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Matematica
26 nov 2025
404
2 pagine
camilla @camilla_qwlh
Le funzioni goniometriche di angoli associati sono uno strumento fondamentale per semplificare i calcoli trigonometrici. Quando hai un... Mostra di più
Invece di calcolare ogni volta le funzioni goniometriche da zero, puoi usare gli angoli associati per risolvere problemi complessi in pochi secondi. Questi angoli hanno relazioni speciali con l'angolo α originale.
Gli angoli opposti (-α) ti danno risultati molto semplici il seno, la tangente e la cotangente cambiano segno, mentre il coseno resta uguale. Questo succede perché -α si trova sempre nel quarto quadrante quando α è nel primo.
Per gli angoli esplementari (2π - α), ottieni lo stesso risultato seno, tangente e cotangente diventano negativi, mentre il coseno rimane positivo. La ragione è che questi angoli hanno la stessa "distanza" dall'asse x.
Gli angoli supplementari (π - α) invece funzionano diversamente il seno resta uguale, ma coseno, tangente e cotangente diventano negativi. Questo perché π - α finisce sempre nel secondo quadrante.
Trucco per ricordare Guarda sempre in quale quadrante finisce l'angolo associato per capire quali funzioni saranno positive o negative!
Gli angoli che coinvolgono π/2 sono i più interessanti perché scambiano le funzioni tra loro. Quando hai π/2 - α (angoli complementari), seno diventa coseno e viceversa, tangente diventa cotangente e viceversa.
Per π/2 + α, le funzioni si scambiano ma con qualche cambio di segno il seno diventa coseno, ma il coseno diventa -seno. Lo stesso vale per tangente e cotangente che si scambiano con segno opposto.
Gli angoli con 3π/2 seguono pattern simili ma più complessi. Con 3π/2 - α ottieni ancora lo scambio seno-coseno, ma il coseno diventa negativo. Con 3π/2 + α, invece, non ci sono cambi di segno per seno e coseno.
Questi pattern sembrano complicati all'inizio, ma una volta che ci fai l'occhio diventano automatici. La chiave è sempre visualizzare dove finisce l'angolo sul cerchio goniometrico.
Consiglio pratico Fai sempre un disegno veloce del cerchio goniometrico per verificare i segni - ti salverà da errori stupidi negli esami!
Il nostro assistente AI è costruito specificamente per le esigenze degli studenti. Sulla base dei milioni di contenuti presenti sulla piattaforma, possiamo fornire agli studenti risposte davvero significative e pertinenti. Ma non si tratta solo di risposte, l'assistente è in grado di guidare gli studenti attraverso le loro sfide quotidiane di studio, con piani di studio personalizzati, quiz o contenuti nella chat e una personalizzazione al 100% basata sulle competenze e sugli sviluppi degli studenti.
È possibile scaricare l'applicazione dal Google Play Store e dall'Apple App Store.
Sì, hai accesso completamente gratuito a tutti i contenuti nell'app e puoi chattare o seguire i Creatori in qualsiasi momento. Sbloccherai nuove funzioni crescendo il tuo numero di follower. Inoltre, offriamo Knowunity Premium, che consente di studiare senza alcun limite!!
4
Strumenti Intelligenti NUOVO
Trasforma questi appunti in: ✓ 50+ Domande di Pratica ✓ Flashcard Interattive ✓ Simulazione Completa d'Esame ✓ Schemi per Saggi
App Store
Google Play
L'applicazione è molto facile da usare e ben progettata. Finora ho trovato tutto quello che cercavo e ho potuto imparare molto dalle presentazioni! Utilizzerò sicuramente l'app per i compiti in classe! È molto utile anche come fonte di ispirazione.
Stefano S
utente iOS
Questa applicazione è davvero grande! Ci sono tantissimi appunti e aiuti con lo studio [...]. La mia materia problematica, per esempio, è il francese e l'app ha così tante opzioni per aiutarmi. Grazie a questa app ho migliorato il mio francese. La consiglio a tutti.
Samantha Klich
utente Android
Wow, sono davvero stupita. Ho appena provato l'app perché l'ho vista pubblicizzata molte volte e sono rimasta assolutamente sbalordita. Questa app è L'AIUTO che cercate per la scuola e soprattutto offre tantissime cose, come allenamenti e schede, che a me personalmente sono state MOLTO utili.
Anna
utente iOS
È bellissima questa app, la adoro. È utilissima per lo studio e mi aiuta molto, anzi moltissimo, ma soprattutto mi aiutano molto i quiz, per memorizzare anche quello che non sapevo
Anastasia
utente Android
Fantastica per qualsiasi materia avere gli appunti anche di altre persone è molto utile perchè posso confrontarmi e vedere come migliorarmi. con i quiz riesco ad apprendere al meglio.
Francesca
utente Android
moooolto utile,gli appunti sono belli e funzionanti,schoolGPT da dei consigli formidabili!!
Marianna
utente Android
L'applicazione è semplicemente fantastica! Tutto ciò che devo fare è inserire l'argomento nella barra di ricerca e ottengo la risposta molto velocemente. Non devo guardare 10 video di YouTube per capire qualcosa, quindi risparmio tempo. Consigliatissima!
Sudenaz Ocak
utente Android
A scuola andavo malissimo in matematica, ma grazie a questa applicazione ora vado meglio. Vi sono molto grato per aver creato questa app.
Greenlight Bonnie
utente Android
Knowunity è un applicazione fantastica,considerando che ha degli schemi veramente molto carini e sfiziosi e che ci sono dei quiz,oltre al fatto che questa cosa dell intelligenza artificiale "school gpt" è almeno per me molto utile, perché a differenza di Chatgpt ti da le spiegazioni, ti spiega ciò che non è chiaro! Posso studiare più velocemente tramite gli schemi e che posso pubblicare io stessa gli schemi è una funzione utilissima per gli altri studenti. Knowunity è PERFETTA
Aurora
utente Android
L’app funziona benissimo e puoi trovare qualsiasi tipo di informazione. Non ho l’abbonamento ma la parte gratuita è sufficiente per uno studio approfondito.
Martina
utente iOS
in questi ultimi mesi di scuola dove il tempo è ormai poco, mi sta aiutando molto perché piuttosto che farmi io gli schemi su quello che leggo sul libro guardo questi già fatti e li uso come ripasso piuttosto che rileggermi tutto il libro
Chiara
utente IOS
Questa app è una delle migliori, nient’altro da dire.
Andrea
utente iOS
L'applicazione è molto facile da usare e ben progettata. Finora ho trovato tutto quello che cercavo e ho potuto imparare molto dalle presentazioni! Utilizzerò sicuramente l'app per i compiti in classe! È molto utile anche come fonte di ispirazione.
Stefano S
utente iOS
Questa applicazione è davvero grande! Ci sono tantissimi appunti e aiuti con lo studio [...]. La mia materia problematica, per esempio, è il francese e l'app ha così tante opzioni per aiutarmi. Grazie a questa app ho migliorato il mio francese. La consiglio a tutti.
Samantha Klich
utente Android
Wow, sono davvero stupita. Ho appena provato l'app perché l'ho vista pubblicizzata molte volte e sono rimasta assolutamente sbalordita. Questa app è L'AIUTO che cercate per la scuola e soprattutto offre tantissime cose, come allenamenti e schede, che a me personalmente sono state MOLTO utili.
Anna
utente iOS
È bellissima questa app, la adoro. È utilissima per lo studio e mi aiuta molto, anzi moltissimo, ma soprattutto mi aiutano molto i quiz, per memorizzare anche quello che non sapevo
Anastasia
utente Android
Fantastica per qualsiasi materia avere gli appunti anche di altre persone è molto utile perchè posso confrontarmi e vedere come migliorarmi. con i quiz riesco ad apprendere al meglio.
Francesca
utente Android
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Marianna
utente Android
L'applicazione è semplicemente fantastica! Tutto ciò che devo fare è inserire l'argomento nella barra di ricerca e ottengo la risposta molto velocemente. Non devo guardare 10 video di YouTube per capire qualcosa, quindi risparmio tempo. Consigliatissima!
Sudenaz Ocak
utente Android
A scuola andavo malissimo in matematica, ma grazie a questa applicazione ora vado meglio. Vi sono molto grato per aver creato questa app.
Greenlight Bonnie
utente Android
Knowunity è un applicazione fantastica,considerando che ha degli schemi veramente molto carini e sfiziosi e che ci sono dei quiz,oltre al fatto che questa cosa dell intelligenza artificiale "school gpt" è almeno per me molto utile, perché a differenza di Chatgpt ti da le spiegazioni, ti spiega ciò che non è chiaro! Posso studiare più velocemente tramite gli schemi e che posso pubblicare io stessa gli schemi è una funzione utilissima per gli altri studenti. Knowunity è PERFETTA
Aurora
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Martina
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in questi ultimi mesi di scuola dove il tempo è ormai poco, mi sta aiutando molto perché piuttosto che farmi io gli schemi su quello che leggo sul libro guardo questi già fatti e li uso come ripasso piuttosto che rileggermi tutto il libro
Chiara
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Questa app è una delle migliori, nient’altro da dire.
Andrea
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camilla
@camilla_qwlh
Le funzioni goniometriche di angoli associati sono uno strumento fondamentale per semplificare i calcoli trigonometrici. Quando hai un angolo α, puoi trovare rapidamente seno, coseno, tangente e cotangente di angoli "imparentati" con α usando delle formule specifiche.
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Invece di calcolare ogni volta le funzioni goniometriche da zero, puoi usare gli angoli associati per risolvere problemi complessi in pochi secondi. Questi angoli hanno relazioni speciali con l'angolo α originale.
Gli angoli opposti (-α) ti danno risultati molto semplici: il seno, la tangente e la cotangente cambiano segno, mentre il coseno resta uguale. Questo succede perché -α si trova sempre nel quarto quadrante quando α è nel primo.
Per gli angoli esplementari (2π - α), ottieni lo stesso risultato: seno, tangente e cotangente diventano negativi, mentre il coseno rimane positivo. La ragione è che questi angoli hanno la stessa "distanza" dall'asse x.
Gli angoli supplementari (π - α) invece funzionano diversamente: il seno resta uguale, ma coseno, tangente e cotangente diventano negativi. Questo perché π - α finisce sempre nel secondo quadrante.
Trucco per ricordare: Guarda sempre in quale quadrante finisce l'angolo associato per capire quali funzioni saranno positive o negative!
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Gli angoli che coinvolgono π/2 sono i più interessanti perché scambiano le funzioni tra loro. Quando hai π/2 - α (angoli complementari), seno diventa coseno e viceversa, tangente diventa cotangente e viceversa.
Per π/2 + α, le funzioni si scambiano ma con qualche cambio di segno: il seno diventa coseno, ma il coseno diventa -seno. Lo stesso vale per tangente e cotangente che si scambiano con segno opposto.
Gli angoli con 3π/2 seguono pattern simili ma più complessi. Con 3π/2 - α ottieni ancora lo scambio seno-coseno, ma il coseno diventa negativo. Con 3π/2 + α, invece, non ci sono cambi di segno per seno e coseno.
Questi pattern sembrano complicati all'inizio, ma una volta che ci fai l'occhio diventano automatici. La chiave è sempre visualizzare dove finisce l'angolo sul cerchio goniometrico.
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Chiara
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Questa app è una delle migliori, nient’altro da dire.
Andrea
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L'applicazione è molto facile da usare e ben progettata. Finora ho trovato tutto quello che cercavo e ho potuto imparare molto dalle presentazioni! Utilizzerò sicuramente l'app per i compiti in classe! È molto utile anche come fonte di ispirazione.
Stefano S
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Questa applicazione è davvero grande! Ci sono tantissimi appunti e aiuti con lo studio [...]. La mia materia problematica, per esempio, è il francese e l'app ha così tante opzioni per aiutarmi. Grazie a questa app ho migliorato il mio francese. La consiglio a tutti.
Samantha Klich
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Wow, sono davvero stupita. Ho appena provato l'app perché l'ho vista pubblicizzata molte volte e sono rimasta assolutamente sbalordita. Questa app è L'AIUTO che cercate per la scuola e soprattutto offre tantissime cose, come allenamenti e schede, che a me personalmente sono state MOLTO utili.
Anna
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È bellissima questa app, la adoro. È utilissima per lo studio e mi aiuta molto, anzi moltissimo, ma soprattutto mi aiutano molto i quiz, per memorizzare anche quello che non sapevo
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Fantastica per qualsiasi materia avere gli appunti anche di altre persone è molto utile perchè posso confrontarmi e vedere come migliorarmi. con i quiz riesco ad apprendere al meglio.
Francesca
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A scuola andavo malissimo in matematica, ma grazie a questa applicazione ora vado meglio. Vi sono molto grato per aver creato questa app.
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Knowunity è un applicazione fantastica,considerando che ha degli schemi veramente molto carini e sfiziosi e che ci sono dei quiz,oltre al fatto che questa cosa dell intelligenza artificiale "school gpt" è almeno per me molto utile, perché a differenza di Chatgpt ti da le spiegazioni, ti spiega ciò che non è chiaro! Posso studiare più velocemente tramite gli schemi e che posso pubblicare io stessa gli schemi è una funzione utilissima per gli altri studenti. Knowunity è PERFETTA
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