La forma normale di un sistema lineare è definita da equazioni del tipo:
ax + by = c
a²x + b²y = c²
La risoluzione dei sistemi lineari consiste nel trovare quei valori di x e y che soddisfano entrambe le equazioni. Questi sistemi possono essere determinati, indeterminati o impossibili a seconda delle soluzioni che offrono.
Metodo di Sostituzione
Per risolvere un sistema lineare con il metodo di sostituzione, si inizia risolvendo una delle due equazioni rispetto a una delle incognite. Successivamente, si sostituisce l'espressione trovata nell'altra equazione, ottenendo così un'equazione ad una sola incognita.
Metodo di Addizione o Sottrazione
Con il metodo di addizione o sottrazione, si sommano o sottraggono le due equazioni, moltiplicando i membri delle equazioni per fattori opportuni al fine di ottenere un'equazione risolvente ad una sola incognita.
Metodo di Cramer
Il metodo di Cramer è un altro modo per risolvere sistemi lineari. Si calcolano delle determinanti relative alle incognite del sistema per trovare i valori di x e y.
Ecco alcuni esempi di risoluzione di sistemi lineari utilizzando diversi metodi:
Esempio 1 - Metodo di Sostituzione
Date le equazioni:
√2x - y = 1
2x + 3y = 7
Si risolve la prima equazione rispetto a y:
y = 2x - 1
Successivamente, si sostituisce il valore di y trovato nell'altra equazione:
2x + 3(2x - 1) = 7
Risolvendo l'equazione, si ottiene:
8x = 8
Quindi, x = 1. Sostituendo x in una delle equazioni si ottiene:
y = -3
Quindi, la soluzione del sistema è:
x = 1
y = -3
Esempio 2 - Metodo di Cramer
Date le equazioni:
3x + 4y = -3
2x - 3y = 5
Si calcolano le determinanti relative alle incognite:
D = 3(−3) − 4(5) = −29
Dx = (−3)(5) − (4)(−3) = 3
Dy = 3(−3) − 2(5) = −21
Si calcolano i valori di x e y usando le formule di Cramer:
x = 15 / −29 = −15/29
y = −21 / −29 = 21/29
Quindi, la soluzione del sistema è:
x = −15/29
y = 21/29
Questi esempi mostrano come utilizzare diversi metodi per risolvere sistemi lineari e trovare le soluzioni corrispondenti.
