, √A(x) = B(x) si risolve con un sistema: B(x) ≥ 0 e A(x) = [B(x)]².

Importante: nelle radici pari, il risultato sotto radice deve sempre essere non negativo!

Sistemi di Equazioni - Metodi di Risoluzione

I sistemi di equazioni sono gruppi di equazioni che devono essere vere contemporaneamente. È come risolvere un puzzle dove ogni pezzo (equazione) deve incastrarsi perfettamente.

Il metodo di sostituzione è il più intuitivo: isoli una variabile da un'equazione e la sostituisci nell'altra. Scegli sempre la variabile più facile da isolare per semplificare i calcoli.

Il metodo di Cramer usa le matrici e i determinanti. Calcoli det(A) = ad - bc, poi det$A_x$ e det$A_y$ sostituendo le colonne. Le soluzioni sono x = det$A_x$/det(A) e y = det$A_y$/det(A).

Il metodo di riduzione punta a eliminare una variabile. Moltiplichi le equazioni per ottenere coefficienti uguali (o opposti) per una variabile, poi sommi o sottrai le equazioni membro a membro.

Nota: questi metodi funzionano solo se il sistema è determinato (ha una soluzione unica)!

Tipologie di Sistemi

Non tutti i sistemi sono uguali! Puoi riconoscere subito che tipo di sistema hai davanti confrontando i rapporti tra i coefficienti.

Per un sistema ax + by + c = 0 e a'x + b'y + c' = 0, confronta i rapporti a/a', b/b' e c/c'. Se a/a' ≠ b/b', il sistema è determinato (una soluzione unica).

Se a/a' = b/b' ≠ c/c', il sistema è impossibile (nessuna soluzione): le rette sono parallele e non si incontrano mai.

Se a/a' = b/b' = c/c', il sistema è indeterminato (infinite soluzioni): le due equazioni rappresentano la stessa retta.

Consiglio: controlla sempre il tipo di sistema prima di scegliere il metodo di risoluzione più adatto!