Definizioni Base delle Funzioni

Una funzione è come una macchina che prende un numero in entrata e ne restituisce uno (e uno solo) in uscita. Ogni valore di x deve corrispondere a un solo valore di y - questa è la regola fondamentale.

Il dominio è l'insieme di tutti i valori di x per cui la funzione esiste e si può calcolare. Per trovarlo, devi fare attenzione a: denominatori che non possono essere zero $x-3 ≠ 0$, radicandi che devono essere positivi $4x-3 ≥ 0$, e logaritmi che accettano solo numeri positivi.

L'insieme immagine comprende tutti i valori che la funzione può assumere. Gli zeri sono i punti dove il grafico tocca l'asse x, cioè dove f(x) = 0.

Ricorda: Due funzioni sono uguali se hanno lo stesso dominio e la stessa struttura matematica - anche se sembrano diverse!

Segno e Simmetrie delle Funzioni

Il segno di una funzione ti dice dove si trova rispetto all'asse x: f(x) > 0 significa che è sopra l'asse (positiva), f(x) < 0 che è sotto (negativa), e f(x) = 0 che lo interseca.

Una funzione pari ha la proprietà che f$-x$ = f(x) - il suo grafico è simmetrico rispetto all'asse y, come uno specchio. Esempi classici sono x² e cos(x).

Le funzioni dispari invece soddisfano f$-x$ = -f(x) e sono simmetriche rispetto all'origine. Se ruoti il grafico di 180° intorno all'origine, ottieni lo stesso grafico.

Per le funzioni crescenti, quando x aumenta anche y aumenta. Per quelle decrescenti succede il contrario: x aumenta ma y diminuisce.

Trucco: Per verificare se una funzione è pari o dispari, sostituisci -x al posto di x e vedi cosa ottieni!

Tipi Speciali di Funzioni

Una funzione iniettiva è come un codice segreto: ogni valore di y corrisponde al massimo a un valore di x. Graficamente, ogni linea orizzontale interseca la funzione al massimo una volta.

Le funzioni suriettive sono l'opposto: ogni valore di y ha almeno una x corrispondente. Ogni linea orizzontale tocca il grafico almeno una volta.

Una funzione biettiva è sia iniettiva che suriettiva - la combinazione perfetta! È come avere una corrispondenza uno-a-uno tra x e y.

Le funzioni esponenziali hanno la forma y = aˣ dove la base a è sempre positiva e diversa da 1. Sono sempre positive e non sono mai né pari né dispari.

Nota bene: Le funzioni esponenziali sono ovunque nella vita reale - dalla crescita della popolazione ai calcoli dei tuoi risparmi!

Funzioni Esponenziali e Logaritmi

Le funzioni esponenziali si comportano diversamente a seconda della base. Se a > 1, la funzione è crescente; se 0 < a < 1, è decrescente. In entrambi i casi il dominio è ℝ e l'insieme immagine è (0; +∞).

Il logaritmo è l'operazione inversa dell'esponenziale. log_a(b) ti dice: "a quale potenza devo elevare a per ottenere b?" La base e l'argomento devono sempre essere positivi e diversi da 1.

Le proprietà dei logaritmi sono tue alleate: log_a(bc) = log_a(b) + log_a(c), log_a$b/c$ = log_a(b) - log_a(c), e log_a(bᶜ) = c·log_a(b). Il cambiamento di base usa la formula log_a(b) = log_m(b)/log_m(a).

Ricorda sempre: log_a(1) = 0, log_a(a) = 1, e a^$log_a(k)$ = k.

Suggerimento: I logaritmi trasformano moltiplicazioni in addizioni - per questo sono così utili nei calcoli complessi!

Funzioni Logaritmiche e Studio Completo

Le funzioni logaritmiche y = log_a(x) hanno comportamenti opposti alle esponenziali. Se a > 1, sono crescenti; se 0 < a < 1, sono decrescenti. Tutte passano per il punto (1,0) e hanno l'asse y come asintoto verticale.

Per lo studio completo di una funzione segui questi passi: 1) trova il dominio, 2) studia il segno, 3) trova le intersezioni con gli assi, 4) verifica le simmetrie. È un processo sistematico che ti porta a capire completamente il comportamento della funzione.

Esempio pratico: per f(x) = √$x²-x$/$x²-4$, devi prima imporre x²-x ≥ 0 e x² ≠ 4, poi studiare quando è positiva o negativa.

Strategia: Affronta lo studio step by step - non cercare di fare tutto insieme, rischi solo di confonderti!

Funzioni Trigonometriche: Seno e Coseno

Il seno è una funzione dispari con periodo 2π e valori compresi tra -1 e 1. È crescente in [-π/2, π/2] e decrescente in [π/2, 3π/2]. Gli zeri sono nei multipli di π.

Il coseno è invece una funzione pari, anche lei con periodo 2π e range [-1,1]. È crescente in [π, 2π] e decrescente in [0, π]. I suoi zeri sono in π/2 + kπ.

Entrambe le funzioni oscillano regolarmente e sono fondamentali per descrivere fenomeni periodici come onde, vibrazioni e moti circolari.

I punti di massimo e minimo sono prevedibili: il seno raggiunge 1 in π/2 + 2kπ e -1 in 3π/2 + 2kπ. Il coseno fa il contrario.

Visualizza: Immagina un punto che si muove su una ruota - le sue coordinate danno proprio seno e coseno dell'angolo!

Tangente, Secante e Cosecante

La tangente è il rapporto sin(x)/cos(x), quindi è indefinita quando cos(x) = 0. Ha asintoti verticali in π/2 + kπ e periodo π. È sempre crescente nei suoi intervalli di definizione.

La secante è 1/cos(x) e ha un comportamento più complesso. Il suo insieme immagine è (-∞, -1] ∪ [1, +∞) perché non può assumere valori tra -1 e 1.

La cosecante è 1/sin(x) e ha caratteristiche simili alla secante, ma con asintoti diversi. È indefinita quando sin(x) = 0, quindi in tutti i multipli di π.

Queste funzioni sono meno intuitive di seno e coseno, ma sono ugualmente importanti in trigonometria avanzata e fisica.

Attenzione: Ricorda sempre dove queste funzioni non esistono - è l'errore più comune negli esercizi!