Trovare il Periodo T delle Funzioni Goniometriche

Questa pagina introduce i concetti fondamentali per calcolare il periodo di una funzione goniometrica. Il periodo di base per seno e coseno è 2π, mentre per tangente e cotangente è π. La pagina presenta sette casi diversi che modificano il periodo delle funzioni goniometriche.

Definition: Il periodo di una funzione goniometrica è l'intervallo dopo il quale la funzione ripete i suoi valori.

1. Moltiplicazione degli archi: Quando l'argomento della funzione è moltiplicato per una costante k, il periodo viene diviso per k.

Example: Per sin(2x), il periodo è π, che è la metà del periodo normale di 2π.

2. Modulo della funzione: Per seno e coseno, il periodo è dimezzato, mentre per tangente e cotangente rimane invariato.

3. Potenza della funzione: Per seno e coseno, gli esponenti pari dimezzano il periodo, mentre quelli dispari lo lasciano invariato. Per tangente e cotangente, il periodo rimane invariato.

4. Radice m-esima della funzione: La radice non cambia il periodo di una funzione goniometrica.

Highlight: È importante notare che la radice non influisce sul periodo, a differenza di altre operazioni.

5. Somma o differenza di funzioni: Se i periodi delle singole funzioni sono uguali, il periodo comune è quello. Se sono diversi, il periodo è il minimo comune multiplo tra i periodi.

6. Periodi frazionari: Si esprimono le frazioni con lo stesso denominatore e si cerca il minimo comune multiplo tra i numeratori, poi si divide.

7. Prodotto o rapporto di funzioni: Se i periodi sono uguali, il periodo risultante è quello comune se gli argomenti sono diversi, o la metà se gli argomenti sono uguali. Se i periodi sono diversi, si procede come nel caso 5.

Vocabulary: m.c.m. - minimo comune multiplo, un concetto matematico fondamentale per calcolare il periodo di funzioni combinate.

Esempi di Calcolo del Periodo per Funzioni Goniometriche Composte

Questa pagina fornisce esempi pratici di come applicare le regole per il calcolo del periodo di funzioni goniometriche composte. Gli esempi illustrano l'applicazione dei concetti introdotti nella pagina precedente.

Example: Per y = sin x + cos x, entrambe le funzioni hanno un periodo di 2π, quindi il periodo della somma è anche 2π.

Questo esempio dimostra il caso in cui le funzioni sommate hanno lo stesso periodo, risultando in un periodo comune.

Example: Per y = sin x - cos x, il periodo è ancora 2π, mostrando che la sottrazione non influisce sul periodo quando le funzioni hanno lo stesso periodo base.

Un altro esempio interessante è:

Example: y = √(sin x) · (cos(2x)) · (tan x) Qui, T₁ = 2π, T₂ = π, T₃ = π Il periodo risultante è T = 2π

Questo esempio complesso mostra come gestire una combinazione di radice, prodotto e funzioni con periodi diversi.

Highlight: È cruciale notare che la radice quadrata non influisce sul periodo, mentre la moltiplicazione dell'argomento per 2 in cos(2x) dimezza il suo periodo.

Infine, consideriamo:

Example: y = sin³x + cos(6x) T₁ = 2π (l'esponente dispari non cambia il periodo) T₂ = π/3 (2π diviso per 6) Il periodo risultante è T = 2π

Questo ultimo esempio illustra come gestire potenze dispari e moltiplicazione dell'argomento, combinando poi i risultati per funzioni con periodi diversi.

Vocabulary: Periodo risultante - il periodo finale di una funzione composta, determinato applicando le regole appropriate basate sulla combinazione di funzioni.