Prodotto scalare tra vettori

Il prodotto scalare è un'operazione tra due vettori che produce uno scalare (un numero). La formula generale per il prodotto scalare è:

a · b = |a| |b| cos θ

dove θ è l'angolo tra i due vettori.

Proprietà del prodotto scalare:

1. Commutativa: a · b = b · a
2. Distributiva rispetto alla somma: a · (b + c) = (a · b) + (a · c)

Definition: Il prodotto scalare tra vettori con componenti si calcola come: a · b = (ax · bx) + (ay · by) + (az · bz)

Example: Il prodotto scalare di un vettore per se stesso dà il quadrato del suo modulo: a · a = |a|²

Il segno del prodotto scalare fornisce informazioni sull'angolo tra i vettori:

• Positivo: angolo acuto (0° < θ < 90°)
• Zero: angolo retto (θ = 90°)
• Negativo: angolo ottuso (90° < θ < 180°)

Highlight: Il prodotto scalare e vettoriale formule sono fondamentali in fisica per calcolare lavoro, momento angolare e altre grandezze.

Introduzione ai vettori

I vettori sono grandezze fisiche caratterizzate da tre elementi fondamentali:

1. Direzione: la retta su cui giace il vettore
2. Verso: l'orientamento del vettore lungo la direzione
3. Modulo: l'intensità o lunghezza del vettore

Per indicare un vettore si usa la notazione con una freccia sopra, ad esempio →a. Il modulo di un vettore si indica invece con le barre verticali, |a|.

Definizione: Un vettore è una grandezza fisica caratterizzata da direzione, verso e modulo.

La somma di vettori è un'operazione fondamentale che dipende dalla direzione e dal verso relativo dei vettori coinvolti. Si distinguono due casi principali:

1. Vettori con stessa direzione:
   • Se hanno lo stesso verso, il vettore somma avrà modulo pari alla somma dei moduli
   • Se hanno verso opposto, il vettore somma avrà modulo pari alla differenza dei moduli

Esempio: Per la somma di due vettori con stessa direzione e verso opposto, si trasporta la coda di un vettore sulla punta dell'altro. Il vettore risultante S avrà la stessa direzione, il verso del vettore maggiore e come modulo la differenza tra i moduli: S = |a - b|

Highlight: La somma vettoriale formula dipende dalla configurazione relativa dei vettori coinvolti.