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Matematica

Aritmetica e algebra

I sistemi lineari

Il metodo di sostituzione, riduzione e confronto

19.292

•

25 dic 2022

•

3 pagine

Esercizi Sistemi Lineari e Metodo di Cramer per Te

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Giorgixx07

@giorgia_xgr

I sistemi lineari sono insiemi di equazioni che si risolvono... Mostra di più

Un TAKE IT EASY sistema di equazioni é comuni - cerchiamo le soluzioni cioé i valori recificamo contemporaneamente tutte & equazioni. xey de

Analisi dei sistemi lineari senza risolverli

È possibile determinare la natura di un sistema lineare determinato,indeterminatooimpossibiledeterminato, indeterminato o impossibile senza risolverlo completamente, utilizzando il determinante del sistema e i determinanti parziali.

Definizione: Il determinante del sistema D = ab' - a'b

Definizione: I determinanti parziali Dx = cb' - c'b e Dy = ac' - a'c

Utilizzando questi determinanti, possiamo stabilire:

  • Se D ≠ 0, il sistema è determinato
  • Se D = 0 e Dx≠0oppureDy≠0Dx ≠ 0 oppure Dy ≠ 0, il sistema è impossibile
  • Se D = 0, Dx = 0 e Dy = 0, il sistema è indeterminato

Un altro metodo per analizzare il sistema senza risolverlo è il confronto fra i rapporti dei coefficienti:

Highlight: Se a/a' = b/b' ≠ c/c', il sistema è impossibile Highlight: Se a/a' = b/b' = c/c', il sistema è indeterminato Highlight: Se a/a' ≠ b/b', il sistema è determinato

Questi metodi permettono di comprendere rapidamente la natura del sistema prima di procedere con la risoluzione completa.

Un TAKE IT EASY sistema di equazioni é comuni - cerchiamo le soluzioni cioé i valori recificamo contemporaneamente tutte & equazioni. xey de

Metodi di risoluzione dei sistemi lineari

Esistono diversi metodi per risolvere i sistemi lineari. Ecco i principali:

  1. Metodo di sostituzione: Si ricava un'incognita da una delle due equazioni e si sostituisce l'espressione ottenuta nell'altra equazione.

Esempio: Per il sistema {x + y = 3, x - 2y = 0}, ricaviamo x dalla prima equazione: x = 3 - y. Sostituendo nella seconda: 3−y3 - y - 2y = 0, da cui si ricava y = 1 e quindi x = 2.

  1. Metodo del confronto: È un caso particolare del metodo di sostituzione. Si ricava la stessa incognita in entrambe le equazioni e si uguagliano le due espressioni trovate.
  2. Metodo di riduzione: Sommando o sottraendo opportunamente membro a membro le due equazioni o loro multipli, si ottiene un'equazione in una sola incognita.

Esempio: Per il sistema {2x - 3y = 5, 4x + 3y = 1}, moltiplichiamo la prima equazione per 2 e la seconda per 1, poi sottraiamo: 4x - 6y = 10, 4x + 3y = 1. Sottraendo membro a membro: -9y = 9, da cui y = -1.

  1. Metodo di Cramer: Utilizza le matrici e i determinanti per risolvere il sistema.

Definizione: Il metodo di Cramer si basa sulle formule: x = Dx/D e y = Dy/D, dove D è il determinante del sistema, Dx è il determinante ottenuto sostituendo la colonna dei termini noti alla colonna dei coefficienti di x, e Dy è ottenuto in modo analogo per y.

Highlight: Il metodo di Cramer è particolarmente efficace per sistemi 2x2 e 3x3, ma diventa meno pratico per sistemi di ordine superiore.

Questi metodi offrono diverse strategie per affrontare i sistemi lineari, permettendo di scegliere l'approccio più adatto in base alla natura del problema e alle preferenze personali.

Un TAKE IT EASY sistema di equazioni é comuni - cerchiamo le soluzioni cioé i valori recificamo contemporaneamente tutte & equazioni. xey de

Introduzione ai sistemi lineari

I sistemi lineari sono un concetto fondamentale in algebra. Questo capitolo introduce le basi dei sistemi di equazioni e le loro possibili soluzioni.

Un sistema di equazioni lineari è un insieme di due o più equazioni per le quali cerchiamo valori delle incognite che soddisfino contemporaneamente tutte le equazioni. I sistemi possono essere classificati in base al numero di soluzioni:

Definizione: Un sistema determinato ha un numero finito di soluzioni, solitamente una.

Esempio: Il sistema {x + y = 3, 2x - y = 2} è determinato e ha come soluzione 1,21, 2.

Definizione: Un sistema indeterminato ha infinite soluzioni.

Definizione: Un sistema impossibile non ha soluzioni.

La forma canonica di un sistema lineare di due equazioni in due incognite è:

{ax + by = c {a'x + b'y = c'

dove a, b, c, a', b', c' sono numeri reali.

Highlight: Due sistemi sono equivalenti se hanno le stesse soluzioni, anche se le equazioni appaiono diverse.

Esempio: I sistemi {3x + 2y = -6} e {6x + 4y = -12} sono equivalenti perché la seconda equazione è semplicemente il doppio della prima.



Non c'è niente di adatto? Esplorare altre aree tematiche.

Recensioni dei nostri utenti. Ci adorano - e anche tu, vedrai .

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

L'applicazione è molto facile da usare e ben progettata. Finora ho trovato tutto quello che cercavo e ho potuto imparare molto dalle presentazioni! Utilizzerò sicuramente l'app per i compiti in classe! È molto utile anche come fonte di ispirazione.

Stefano S

utente iOS

Questa applicazione è davvero grande! Ci sono tantissimi appunti e aiuti con lo studio [...]. La mia materia problematica, per esempio, è il francese e l'app ha così tante opzioni per aiutarmi. Grazie a questa app ho migliorato il mio francese. La consiglio a tutti.

Samantha Klich

utente Android

Wow, sono davvero stupita. Ho appena provato l'app perché l'ho vista pubblicizzata molte volte e sono rimasta assolutamente sbalordita. Questa app è L'AIUTO che cercate per la scuola e soprattutto offre tantissime cose, come allenamenti e schede, che a me personalmente sono state MOLTO utili.

Anna

utente iOS

È bellissima questa app, la adoro. È utilissima per lo studio e mi aiuta molto, anzi moltissimo, ma soprattutto mi aiutano molto i quiz, per memorizzare anche quello che non sapevo

Anastasia

utente Android

Fantastica per qualsiasi materia avere gli appunti anche di altre persone è molto utile perchè posso confrontarmi e vedere come migliorarmi. con i quiz riesco ad apprendere al meglio.

Francesca

utente Android

moooolto utile,gli appunti sono belli e funzionanti,schoolGPT da dei consigli formidabili!!

Marianna

utente Android

L'applicazione è semplicemente fantastica! Tutto ciò che devo fare è inserire l'argomento nella barra di ricerca e ottengo la risposta molto velocemente. Non devo guardare 10 video di YouTube per capire qualcosa, quindi risparmio tempo. Consigliatissima!

Sudenaz Ocak

utente Android

A scuola andavo malissimo in matematica, ma grazie a questa applicazione ora vado meglio. Vi sono molto grato per aver creato questa app.

Greenlight Bonnie

utente Android

Knowunity è un applicazione fantastica,considerando che ha degli schemi veramente molto carini e sfiziosi e che ci sono dei quiz,oltre al fatto che questa cosa dell intelligenza artificiale "school gpt" è almeno per me molto utile, perché a differenza di Chatgpt ti da le spiegazioni, ti spiega ciò che non è chiaro! Posso studiare più velocemente tramite gli schemi e che posso pubblicare io stessa gli schemi è una funzione utilissima per gli altri studenti. Knowunity è PERFETTA

Aurora

utente Android

L’app funziona benissimo e puoi trovare qualsiasi tipo di informazione. Non ho l’abbonamento ma la parte gratuita è sufficiente per uno studio approfondito.

Martina

utente iOS

in questi ultimi mesi di scuola dove il tempo è ormai poco, mi sta aiutando molto perché piuttosto che farmi io gli schemi su quello che leggo sul libro guardo questi già fatti e li uso come ripasso piuttosto che rileggermi tutto il libro

Chiara

utente IOS

Questa app è una delle migliori, nient’altro da dire.

Andrea

utente iOS

L'applicazione è molto facile da usare e ben progettata. Finora ho trovato tutto quello che cercavo e ho potuto imparare molto dalle presentazioni! Utilizzerò sicuramente l'app per i compiti in classe! È molto utile anche come fonte di ispirazione.

Stefano S

utente iOS

Questa applicazione è davvero grande! Ci sono tantissimi appunti e aiuti con lo studio [...]. La mia materia problematica, per esempio, è il francese e l'app ha così tante opzioni per aiutarmi. Grazie a questa app ho migliorato il mio francese. La consiglio a tutti.

Samantha Klich

utente Android

Wow, sono davvero stupita. Ho appena provato l'app perché l'ho vista pubblicizzata molte volte e sono rimasta assolutamente sbalordita. Questa app è L'AIUTO che cercate per la scuola e soprattutto offre tantissime cose, come allenamenti e schede, che a me personalmente sono state MOLTO utili.

Anna

utente iOS

È bellissima questa app, la adoro. È utilissima per lo studio e mi aiuta molto, anzi moltissimo, ma soprattutto mi aiutano molto i quiz, per memorizzare anche quello che non sapevo

Anastasia

utente Android

Fantastica per qualsiasi materia avere gli appunti anche di altre persone è molto utile perchè posso confrontarmi e vedere come migliorarmi. con i quiz riesco ad apprendere al meglio.

Francesca

utente Android

moooolto utile,gli appunti sono belli e funzionanti,schoolGPT da dei consigli formidabili!!

Marianna

utente Android

L'applicazione è semplicemente fantastica! Tutto ciò che devo fare è inserire l'argomento nella barra di ricerca e ottengo la risposta molto velocemente. Non devo guardare 10 video di YouTube per capire qualcosa, quindi risparmio tempo. Consigliatissima!

Sudenaz Ocak

utente Android

A scuola andavo malissimo in matematica, ma grazie a questa applicazione ora vado meglio. Vi sono molto grato per aver creato questa app.

Greenlight Bonnie

utente Android

Knowunity è un applicazione fantastica,considerando che ha degli schemi veramente molto carini e sfiziosi e che ci sono dei quiz,oltre al fatto che questa cosa dell intelligenza artificiale "school gpt" è almeno per me molto utile, perché a differenza di Chatgpt ti da le spiegazioni, ti spiega ciò che non è chiaro! Posso studiare più velocemente tramite gli schemi e che posso pubblicare io stessa gli schemi è una funzione utilissima per gli altri studenti. Knowunity è PERFETTA

Aurora

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L’app funziona benissimo e puoi trovare qualsiasi tipo di informazione. Non ho l’abbonamento ma la parte gratuita è sufficiente per uno studio approfondito.

Martina

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in questi ultimi mesi di scuola dove il tempo è ormai poco, mi sta aiutando molto perché piuttosto che farmi io gli schemi su quello che leggo sul libro guardo questi già fatti e li uso come ripasso piuttosto che rileggermi tutto il libro

Chiara

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Questa app è una delle migliori, nient’altro da dire.

Andrea

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I sistemi lineari

Il metodo di sostituzione, riduzione e confronto

 

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•

19.292

•

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•

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I sistemi lineari sono insiemi di equazioni che si risolvono simultaneamente. Esistono diversi metodi di risoluzione sistemi di equazioni come sostituzione, confronto, riduzione e il metodo di Cramer per sistemi lineari. La classificazione dei sistemi (determinati, indeterminati, impossibili) dipende... Mostra di più

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Analisi dei sistemi lineari senza risolverli

È possibile determinare la natura di un sistema lineare determinato,indeterminatooimpossibiledeterminato, indeterminato o impossibile senza risolverlo completamente, utilizzando il determinante del sistema e i determinanti parziali.

Definizione: Il determinante del sistema D = ab' - a'b

Definizione: I determinanti parziali Dx = cb' - c'b e Dy = ac' - a'c

Utilizzando questi determinanti, possiamo stabilire:

  • Se D ≠ 0, il sistema è determinato
  • Se D = 0 e Dx≠0oppureDy≠0Dx ≠ 0 oppure Dy ≠ 0, il sistema è impossibile
  • Se D = 0, Dx = 0 e Dy = 0, il sistema è indeterminato

Un altro metodo per analizzare il sistema senza risolverlo è il confronto fra i rapporti dei coefficienti:

Highlight: Se a/a' = b/b' ≠ c/c', il sistema è impossibile Highlight: Se a/a' = b/b' = c/c', il sistema è indeterminato Highlight: Se a/a' ≠ b/b', il sistema è determinato

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Metodi di risoluzione dei sistemi lineari

Esistono diversi metodi per risolvere i sistemi lineari. Ecco i principali:

  1. Metodo di sostituzione: Si ricava un'incognita da una delle due equazioni e si sostituisce l'espressione ottenuta nell'altra equazione.

Esempio: Per il sistema {x + y = 3, x - 2y = 0}, ricaviamo x dalla prima equazione: x = 3 - y. Sostituendo nella seconda: 3−y3 - y - 2y = 0, da cui si ricava y = 1 e quindi x = 2.

  1. Metodo del confronto: È un caso particolare del metodo di sostituzione. Si ricava la stessa incognita in entrambe le equazioni e si uguagliano le due espressioni trovate.
  2. Metodo di riduzione: Sommando o sottraendo opportunamente membro a membro le due equazioni o loro multipli, si ottiene un'equazione in una sola incognita.

Esempio: Per il sistema {2x - 3y = 5, 4x + 3y = 1}, moltiplichiamo la prima equazione per 2 e la seconda per 1, poi sottraiamo: 4x - 6y = 10, 4x + 3y = 1. Sottraendo membro a membro: -9y = 9, da cui y = -1.

  1. Metodo di Cramer: Utilizza le matrici e i determinanti per risolvere il sistema.

Definizione: Il metodo di Cramer si basa sulle formule: x = Dx/D e y = Dy/D, dove D è il determinante del sistema, Dx è il determinante ottenuto sostituendo la colonna dei termini noti alla colonna dei coefficienti di x, e Dy è ottenuto in modo analogo per y.

Highlight: Il metodo di Cramer è particolarmente efficace per sistemi 2x2 e 3x3, ma diventa meno pratico per sistemi di ordine superiore.

Questi metodi offrono diverse strategie per affrontare i sistemi lineari, permettendo di scegliere l'approccio più adatto in base alla natura del problema e alle preferenze personali.

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Introduzione ai sistemi lineari

I sistemi lineari sono un concetto fondamentale in algebra. Questo capitolo introduce le basi dei sistemi di equazioni e le loro possibili soluzioni.

Un sistema di equazioni lineari è un insieme di due o più equazioni per le quali cerchiamo valori delle incognite che soddisfino contemporaneamente tutte le equazioni. I sistemi possono essere classificati in base al numero di soluzioni:

Definizione: Un sistema determinato ha un numero finito di soluzioni, solitamente una.

Esempio: Il sistema {x + y = 3, 2x - y = 2} è determinato e ha come soluzione 1,21, 2.

Definizione: Un sistema indeterminato ha infinite soluzioni.

Definizione: Un sistema impossibile non ha soluzioni.

La forma canonica di un sistema lineare di due equazioni in due incognite è:

{ax + by = c {a'x + b'y = c'

dove a, b, c, a', b', c' sono numeri reali.

Highlight: Due sistemi sono equivalenti se hanno le stesse soluzioni, anche se le equazioni appaiono diverse.

Esempio: I sistemi {3x + 2y = -6} e {6x + 4y = -12} sono equivalenti perché la seconda equazione è semplicemente il doppio della prima.

Non c'è niente di adatto? Esplorare altre aree tematiche.

Recensioni dei nostri utenti. Ci adorano - e anche tu, vedrai .

4.9/5

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4.8/5

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L'applicazione è molto facile da usare e ben progettata. Finora ho trovato tutto quello che cercavo e ho potuto imparare molto dalle presentazioni! Utilizzerò sicuramente l'app per i compiti in classe! È molto utile anche come fonte di ispirazione.

Stefano S

utente iOS

Questa applicazione è davvero grande! Ci sono tantissimi appunti e aiuti con lo studio [...]. La mia materia problematica, per esempio, è il francese e l'app ha così tante opzioni per aiutarmi. Grazie a questa app ho migliorato il mio francese. La consiglio a tutti.

Samantha Klich

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Wow, sono davvero stupita. Ho appena provato l'app perché l'ho vista pubblicizzata molte volte e sono rimasta assolutamente sbalordita. Questa app è L'AIUTO che cercate per la scuola e soprattutto offre tantissime cose, come allenamenti e schede, che a me personalmente sono state MOLTO utili.

Anna

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È bellissima questa app, la adoro. È utilissima per lo studio e mi aiuta molto, anzi moltissimo, ma soprattutto mi aiutano molto i quiz, per memorizzare anche quello che non sapevo

Anastasia

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Fantastica per qualsiasi materia avere gli appunti anche di altre persone è molto utile perchè posso confrontarmi e vedere come migliorarmi. con i quiz riesco ad apprendere al meglio.

Francesca

utente Android

moooolto utile,gli appunti sono belli e funzionanti,schoolGPT da dei consigli formidabili!!

Marianna

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L'applicazione è semplicemente fantastica! Tutto ciò che devo fare è inserire l'argomento nella barra di ricerca e ottengo la risposta molto velocemente. Non devo guardare 10 video di YouTube per capire qualcosa, quindi risparmio tempo. Consigliatissima!

Sudenaz Ocak

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A scuola andavo malissimo in matematica, ma grazie a questa applicazione ora vado meglio. Vi sono molto grato per aver creato questa app.

Greenlight Bonnie

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Knowunity è un applicazione fantastica,considerando che ha degli schemi veramente molto carini e sfiziosi e che ci sono dei quiz,oltre al fatto che questa cosa dell intelligenza artificiale "school gpt" è almeno per me molto utile, perché a differenza di Chatgpt ti da le spiegazioni, ti spiega ciò che non è chiaro! Posso studiare più velocemente tramite gli schemi e che posso pubblicare io stessa gli schemi è una funzione utilissima per gli altri studenti. Knowunity è PERFETTA

Aurora

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L’app funziona benissimo e puoi trovare qualsiasi tipo di informazione. Non ho l’abbonamento ma la parte gratuita è sufficiente per uno studio approfondito.

Martina

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in questi ultimi mesi di scuola dove il tempo è ormai poco, mi sta aiutando molto perché piuttosto che farmi io gli schemi su quello che leggo sul libro guardo questi già fatti e li uso come ripasso piuttosto che rileggermi tutto il libro

Chiara

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Questa app è una delle migliori, nient’altro da dire.

Andrea

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L'applicazione è molto facile da usare e ben progettata. Finora ho trovato tutto quello che cercavo e ho potuto imparare molto dalle presentazioni! Utilizzerò sicuramente l'app per i compiti in classe! È molto utile anche come fonte di ispirazione.

Stefano S

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Questa applicazione è davvero grande! Ci sono tantissimi appunti e aiuti con lo studio [...]. La mia materia problematica, per esempio, è il francese e l'app ha così tante opzioni per aiutarmi. Grazie a questa app ho migliorato il mio francese. La consiglio a tutti.

Samantha Klich

utente Android

Wow, sono davvero stupita. Ho appena provato l'app perché l'ho vista pubblicizzata molte volte e sono rimasta assolutamente sbalordita. Questa app è L'AIUTO che cercate per la scuola e soprattutto offre tantissime cose, come allenamenti e schede, che a me personalmente sono state MOLTO utili.

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È bellissima questa app, la adoro. È utilissima per lo studio e mi aiuta molto, anzi moltissimo, ma soprattutto mi aiutano molto i quiz, per memorizzare anche quello che non sapevo

Anastasia

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Fantastica per qualsiasi materia avere gli appunti anche di altre persone è molto utile perchè posso confrontarmi e vedere come migliorarmi. con i quiz riesco ad apprendere al meglio.

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moooolto utile,gli appunti sono belli e funzionanti,schoolGPT da dei consigli formidabili!!

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L'applicazione è semplicemente fantastica! Tutto ciò che devo fare è inserire l'argomento nella barra di ricerca e ottengo la risposta molto velocemente. Non devo guardare 10 video di YouTube per capire qualcosa, quindi risparmio tempo. Consigliatissima!

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A scuola andavo malissimo in matematica, ma grazie a questa applicazione ora vado meglio. Vi sono molto grato per aver creato questa app.

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Knowunity è un applicazione fantastica,considerando che ha degli schemi veramente molto carini e sfiziosi e che ci sono dei quiz,oltre al fatto che questa cosa dell intelligenza artificiale "school gpt" è almeno per me molto utile, perché a differenza di Chatgpt ti da le spiegazioni, ti spiega ciò che non è chiaro! Posso studiare più velocemente tramite gli schemi e che posso pubblicare io stessa gli schemi è una funzione utilissima per gli altri studenti. Knowunity è PERFETTA

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L’app funziona benissimo e puoi trovare qualsiasi tipo di informazione. Non ho l’abbonamento ma la parte gratuita è sufficiente per uno studio approfondito.

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in questi ultimi mesi di scuola dove il tempo è ormai poco, mi sta aiutando molto perché piuttosto che farmi io gli schemi su quello che leggo sul libro guardo questi già fatti e li uso come ripasso piuttosto che rileggermi tutto il libro

Chiara

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Questa app è una delle migliori, nient’altro da dire.

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