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teoremi dei limiti + dimostrazioni
teoremi dei limiti + dimostrazioni
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akiko
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teorema dell’unicità del limite + dimostrazione teorema della permanenza del segno + dimostrazione teorema del confronto (o dei carabinieri) + dimostrazione
5ªl
Sintesi
+ SE f(x) HA LIMITE FINITO PER X→X. TEOREMA DI UNICITA DEL LIMITE ALLORA TALE LIMITE È UNICO DIMOSTRAZIONE: (per essurds) SE I NON È UNICO ALLORA AVREMMO limfaxi=l E limfaxi-l' con lt l' SUPPONIAMO CHE E POICHÈ POSSIAMO SCEGLIERE ARBITRARIAMENTE BASTA CHE SIA POSITIVO IMPOSTIAMO {<1-2¹ 1 In I'=Ix. DI CONSEGUENZA DEVONO VALERE LE 2 DISEQUAZIONI: (If(x)-OKE Sl-ε<f(x) <l+E IMPOSTO Eclilla | f(x-l|<E VXEI) APPLICO LA DEFINIZIONE |f(x)-l'|<E V× EI'S DI LIMITE DER VE>0]Ixo: Vx € Ixon Dx#x: |f(x)-l|<E {IF(x)-1²/<E Cl²-ε<f(xx< l'+E RICORDANDO CHE <l'ABBIAMO: l'E< f(x)<l + → l'ɛ<l+e →-E-ɛ < l-l'→-ze<l-l²+ ε> ——l' {> SI CONTRAPPONE A S TEOREMA DELLA PERMANENZA DEL SEGNO SE lim f(x) = l con хэхо wnl+0][x₂ IN CUI f(x) E SONO ENTRAMBI +0¬ DIMOSTRAZIONE: DALLA DEF. VELVE Ix_nDx#x₂: /f(x)-P/CE ABBIAMO F(x)-1|<E →l_e<f(x) <l+E PONENDO E=ABBIAMO P-|e|< f(x) < l +|l1 DI CONSEGUENZASE &>0 AVREMO 0<f(x) <2L → f(x) >0 MENTRE CON <0 AVREMO 20 <f(x) <0 ➜ f(x) < 0 IL TEOREMA NON E' VALIDO SE R=0 TEOREMA "INVERSO": SE-f(x) >0 →lo MENTRE SE f(x) ≤o →l≤0 DIMOSTRAZIONE: SUPPONIAMO CHE ISO ALLORA <o >]:f<x><oVx€*%₂nDX‡X® MA L'IPOTESI F(X)), O IMPLICA CHE PER I PUNTI DELL' Ixon I'x. f(x) ASSUME VALORI + E ABBIAMO OTTENUTO UNA CONTRADDIZIONE QUINDI DOBBIAMO AVERE ₂0 *10 (+) S Ĉ TEOREMA DEL CONFRONTO (POICHÈ f(x) VIENE "COSTRETTA" DA h(x) E g(x) TRE FUNZIONI DEFINITE IN UNO STESSO INTORNO H DI X. : h(x), f(x), g(x), SE IN OGNI PUNTO DI H RISULTA...
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Didascalia alternativa:
h(x)≤ f(x) ≤g(x) E lim h(x) = lim g(x) = ALLORA DIMOSTRAZIONE: X-X. X-7x0 alh(x)-ekε VXE INH-PERCHE → lim h(x) = 48(x)-KKE VxE₂nH-PERCHE →lim g(x) = l FISSIAMO EO-ABBIANO. I= I^NI₂ ESCLUSO Xo VxEI ABBIAMO: Q-E<h(x) <l+ε PER IPOTESI SCRIVIANO l-ε<g(x)<l+El-ε <h(x)≤ f(x) g(x)<P+E_ Зас ALLORA IL TEOREMA VIENE DETTO TEOREMA DEI 2 CARABINIERI ·lim f(x) = l X-7X0 200 Le IMPLICA l-E<f(x) <l+ε VxeI |f(x)-1|<E=> lim f(x) = l CHE VUOL DIRE x-xo