Metodi di risoluzione dei sistemi lineari

Esistono diversi metodi per risolvere i sistemi lineari. Ecco i principali:

1. Metodo di sostituzione: Si ricava un'incognita da una delle due equazioni e si sostituisce l'espressione ottenuta nell'altra equazione.

Esempio: Per il sistema {x + y = 3, x - 2y = 0}, ricaviamo x dalla prima equazione: x = 3 - y. Sostituendo nella seconda: (3 - y) - 2y = 0, da cui si ricava y = 1 e quindi x = 2.

2. Metodo del confronto: È un caso particolare del metodo di sostituzione. Si ricava la stessa incognita in entrambe le equazioni e si uguagliano le due espressioni trovate.

3. Metodo di riduzione: Sommando o sottraendo opportunamente membro a membro le due equazioni o loro multipli, si ottiene un'equazione in una sola incognita.

Esempio: Per il sistema {2x - 3y = 5, 4x + 3y = 1}, moltiplichiamo la prima equazione per 2 e la seconda per 1, poi sottraiamo: 4x - 6y = 10, 4x + 3y = 1. Sottraendo membro a membro: -9y = 9, da cui y = -1.

4. Metodo di Cramer: Utilizza le matrici e i determinanti per risolvere il sistema.

Definizione: Il metodo di Cramer si basa sulle formule: x = Dx/D e y = Dy/D, dove D è il determinante del sistema, Dx è il determinante ottenuto sostituendo la colonna dei termini noti alla colonna dei coefficienti di x, e Dy è ottenuto in modo analogo per y.

Highlight: Il metodo di Cramer è particolarmente efficace per sistemi 2x2 e 3x3, ma diventa meno pratico per sistemi di ordine superiore.

Questi metodi offrono diverse strategie per affrontare i sistemi lineari, permettendo di scegliere l'approccio più adatto in base alla natura del problema e alle preferenze personali.

Introduzione ai sistemi lineari

I sistemi lineari sono un concetto fondamentale in algebra. Questo capitolo introduce le basi dei sistemi di equazioni e le loro possibili soluzioni.

Un sistema di equazioni lineari è un insieme di due o più equazioni per le quali cerchiamo valori delle incognite che soddisfino contemporaneamente tutte le equazioni. I sistemi possono essere classificati in base al numero di soluzioni:

Definizione: Un sistema determinato ha un numero finito di soluzioni, solitamente una.

Esempio: Il sistema {x + y = 3, 2x - y = 2} è determinato e ha come soluzione (1, 2).

Definizione: Un sistema indeterminato ha infinite soluzioni.

Definizione: Un sistema impossibile non ha soluzioni.

La forma canonica di un sistema lineare di due equazioni in due incognite è:

{ax + by = c {a'x + b'y = c'

dove a, b, c, a', b', c' sono numeri reali.

Highlight: Due sistemi sono equivalenti se hanno le stesse soluzioni, anche se le equazioni appaiono diverse.

Esempio: I sistemi {3x + 2y = -6} e {6x + 4y = -12} sono equivalenti perché la seconda equazione è semplicemente il doppio della prima.