Vettori e Operazioni Vettoriali

Ti sei mai chiesto come descrivere matematicamente una forza che agisce in diagonale? Ecco dove entrano in gioco i vettori! A differenza degli scalari (che sono solo numeri), i vettori hanno direzione, verso e modulo.

Un vettore si rappresenta con una freccia e in coordinate cartesiane si scrive come A = Ax x̂ + Ay ŷ + Az ẑ. Il suo modulo si calcola con |A| = √$Ax² + Ay² + Az²$, proprio come il teorema di Pitagora in 3D.

Le operazioni principali sono intuitive: l'addizione si fa con il metodo punta-coda (la coda del secondo vettore sulla punta del primo), mentre per la sottrazione basta sommare l'opposto. Ricorda che vale la proprietà commutativa e associativa!

💡 Trucco per gli esami: Per scomporre un vettore usa sempre Ax = A cos θ e Ay = A sen θ. È una formula che ti salverà in mille situazioni!

Prodotti tra Vettori e Scomposizione

Ora che conosci i vettori base, vediamo come "moltiplicarli" tra loro! Esistono due tipi di prodotto completamente diversi.

Il prodotto scalare $a · b = ab cos θ$ ti dà un numero, non un vettore. Se i vettori sono paralleli ottieni il massimo, se perpendicolari ottieni zero. È perfetto per calcolare il lavoro in fisica!

Il prodotto vettoriale $c = ab sen θ$ invece ti dà un nuovo vettore perpendicolare ai primi due. Usa la regola della mano destra: chiudi il pugno andando dal primo al secondo vettore, il pollice indica la direzione del risultato.

Per la scomposizione, proietta semplicemente il vettore sugli assi. Le componenti Ax e Ay sono scalari (numeri con segno), mentre Ax x̂ e Ay ŷ sono i vettori componenti.

⚠️ Attenzione: Il prodotto vettoriale NON è commutativo: a × b = -(b × a). Non confonderti negli esercizi!

Cinematica: Descrizione del Movimento

Finalmente iniziamo a studiare il movimento! Un corpo può essere considerato un punto materiale quando le sue dimensioni sono trascurabili rispetto alle distanze percorse.

La velocità media è semplicemente v̄ = Δs/Δt, mentre la velocità istantanea è il limite quando Δt tende a zero. Per convertire le unità ricorda: da m/s a km/h moltiplica per 3,6, viceversa dividi per 3,6.

Lo spostamento Δs è la variazione di posizione (non la distanza percorsa!). La legge oraria s(t) ti dice dove si trova il corpo a ogni istante - è la descrizione completa del moto.

L'accelerazione misura quanto rapidamente cambia la velocità: a = Δv/Δt. Anche qui distinguiamo tra media e istantanea, proprio come per la velocità.

🎯 Suggerimento: Disegna sempre un grafico spazio-tempo! La pendenza ti dà la velocità, e se è una retta il moto è uniforme.

Moti Rettilinei: Uniforme e Accelerato

Il moto rettilineo uniforme è il più semplice: velocità costante significa accelerazione zero! La legge oraria diventa s(t) = s₀ + v$t - t₀$, e il grafico spazio-tempo è una retta con pendenza uguale alla velocità.

Nel moto uniformemente accelerato l'accelerazione è costante. Le formule fondamentali sono:

• v = v₀ + at (legge della velocità)
• s = s₀ + v₀t + ½at² (legge oraria)
• v² = v₀² + 2aΔs (formula utile senza il tempo)

La velocità media in questo caso è semplicemente v̄ = ½$v₁ + v₂$. Questo vale solo quando l'accelerazione è costante!

Un caso particolare è la caduta libera: tutti i corpi cadono con accelerazione g = 9,8 m/s² (trascurando l'attrito dell'aria). Usa v = gt e h = ½gt² per velocità e spostamento.

🚀 Consiglio pratico: Negli esercizi di caduta libera, scegli sempre l'origine e il verso positivo in modo da semplificare i calcoli!

Moto del Proiettile e Moto Circolare

Il moto del proiettile è più complesso ma affascinante! È la composizione di due moti indipendenti: uniforme orizzontale e uniformemente accelerato verticale.

Le leggi orarie sono:

• x(t) = x₀ + (v₀ cos α)t (moto uniforme)
• y(t) = y₀ + (v₀ sen α)t - ½gt² (moto accelerato)

Ricorda che la componente orizzontale della velocità rimane costante, mentre quella verticale cambia a causa della gravità!

Nel moto circolare uniforme la velocità ha modulo costante ma direzione variabile. Definisci la posizione con l'angolo θ = l/r (in radianti). La velocità angolare è ω = Δθ/Δt.

Le relazioni fondamentali sono: v = ωr, T = 2πr/v, f = 1/T, ω = 2πf. L'accelerazione centripeta vale ac = v²/r = ω²r ed è sempre diretta verso il centro.

🎪 Curiosità: Anche se la velocità è costante in modulo, c'è sempre accelerazione nel moto circolare perché cambia direzione!

Dinamica: Le Forze e le Leggi di Newton

Ora scopriamo il "perché" del movimento! La dinamica studia le cause del moto attraverso le forze, grandezze vettoriali con intensità, direzione e verso.

Le forze si dividono in forze di contatto (spinta, attrito) e forze a distanza (gravità, elettromagnetiche). I loro effetti sono due: accelerare il corpo o deformarlo.

Le tre leggi di Newton sono il fondamento della meccanica:

1. Prima legge: senza forza risultante, un corpo mantiene il suo stato (quiete o moto uniforme)
2. Seconda legge: ΣF = ma - la forza netta causa accelerazione
3. Terza legge: azione e reazione sono uguali e contrarie

Un corpo è in equilibrio quando ΣF = 0. Le leggi valgono solo nei sistemi di riferimento inerziali (non accelerati).

⚖️ Principio chiave: La massa misura sia l'inerzia (resistenza all'accelerazione) sia l'attrazione gravitazionale. Massa ≠ peso!

Forze Fondamentali e Applicazioni

Concludiamo esplorando le forze specifiche che incontrerai più spesso! La forza peso P = mg è sempre diretta verso il centro della Terra, mentre la forza normale è sempre perpendicolare alla superficie di contatto.

La legge di gravitazione universale F = GM₁M₂/r² descrive l'attrazione tra due masse qualsiasi. È una delle quattro forze fondamentali dell'universo insieme a elettromagnetica, nucleare forte e nucleare debole.

Distingui sempre tra massa (scalare, invariante, in kg) e peso (vettore, varia con g, in N). La massa inerziale e gravitazionale sono equivalenti - un risultato profondo della fisica!

La forza normale si "adatta" per impedire la compenetrazione dei corpi. Non ha un valore fisso, ma si determina dalle condizioni di equilibrio del problema.

🌍 Applicazione reale: Su altri pianeti la tua massa rimane uguale, ma il peso cambia perché g è diverso!