Se $f(x)$ ha limite finito per $x \to x_0$ allora tale limite è unico.
Dimostrazione:
Per dimostrare il teorema per assurdo, supponiamo che il limite non sia unico. Quindi avremmo $lim f(x) = l$ e $lim f(x) = l'$ con $l \neq l'$.
Supponiamo poi che, poiché scegliamo $l$ e $l'$ arbitrariamente, basta che sia positivo impostiamo $ε > 0$.
Fissato $ε$, applichiamo la definizione $|f(x) - l'| < ε$ $\forall x \in Dx - {x0}$: $|f(x)-l| < ε$.
Inoltre, vale che: $l - ε < f(x) < l + ε$ e $|f(x)-l| < ε$ che implica $l - ε < f(x) < l + ε$.
Ricordando che se $l - ε < f(x) < l + ε$ allora $l - ε < l' < l + ε$ che implica $-2ε < l - l' < 2ε$ quindi $ε > \frac{l-l'}{2}$.
Ciò si contrappone al teorema della permanenza del segno.
Per $lim f(x) = l$ con $l \neq 0$ e $x_0$ in cui $f(x)$ e $l$ sono entrambi $\pm \infty$.
Dimostrazione:
Dalla definizione $∀ ε > 0 ∃ δ > 0$ tale che $|f(x) - l| < ε$
Abbiamo $f(x) - l < ε$ e $f(x) < l + ε$. Ponendo $ε = 1$, otteniamo $|l-l| < 1$ che implica $0 < f(x) < 2l$ se $l > 0$, mentre se $l < 0$ avremo $2l < f(x) < 0$.
Il teorema non è valido se $l = 0$.
Se $-f(x) > 0$ allora $f(x) < 0$ e se $f(x) < 0$ allora $-f(x) > 0$.
Dimostrazione:
Supponiamo che $ε > 0$. → $∃ x0\in Dx - {x}$
Ma l'ipotesi $x0$ implica che per i punti dell'$x0$ in $Dx - {x0}$, $f(x)$ assume valori $+/-ε$.
Abbiamo ottenuto una contraddizione quindi dobbiamo avere $ε = 0$.
Poiché $f(x)$ viene "costretta" da $h(x)$ e $g(x)$, allora il teorema viene detto.
Se tre funzioni definite in uno stesso intorno H di X : $h(x)$, $f(x)$, $g(x)$, se in ogni punto di H risulta $h(x) ≤ f(x) ≤ g(x)$ e $lim h(x) = lim g(x) = l$ allora,
Dimostrazione:
$∃ x_0$… $ε$ tale che … $∀ x\in I$ che $f(x)$ < … questo implica $l - ε < f(x) < l + ε$.
Questo implica $lim f(x) = l$.
Conclusion
Da ciò possiamo dedurre che il teorema di unicità del limite è verificato, dimostrato tramite la dimostrazione per assurdo e utilizzando i principi della permanenza del segno e del confronto.
