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27 nov 2025
•
Laura Pandolfi
@laurapandolfi
I limiti e la continuità rappresentano i pilastri del calcolo... Mostra di più
Il limite è uno strumento che ti permette di capire verso quale valore si avvicina una funzione f(x) quando x si avvicina a un punto x₀. È come guardare dove sta andando una funzione anche quando non può "toccare" quel punto.
Matematicamente scriviamo lim f(x) = l quando, scelto un numero ε piccolissimo, riusciamo a trovare un intervallo intorno a x₀ dove tutti i valori di f(x) distano da l meno di ε. Questo significa che più ci avviciniamo a x₀, più f(x) si avvicina a l.
💡 Ricorda: Il limite serve per determinare il valore di una funzione in punti che NON fanno parte del dominio o quando x tende a ±∞.
La definizione formale usa i parametri δ (delta) per controllare la distanza sull'asse x e ε (epsilon) per controllare la distanza sull'asse y. Più piccolo è ε, più preciso dev'essere δ.
Questo teorema ti garantisce una cosa fondamentale: se una funzione ha limite, questo è unico. Non può tendere contemporaneamente a due valori diversi - sarebbe matematicamente impossibile!
La dimostrazione usa il metodo per assurdo. Supponiamo che f(x) tenda sia a l₁ che a l₂ (con l₁ ≠ l₂). Applicando la definizione di limite, otteniamo che |l₁ - l₂| < 2ε per ogni ε positivo.
Usando la disuguaglianza triangolare, arriviamo a |l₁ - l₂| = 0, quindi l₁ = l₂. Questo contraddice la nostra ipotesi iniziale!
⚡ Punto chiave: Se esiste il limite di una funzione, è sempre uno solo. Altrimenti il limite semplicemente non esiste.
Il teorema della permanenza del segno ti dice una cosa intuitiva: se il limite di una funzione è positivo (o negativo), allora la funzione mantiene lo stesso segno in un intorno del punto.
In pratica, se lim f(x) = l > 0, allora esiste un intervallo intorno a x₀ dove f(x) è sempre positiva. Lo stesso vale per i limiti negativi.
Questo teorema è super utile quando devi studiare il comportamento di una funzione vicino a punti critici. Ti aiuta a capire se la funzione sta "sopra" o "sotto" l'asse x.
🎯 Applicazione pratica: Usa questo teorema per determinare il segno di funzioni complesse vicino a punti dove non riesci a calcolare direttamente il valore.
Questo è uno dei teoremi più potenti per calcolare limiti difficili! Se hai tre funzioni h(x) ≤ f(x) ≤ g(x) e le funzioni "esterne" h(x) e g(x) tendono allo stesso limite l, allora anche f(x) tende a l.
È come se f(x) fosse "schiacciata" tra h(x) e g(x): se le due funzioni che la intrappolano vanno nello stesso posto, anche lei deve andarci. La dimostrazione usa il fatto che se |h(x) - l| < ε e |g(x) - l| < ε, allora anche |f(x) - l| < ε.
Questo teorema è essenziale per risolvere forme indeterminate e limiti con funzioni oscillanti.
🔧 Strategia: Quando hai un limite difficile, cerca di "intrappolare" la tua funzione tra due funzioni più semplici con lo stesso limite.
I limiti notevoli sono formule pre-calcolate che risolvono forme indeterminate ricorrenti. Sono come una "cassetta degli attrezzi" matematica che ti fa risparmiare tempo e fatica!
La tabella include i limiti fondamentali per funzioni goniometriche e funzioni esponenziali e logaritmiche . Questi limiti si presentano costantemente negli esercizi.
Il limite più famoso è sicuramente lim = 1 per x→0, che si dimostra usando il teorema dei Carabinieri con le disuguaglianze sin x ≤ x ≤ tg x.
📚 Consiglio: Memorizza almeno i limiti notevoli più comuni - ti serviranno praticamente in ogni problema di calcolo!
Vediamo come applicare i limiti notevoli con esempi concreti. Per lim quando x→0, usiamo la disuguaglianza fondamentale: per 0 < x < π/2 vale sin x ≤ x ≤ tg x.
Dividendo tutto per sin x otteniamo 1 ≤ x/sin x ≤ 1/cos x, quindi cos x ≤ sin x/x ≤ 1. Poiché lim cos x = 1 per x→0, per il teorema dei Carabinieri anche lim = 1.
Un altro esempio importante è lim x·sin per x→0. Qui usiamo il fatto che -1 ≤ sin ≤ 1, quindi -|x| ≤ x·sin ≤ |x|, e per il teorema dei Carabinieri il limite è 0.
🎲 Trucco: Nei limiti con funzioni oscillanti , cerca sempre di "limitare" l'oscillazione moltiplicando per qualcosa che tende a zero.
Una funzione è continua in un punto x₀ quando il suo grafico non presenta "salti" o "buchi" in quel punto. Matematicamente: f è continua in x₀ se lim f(x) = f(x₀).
Perché questo accada servono tre condizioni: la funzione deve essere definita in x₀, deve esistere il limite per x→x₀, e questi due valori devono coincidere. Se manca anche solo una di queste condizioni, hai una discontinuità.
Esistono diversi tipi di continuità: continua a destra se il limite destro esiste ed è uguale a f(x₀), continua a sinistra se vale lo stesso per il limite sinistro. Una funzione è continua in un intervallo se è continua in ogni punto dell'intervallo.
🔍 Osservazione: La continuità è fondamentale per applicare teoremi importanti come quello di Weierstrass e il teorema degli zeri!
Il nostro assistente AI è costruito specificamente per le esigenze degli studenti. Sulla base dei milioni di contenuti presenti sulla piattaforma, possiamo fornire agli studenti risposte davvero significative e pertinenti. Ma non si tratta solo di risposte, l'assistente è in grado di guidare gli studenti attraverso le loro sfide quotidiane di studio, con piani di studio personalizzati, quiz o contenuti nella chat e una personalizzazione al 100% basata sulle competenze e sugli sviluppi degli studenti.
È possibile scaricare l'applicazione dal Google Play Store e dall'Apple App Store.
Sì, hai accesso completamente gratuito a tutti i contenuti nell'app e puoi chattare o seguire i Creatori in qualsiasi momento. Sbloccherai nuove funzioni crescendo il tuo numero di follower. Inoltre, offriamo Knowunity Premium, che consente di studiare senza alcun limite!!
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Google Play
L'applicazione è molto facile da usare e ben progettata. Finora ho trovato tutto quello che cercavo e ho potuto imparare molto dalle presentazioni! Utilizzerò sicuramente l'app per i compiti in classe! È molto utile anche come fonte di ispirazione.
Stefano S
utente iOS
Questa applicazione è davvero grande! Ci sono tantissimi appunti e aiuti con lo studio [...]. La mia materia problematica, per esempio, è il francese e l'app ha così tante opzioni per aiutarmi. Grazie a questa app ho migliorato il mio francese. La consiglio a tutti.
Samantha Klich
utente Android
Wow, sono davvero stupita. Ho appena provato l'app perché l'ho vista pubblicizzata molte volte e sono rimasta assolutamente sbalordita. Questa app è L'AIUTO che cercate per la scuola e soprattutto offre tantissime cose, come allenamenti e schede, che a me personalmente sono state MOLTO utili.
Anna
utente iOS
È bellissima questa app, la adoro. È utilissima per lo studio e mi aiuta molto, anzi moltissimo, ma soprattutto mi aiutano molto i quiz, per memorizzare anche quello che non sapevo
Anastasia
utente Android
Fantastica per qualsiasi materia avere gli appunti anche di altre persone è molto utile perchè posso confrontarmi e vedere come migliorarmi. con i quiz riesco ad apprendere al meglio.
Francesca
utente Android
moooolto utile,gli appunti sono belli e funzionanti,schoolGPT da dei consigli formidabili!!
Marianna
utente Android
L'applicazione è semplicemente fantastica! Tutto ciò che devo fare è inserire l'argomento nella barra di ricerca e ottengo la risposta molto velocemente. Non devo guardare 10 video di YouTube per capire qualcosa, quindi risparmio tempo. Consigliatissima!
Sudenaz Ocak
utente Android
A scuola andavo malissimo in matematica, ma grazie a questa applicazione ora vado meglio. Vi sono molto grato per aver creato questa app.
Greenlight Bonnie
utente Android
Knowunity è un applicazione fantastica,considerando che ha degli schemi veramente molto carini e sfiziosi e che ci sono dei quiz,oltre al fatto che questa cosa dell intelligenza artificiale "school gpt" è almeno per me molto utile, perché a differenza di Chatgpt ti da le spiegazioni, ti spiega ciò che non è chiaro! Posso studiare più velocemente tramite gli schemi e che posso pubblicare io stessa gli schemi è una funzione utilissima per gli altri studenti. Knowunity è PERFETTA
Aurora
utente Android
L’app funziona benissimo e puoi trovare qualsiasi tipo di informazione. Non ho l’abbonamento ma la parte gratuita è sufficiente per uno studio approfondito.
Martina
utente iOS
in questi ultimi mesi di scuola dove il tempo è ormai poco, mi sta aiutando molto perché piuttosto che farmi io gli schemi su quello che leggo sul libro guardo questi già fatti e li uso come ripasso piuttosto che rileggermi tutto il libro
Chiara
utente IOS
Questa app è una delle migliori, nient’altro da dire.
Andrea
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Questa applicazione è davvero grande! Ci sono tantissimi appunti e aiuti con lo studio [...]. La mia materia problematica, per esempio, è il francese e l'app ha così tante opzioni per aiutarmi. Grazie a questa app ho migliorato il mio francese. La consiglio a tutti.
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Laura Pandolfi
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I limiti e la continuità rappresentano i pilastri del calcolo matematico che ti permettono di capire il comportamento delle funzioni. Scoprirai come questi concetti ti aiutano a risolvere problemi che sembrano impossibili e a comprendere cosa succede quando le funzioni... Mostra di più
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Il limite è uno strumento che ti permette di capire verso quale valore si avvicina una funzione f(x) quando x si avvicina a un punto x₀. È come guardare dove sta andando una funzione anche quando non può "toccare" quel punto.
Matematicamente scriviamo lim f(x) = l quando, scelto un numero ε piccolissimo, riusciamo a trovare un intervallo intorno a x₀ dove tutti i valori di f(x) distano da l meno di ε. Questo significa che più ci avviciniamo a x₀, più f(x) si avvicina a l.
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La dimostrazione usa il metodo per assurdo. Supponiamo che f(x) tenda sia a l₁ che a l₂ (con l₁ ≠ l₂). Applicando la definizione di limite, otteniamo che |l₁ - l₂| < 2ε per ogni ε positivo.
Usando la disuguaglianza triangolare, arriviamo a |l₁ - l₂| = 0, quindi l₁ = l₂. Questo contraddice la nostra ipotesi iniziale!
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Un altro esempio importante è lim x·sin per x→0. Qui usiamo il fatto che -1 ≤ sin ≤ 1, quindi -|x| ≤ x·sin ≤ |x|, e per il teorema dei Carabinieri il limite è 0.
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Esistono diversi tipi di continuità: continua a destra se il limite destro esiste ed è uguale a f(x₀), continua a sinistra se vale lo stesso per il limite sinistro. Una funzione è continua in un intervallo se è continua in ogni punto dell'intervallo.
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