Moto Rettilineo Uniforme e Uniformemente Accelerato

Il moto rettilineo uniforme si verifica quando un corpo si muove in linea retta con velocità costante. La posizione di un oggetto in movimento è descritta dall'equazione: x(t) = x₀ + vt

dove x₀ è la posizione iniziale e v è la velocità. Il segno della velocità indica la direzione: positivo verso destra, negativo verso sinistra.

La velocità media si calcola come il rapporto tra spostamento e tempo: v = Δx/Δt. Per convertire le unità di misura, ricorda che 1 m/s = 3,6 km/h.

Nel moto uniformemente accelerato invece, l'accelerazione è costante. L'accelerazione è definita come la variazione di velocità nel tempo: a = Δv/Δt. Le equazioni fondamentali sono:

• v(t) = v₀ + at
• x(t) = x₀ + v₀t + ½at²

💡 Per trovare il punto d'incontro tra due oggetti in movimento, basta uguagliare le loro equazioni di posizione e risolvere rispetto al tempo!

Un caso particolare è la caduta libera, dove l'accelerazione è quella di gravità $g = 9,81 m/s²$. Se lanciamo un oggetto verso l'alto, esso salirà fino a raggiungere un'altezza massima quando la velocità diventa zero, poi ricadrà.

Vettori e Coordinate

I vettori sono fondamentali in fisica perché descrivono grandezze che hanno sia un modulo che una direzione. Possiamo rappresentare i vettori in diversi sistemi di coordinate.

Nelle coordinate cartesiane, un punto è identificato dalle sue componenti (x,y). Con i vettori possiamo eseguire operazioni come la somma, che segue la regola del parallelogramma: quando sommiamo due vettori, otteniamo un terzo vettore che rappresenta lo spostamento complessivo.

Ogni vettore può essere scomposto in componenti lungo gli assi coordinati. I versori sono vettori di lunghezza unitaria che indicano le direzioni degli assi.

Nelle coordinate polari invece, un punto è identificato da:

• r = distanza dall'origine
• θ = angolo rispetto all'asse x

Le formule per passare da coordinate polari a cartesiane sono:

• x = r·cos θ
• y = r·sin θ

💡 Ricorda che puoi sempre convertire coordinate polari in cartesiane e viceversa! Questa trasformazione è utile quando si studiano moti circolari.

Queste diverse rappresentazioni ci permettono di scegliere il sistema più comodo per descrivere un particolare problema fisico.

Vettori nella Cinematica e Moto Parabolico

In cinematica, i vettori ci permettono di descrivere posizione, velocità e accelerazione nel piano o nello spazio. Lo spostamento è rappresentato dal vettore Δr⃗.

La velocità vettoriale è definita come la derivata del vettore posizione rispetto al tempo: v⃗ = dr⃗/dt

Analogamente, l'accelerazione vettoriale è la derivata della velocità: a⃗ = dv⃗/dt

Il moto parabolico combina un moto rettilineo uniforme orizzontale con un moto uniformemente accelerato verticale. Le equazioni del moto sono:

• x(t) = v₀·cos(θ)·t
• y(t) = v₀·sin(θ)·t - ½gt²

Questo tipo di moto produce una traiettoria parabolica. La gittata (distanza orizzontale percorsa) è massima quando l'angolo di lancio è 45° e si calcola con: xₘₐₓ = (v₀²·sin2θ)/g

💡 Il moto parabolico è simmetrico! Se lanci un oggetto a 30° o a 60°, raggiungerà la stessa distanza orizzontale, ma con altezze massime diverse.

L'altezza massima raggiungibile è y₍ₘₐₓ₎ = (v₀²·sin²θ)/(2g) e si verifica quando la componente verticale della velocità diventa zero. Il tempo totale di volo è 2v₀·sin(θ)/g.

Moto Circolare e Prodotti tra Vettori

Nel moto circolare, un corpo si muove lungo una circonferenza di raggio R. La sua posizione è descritta dal vettore r⃗(t) = R·û_r, dove û_r è il versore radiale.

La velocità angolare ω = dθ/dt misura quanto velocemente cambia l'angolo nel tempo. La velocità tangenziale è collegata a quella angolare da v = R·ω.

Nel moto circolare uniforme, ω è costante e l'angolo varia linearmente col tempo: θ(t) = θ₀ + ωt. Il periodo T = 2π/ω è il tempo necessario per compiere un giro completo.

Le leggi orarie nelle componenti cartesiane sono:

• x(t) = R·cos$θ₀ + ωt$
• y(t) = R·sin$θ₀ + ωt$

Nel moto circolare è sempre presente un'accelerazione centripeta a_c = v²/R = ω²R, diretta verso il centro della circonferenza.

💡 Nel moto circolare uniforme la velocità cambia continuamente direzione ma non modulo, mentre nel moto rettilineo uniforme il vettore velocità è costante!

I prodotti tra vettori sono operazioni fondamentali:

• Il prodotto scalare a⃗·b⃗ = |a⃗|·|b⃗|·cos(θ) restituisce uno scalare
• Il prodotto vettoriale a⃗×b⃗ = |a⃗|·|b⃗|·sin(θ)·û_n restituisce un vettore perpendicolare ai due vettori, con direzione determinata dalla regola della mano destra

Scomposizione della Velocità e dell'Accelerazione

La velocità vettoriale può essere scomposta in componenti utili per analizzare il moto. Per un punto che si muove lungo una curva, la derivata temporale del vettore posizione fornisce la velocità:

v⃗ = dr⃗/dt = $dr/dt$·û_r + r·$dθ/dt$·û_n

Questa scomposizione divide la velocità in due componenti:

• Velocità radiale $v_r$: variazione del modulo del raggio vettore
• Velocità trasversa $v_θ$: variazione della direzione

Analogamente, l'accelerazione può essere scomposta in:

• Accelerazione tangenziale $a_t = dv/dt$: causa variazioni nel modulo della velocità
• Accelerazione normale $a_n = v²/R$: diretta verso il centro della curvatura della traiettoria

💡 La componente normale dell'accelerazione è sempre presente quando la traiettoria è curva, anche se la velocità ha modulo costante!

Il raggio di curvatura R = v²/a_n rappresenta il raggio del cerchio che meglio approssima la curva in un dato punto (cerchio osculatore). La curvatura è definita come 1/R.

Questi concetti ci permettono di analizzare moti complessi scomponendoli in parti più semplici, facilitando la comprensione del comportamento di un corpo in movimento lungo qualsiasi traiettoria.