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14 dic 2025
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Benedetto Ciorro
@benedetto06
Gli intervalli sono insiemi di numeri reali che rappresentano porzioni... Mostra di più
Gli intervalli limitati sono come segmenti sulla retta numerica, con due estremi definiti. La differenza principale sta nel modo in cui trattiamo questi estremi.
Negli intervalli chiusi , i valori estremi a e b fanno parte dell'insieme. Negli intervalli aperti ]a; b[, invece, gli estremi sono esclusi. Esistono anche intervalli misti: chiusi da un lato e aperti dall'altro.
L'ampiezza si calcola facendo b-a, mentre il centro dell'intervallo si trova con /2. Questi concetti ti serviranno spesso negli esercizi di analisi.
Trucco: Le parentesi quadre includono l'estremo, quelle tonde ( ) o ] [ lo escludono!
Gli intervalli illimitati si estendono all'infinito in una direzione. Quando scrivi [a; +∞[, stai descrivendo tutti i numeri maggiori o uguali ad a. Ricorda che +∞ e -∞ non sono numeri reali, quindi sono sempre esclusi.
Un intorno completo di un punto x₀ è semplicemente un intervallo aperto che contiene quel punto. L'intorno circolare è più specifico: ha il punto al centro e un raggio δ fisso.
Gli intorni sono strumenti potentissimi per definire limiti e continuità. Quando fai l'unione o l'intersezione di intorni dello stesso punto, ottieni sempre un altro intorno.
Attenzione: Gli intorni destri e sinistri includono solo una "metà" attorno al punto!
L'intorno destro ]x₀; x₀+δ[ include solo i punti a destra di x₀, mentre l'intorno sinistro ]x₀-δ; x₀[ solo quelli a sinistra. Questi sono cruciali per studiare i limiti laterali.
Gli intorni di infinito descrivono comportamenti "lontano" sulla retta numerica. Un intorno di +∞ è del tipo ]b; +∞-∞; a[.
Questi concetti diventano essenziali quando studi i limiti all'infinito delle funzioni. Non sono difficili, basta visualizzarli sulla retta numerica!
Suggerimento: Disegna sempre gli intorni sulla retta per capirli meglio visivamente!
Un insieme F è superiormente limitato se esiste un numero a tale che tutti gli elementi di F sono minori o uguali ad a. È inferiormente limitato se esiste un numero b che è minore o uguale a tutti gli elementi.
L'estremo superiore è il più piccolo dei maggioranti, mentre l'estremo inferiore è il più grande dei minoranti. Se appartengono all'insieme, li chiamiamo massimo e minimo.
La differenza tra estremo e massimo è sottile ma importante: il massimo deve appartenere all'insieme, l'estremo superiore no necessariamente. Questa distinzione è fondamentale per l'analisi.
Esempio: L'insieme ]0; 1[ ha estremo superiore 1 ma non ha massimo!
Un punto isolato di un insieme A è un elemento che sta "da solo": esiste un intorno di quel punto che non contiene altri elementi di A. È come un punto sperduto rispetto agli altri.
Un punto di accumulazione è l'opposto: ogni suo intorno contiene infiniti punti dell'insieme A. Può appartenere o meno all'insieme stesso, ma è sempre "circondato" da infiniti punti di A.
Questi concetti sono la base per capire la topologia della retta reale. Ti serviranno per studiare funzioni continue e per comprendere meglio il comportamento degli insiemi numerici.
Visualizza: I punti isolati sono come isole, i punti di accumulazione come centri affollati!
Il nostro assistente AI è costruito specificamente per le esigenze degli studenti. Sulla base dei milioni di contenuti presenti sulla piattaforma, possiamo fornire agli studenti risposte davvero significative e pertinenti. Ma non si tratta solo di risposte, l'assistente è in grado di guidare gli studenti attraverso le loro sfide quotidiane di studio, con piani di studio personalizzati, quiz o contenuti nella chat e una personalizzazione al 100% basata sulle competenze e sugli sviluppi degli studenti.
È possibile scaricare l'applicazione dal Google Play Store e dall'Apple App Store.
Sì, hai accesso completamente gratuito a tutti i contenuti nell'app e puoi chattare o seguire i Creatori in qualsiasi momento. Sbloccherai nuove funzioni crescendo il tuo numero di follower. Inoltre, offriamo Knowunity Premium, che consente di studiare senza alcun limite!!
App Store
Google Play
L'applicazione è molto facile da usare e ben progettata. Finora ho trovato tutto quello che cercavo e ho potuto imparare molto dalle presentazioni! Utilizzerò sicuramente l'app per i compiti in classe! È molto utile anche come fonte di ispirazione.
Stefano S
utente iOS
Questa applicazione è davvero grande! Ci sono tantissimi appunti e aiuti con lo studio [...]. La mia materia problematica, per esempio, è il francese e l'app ha così tante opzioni per aiutarmi. Grazie a questa app ho migliorato il mio francese. La consiglio a tutti.
Samantha Klich
utente Android
Wow, sono davvero stupita. Ho appena provato l'app perché l'ho vista pubblicizzata molte volte e sono rimasta assolutamente sbalordita. Questa app è L'AIUTO che cercate per la scuola e soprattutto offre tantissime cose, come allenamenti e schede, che a me personalmente sono state MOLTO utili.
Anna
utente iOS
È bellissima questa app, la adoro. È utilissima per lo studio e mi aiuta molto, anzi moltissimo, ma soprattutto mi aiutano molto i quiz, per memorizzare anche quello che non sapevo
Anastasia
utente Android
Fantastica per qualsiasi materia avere gli appunti anche di altre persone è molto utile perchè posso confrontarmi e vedere come migliorarmi. con i quiz riesco ad apprendere al meglio.
Francesca
utente Android
moooolto utile,gli appunti sono belli e funzionanti,schoolGPT da dei consigli formidabili!!
Marianna
utente Android
L'applicazione è semplicemente fantastica! Tutto ciò che devo fare è inserire l'argomento nella barra di ricerca e ottengo la risposta molto velocemente. Non devo guardare 10 video di YouTube per capire qualcosa, quindi risparmio tempo. Consigliatissima!
Sudenaz Ocak
utente Android
A scuola andavo malissimo in matematica, ma grazie a questa applicazione ora vado meglio. Vi sono molto grato per aver creato questa app.
Greenlight Bonnie
utente Android
Knowunity è un applicazione fantastica,considerando che ha degli schemi veramente molto carini e sfiziosi e che ci sono dei quiz,oltre al fatto che questa cosa dell intelligenza artificiale "school gpt" è almeno per me molto utile, perché a differenza di Chatgpt ti da le spiegazioni, ti spiega ciò che non è chiaro! Posso studiare più velocemente tramite gli schemi e che posso pubblicare io stessa gli schemi è una funzione utilissima per gli altri studenti. Knowunity è PERFETTA
Aurora
utente Android
L’app funziona benissimo e puoi trovare qualsiasi tipo di informazione. Non ho l’abbonamento ma la parte gratuita è sufficiente per uno studio approfondito.
Martina
utente iOS
in questi ultimi mesi di scuola dove il tempo è ormai poco, mi sta aiutando molto perché piuttosto che farmi io gli schemi su quello che leggo sul libro guardo questi già fatti e li uso come ripasso piuttosto che rileggermi tutto il libro
Chiara
utente IOS
Questa app è una delle migliori, nient’altro da dire.
Andrea
utente iOS
L'applicazione è molto facile da usare e ben progettata. Finora ho trovato tutto quello che cercavo e ho potuto imparare molto dalle presentazioni! Utilizzerò sicuramente l'app per i compiti in classe! È molto utile anche come fonte di ispirazione.
Stefano S
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Questa applicazione è davvero grande! Ci sono tantissimi appunti e aiuti con lo studio [...]. La mia materia problematica, per esempio, è il francese e l'app ha così tante opzioni per aiutarmi. Grazie a questa app ho migliorato il mio francese. La consiglio a tutti.
Samantha Klich
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Anna
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Anastasia
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Fantastica per qualsiasi materia avere gli appunti anche di altre persone è molto utile perchè posso confrontarmi e vedere come migliorarmi. con i quiz riesco ad apprendere al meglio.
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Marianna
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L'applicazione è semplicemente fantastica! Tutto ciò che devo fare è inserire l'argomento nella barra di ricerca e ottengo la risposta molto velocemente. Non devo guardare 10 video di YouTube per capire qualcosa, quindi risparmio tempo. Consigliatissima!
Sudenaz Ocak
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A scuola andavo malissimo in matematica, ma grazie a questa applicazione ora vado meglio. Vi sono molto grato per aver creato questa app.
Greenlight Bonnie
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Aurora
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Martina
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Chiara
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Questa app è una delle migliori, nient’altro da dire.
Andrea
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Benedetto Ciorro
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Gli intervalli sono insiemi di numeri reali che rappresentano porzioni della retta numerica. Capire come funzionano è fondamentale per lo studio delle funzioni e dell'analisi matematica.
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Gli intervalli limitati sono come segmenti sulla retta numerica, con due estremi definiti. La differenza principale sta nel modo in cui trattiamo questi estremi.
Negli intervalli chiusi , i valori estremi a e b fanno parte dell'insieme. Negli intervalli aperti ]a; b[, invece, gli estremi sono esclusi. Esistono anche intervalli misti: chiusi da un lato e aperti dall'altro.
L'ampiezza si calcola facendo b-a, mentre il centro dell'intervallo si trova con /2. Questi concetti ti serviranno spesso negli esercizi di analisi.
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Un intorno completo di un punto x₀ è semplicemente un intervallo aperto che contiene quel punto. L'intorno circolare è più specifico: ha il punto al centro e un raggio δ fisso.
Gli intorni sono strumenti potentissimi per definire limiti e continuità. Quando fai l'unione o l'intersezione di intorni dello stesso punto, ottieni sempre un altro intorno.
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Questi concetti diventano essenziali quando studi i limiti all'infinito delle funzioni. Non sono difficili, basta visualizzarli sulla retta numerica!
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La differenza tra estremo e massimo è sottile ma importante: il massimo deve appartenere all'insieme, l'estremo superiore no necessariamente. Questa distinzione è fondamentale per l'analisi.
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Stefano S
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Aurora
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