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Souh
30/11/2025
Matematica
Algebra Lineare - Sistemi Lineari
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•
30 nov 2025
•
Souh
@souhxviii
I sistemi lineari sono uno strumento matematico fondamentale per risolvere... Mostra di più
Immagina di dover risolvere più equazioni contemporaneamente - ecco cosa sono i sistemi lineari! Un sistema è formato da n equazioni con m incognite, e risolverlo significa trovare i valori che soddisfano tutte le equazioni insieme.
Per capire quante soluzioni ha un sistema, devi trasformarlo in forma matriciale. Avrai due matrici: quella incompleta (solo i coefficienti) e quella completa .
Il Teorema di Rouché-Capelli è la tua chiave per capire tutto: un sistema ha soluzioni solo se il rango della matrice incompleta è uguale al rango di quella completa. Se i ranghi sono diversi, il sistema è impossibile. Se sono uguali al numero di incognite, hai una sola soluzione. Se sono uguali ma minori del numero di incognite, hai infinite soluzioni!
Ricorda: Per sistemi parametrici, analizza ogni valore del parametro separatamente per vedere come cambia il rango!
Quando hai un sistema quadrato (stesso numero di equazioni e incognite) con una sola soluzione, la Regola di Cramer ti offre una strada diretta! Funziona solo se il determinante della matrice è diverso da zero.
Il trucco è semplice: per trovare ogni incognita, calcoli il determinante sostituendo la colonna dei coefficienti di quell'incognita con la colonna dei termini noti, poi dividi per il determinante originale.
La dimostrazione si basa sull'uso della matrice inversa: se AX = B e |A| ≠ 0, allora X = A⁻¹B. Questo ti porta direttamente alle formule di Cramer.
Per sistemi indeterminati, puoi ancora usare Cramer! Scegli alcune incognite come variabili libere e applica la regola alle altre. Attenzione: se il determinante viene zero, hai scelto le variabili libere sbagliate!
Trucco pratico: Cramer funziona meglio con sistemi piccoli (2x2 o 3x3) perché calcolare determinanti grandi richiede molto tempo!
Il metodo di Gauss è probabilmente il più versatile per risolvere sistemi lineari! L'idea è trasformare la matrice in una forma a scalini attraverso operazioni sulle righe: scambi, moltiplicazioni e combinazioni lineari.
Il processo è sistematico: parti dalla prima colonna e crea degli zeri sotto il primo elemento, poi passi alla seconda colonna e così via. Alla fine ottieni una matrice triangolare superiore che è facilissima da risolvere.
Con questo metodo puoi gestire tutti i tipi di sistemi. Se durante l'eliminazione ottieni una riga del tipo "0 = numero diverso da zero", il sistema è impossibile. Se rimangono righe di soli zeri, il sistema è indeterminato.
La bellezza di Gauss è che funziona sempre: non importa la dimensione del sistema o se è quadrato o rettangolare. Una volta arrivato alla forma a scalini, leggi le soluzioni dal basso verso l'alto sostituendo i valori trovati nelle equazioni superiori.
Consiglio: Tieni sempre traccia delle operazioni che fai - ti aiuterà a evitare errori di calcolo!
Gli esercizi mostrano come applicare concretamente tutti i metodi studiati. Vedrai moltiplicazioni tra matrici, calcoli di rango e risoluzione completa di sistemi.
Negli esercizi di eliminazione di Gauss, noterai come le trasformazioni elementari ti portano gradualmente alla forma a scalini. Il rango corrisponde al numero di righe non nulle nella forma ridotta.
I sistemi parametrici degli esami mostrano situazioni reali: devi analizzare quando il sistema ha soluzioni e descriverle in forma parametrica. La notazione vettoriale finale rappresenta tutte le infinite soluzioni.
Negli esercizi più complessi, come quello dell'esame 25-06-2024, vedi come gestire 5 incognite e 4 equazioni. Il risultato rk(A) = rk(A|b) = 4 < 5 ti dice che hai ∞¹ soluzioni, cioè una famiglia di soluzioni che dipende da un parametro libero.
Strategia vincente: Parti sempre calcolando i ranghi - ti dicono subito che tipo di sistema stai affrontando e quale metodo conviene usare!
Il nostro assistente AI è costruito specificamente per le esigenze degli studenti. Sulla base dei milioni di contenuti presenti sulla piattaforma, possiamo fornire agli studenti risposte davvero significative e pertinenti. Ma non si tratta solo di risposte, l'assistente è in grado di guidare gli studenti attraverso le loro sfide quotidiane di studio, con piani di studio personalizzati, quiz o contenuti nella chat e una personalizzazione al 100% basata sulle competenze e sugli sviluppi degli studenti.
È possibile scaricare l'applicazione dal Google Play Store e dall'Apple App Store.
Sì, hai accesso completamente gratuito a tutti i contenuti nell'app e puoi chattare o seguire i Creatori in qualsiasi momento. Sbloccherai nuove funzioni crescendo il tuo numero di follower. Inoltre, offriamo Knowunity Premium, che consente di studiare senza alcun limite!!
App Store
Google Play
L'applicazione è molto facile da usare e ben progettata. Finora ho trovato tutto quello che cercavo e ho potuto imparare molto dalle presentazioni! Utilizzerò sicuramente l'app per i compiti in classe! È molto utile anche come fonte di ispirazione.
Stefano S
utente iOS
Questa applicazione è davvero grande! Ci sono tantissimi appunti e aiuti con lo studio [...]. La mia materia problematica, per esempio, è il francese e l'app ha così tante opzioni per aiutarmi. Grazie a questa app ho migliorato il mio francese. La consiglio a tutti.
Samantha Klich
utente Android
Wow, sono davvero stupita. Ho appena provato l'app perché l'ho vista pubblicizzata molte volte e sono rimasta assolutamente sbalordita. Questa app è L'AIUTO che cercate per la scuola e soprattutto offre tantissime cose, come allenamenti e schede, che a me personalmente sono state MOLTO utili.
Anna
utente iOS
È bellissima questa app, la adoro. È utilissima per lo studio e mi aiuta molto, anzi moltissimo, ma soprattutto mi aiutano molto i quiz, per memorizzare anche quello che non sapevo
Anastasia
utente Android
Fantastica per qualsiasi materia avere gli appunti anche di altre persone è molto utile perchè posso confrontarmi e vedere come migliorarmi. con i quiz riesco ad apprendere al meglio.
Francesca
utente Android
moooolto utile,gli appunti sono belli e funzionanti,schoolGPT da dei consigli formidabili!!
Marianna
utente Android
L'applicazione è semplicemente fantastica! Tutto ciò che devo fare è inserire l'argomento nella barra di ricerca e ottengo la risposta molto velocemente. Non devo guardare 10 video di YouTube per capire qualcosa, quindi risparmio tempo. Consigliatissima!
Sudenaz Ocak
utente Android
A scuola andavo malissimo in matematica, ma grazie a questa applicazione ora vado meglio. Vi sono molto grato per aver creato questa app.
Greenlight Bonnie
utente Android
Knowunity è un applicazione fantastica,considerando che ha degli schemi veramente molto carini e sfiziosi e che ci sono dei quiz,oltre al fatto che questa cosa dell intelligenza artificiale "school gpt" è almeno per me molto utile, perché a differenza di Chatgpt ti da le spiegazioni, ti spiega ciò che non è chiaro! Posso studiare più velocemente tramite gli schemi e che posso pubblicare io stessa gli schemi è una funzione utilissima per gli altri studenti. Knowunity è PERFETTA
Aurora
utente Android
L’app funziona benissimo e puoi trovare qualsiasi tipo di informazione. Non ho l’abbonamento ma la parte gratuita è sufficiente per uno studio approfondito.
Martina
utente iOS
in questi ultimi mesi di scuola dove il tempo è ormai poco, mi sta aiutando molto perché piuttosto che farmi io gli schemi su quello che leggo sul libro guardo questi già fatti e li uso come ripasso piuttosto che rileggermi tutto il libro
Chiara
utente IOS
Questa app è una delle migliori, nient’altro da dire.
Andrea
utente iOS
L'applicazione è molto facile da usare e ben progettata. Finora ho trovato tutto quello che cercavo e ho potuto imparare molto dalle presentazioni! Utilizzerò sicuramente l'app per i compiti in classe! È molto utile anche come fonte di ispirazione.
Stefano S
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Questa applicazione è davvero grande! Ci sono tantissimi appunti e aiuti con lo studio [...]. La mia materia problematica, per esempio, è il francese e l'app ha così tante opzioni per aiutarmi. Grazie a questa app ho migliorato il mio francese. La consiglio a tutti.
Samantha Klich
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Wow, sono davvero stupita. Ho appena provato l'app perché l'ho vista pubblicizzata molte volte e sono rimasta assolutamente sbalordita. Questa app è L'AIUTO che cercate per la scuola e soprattutto offre tantissime cose, come allenamenti e schede, che a me personalmente sono state MOLTO utili.
Anna
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È bellissima questa app, la adoro. È utilissima per lo studio e mi aiuta molto, anzi moltissimo, ma soprattutto mi aiutano molto i quiz, per memorizzare anche quello che non sapevo
Anastasia
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Fantastica per qualsiasi materia avere gli appunti anche di altre persone è molto utile perchè posso confrontarmi e vedere come migliorarmi. con i quiz riesco ad apprendere al meglio.
Francesca
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Marianna
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L'applicazione è semplicemente fantastica! Tutto ciò che devo fare è inserire l'argomento nella barra di ricerca e ottengo la risposta molto velocemente. Non devo guardare 10 video di YouTube per capire qualcosa, quindi risparmio tempo. Consigliatissima!
Sudenaz Ocak
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A scuola andavo malissimo in matematica, ma grazie a questa applicazione ora vado meglio. Vi sono molto grato per aver creato questa app.
Greenlight Bonnie
utente Android
Knowunity è un applicazione fantastica,considerando che ha degli schemi veramente molto carini e sfiziosi e che ci sono dei quiz,oltre al fatto che questa cosa dell intelligenza artificiale "school gpt" è almeno per me molto utile, perché a differenza di Chatgpt ti da le spiegazioni, ti spiega ciò che non è chiaro! Posso studiare più velocemente tramite gli schemi e che posso pubblicare io stessa gli schemi è una funzione utilissima per gli altri studenti. Knowunity è PERFETTA
Aurora
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L’app funziona benissimo e puoi trovare qualsiasi tipo di informazione. Non ho l’abbonamento ma la parte gratuita è sufficiente per uno studio approfondito.
Martina
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in questi ultimi mesi di scuola dove il tempo è ormai poco, mi sta aiutando molto perché piuttosto che farmi io gli schemi su quello che leggo sul libro guardo questi già fatti e li uso come ripasso piuttosto che rileggermi tutto il libro
Chiara
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Questa app è una delle migliori, nient’altro da dire.
Andrea
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Souh
@souhxviii
I sistemi lineari sono uno strumento matematico fondamentale per risolvere problemi con più equazioni e più incognite. Imparerai come determinare se un sistema ha soluzioni e come trovarle usando diversi metodi pratici.
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Immagina di dover risolvere più equazioni contemporaneamente - ecco cosa sono i sistemi lineari! Un sistema è formato da n equazioni con m incognite, e risolverlo significa trovare i valori che soddisfano tutte le equazioni insieme.
Per capire quante soluzioni ha un sistema, devi trasformarlo in forma matriciale. Avrai due matrici: quella incompleta (solo i coefficienti) e quella completa .
Il Teorema di Rouché-Capelli è la tua chiave per capire tutto: un sistema ha soluzioni solo se il rango della matrice incompleta è uguale al rango di quella completa. Se i ranghi sono diversi, il sistema è impossibile. Se sono uguali al numero di incognite, hai una sola soluzione. Se sono uguali ma minori del numero di incognite, hai infinite soluzioni!
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Il trucco è semplice: per trovare ogni incognita, calcoli il determinante sostituendo la colonna dei coefficienti di quell'incognita con la colonna dei termini noti, poi dividi per il determinante originale.
La dimostrazione si basa sull'uso della matrice inversa: se AX = B e |A| ≠ 0, allora X = A⁻¹B. Questo ti porta direttamente alle formule di Cramer.
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La bellezza di Gauss è che funziona sempre: non importa la dimensione del sistema o se è quadrato o rettangolare. Una volta arrivato alla forma a scalini, leggi le soluzioni dal basso verso l'alto sostituendo i valori trovati nelle equazioni superiori.
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Negli esercizi più complessi, come quello dell'esame 25-06-2024, vedi come gestire 5 incognite e 4 equazioni. Il risultato rk(A) = rk(A|b) = 4 < 5 ti dice che hai ∞¹ soluzioni, cioè una famiglia di soluzioni che dipende da un parametro libero.
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