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Sara

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La matematica dei polinomi è fondamentale nell'algebra. Questo documento esplora le operazioni con i polinomi, i prodotti notevoli e la divisione polinomiale, fornendo definizioni chiare, esempi pratici e regole importanti per padroneggiare questi concetti algebrici essenziali.

• Le operazioni di base includono somma, differenza e prodotto di polinomi
• I prodotti notevoli come il quadrato di binomio e la somma per differenza sono formule chiave da memorizzare
• La divisione tra polinomi e la regola di Ruffini sono tecniche avanzate per manipolare espressioni algebriche
• Esempi dettagliati illustrano l'applicazione pratica di queste regole algebriche

30/3/2023

10768

Prodotti notevoli: Quadrato del trinomio e Cubo del binomio

Il quadrato del trinomio è un'estensione del quadrato del binomio e trova applicazioni in problemi algebrici più complessi.

Definizione: Il quadrato di un trinomio è uguale alla somma dei quadrati dei termini più il doppio prodotto di ciascuna coppia di termini.

Formula: (A + B + C)² = A² + B² + C² + 2AB + 2AC + 2BC

Esempio: (x + 2y + 3z)² = x² + 4y² + 9z² + 4xy + 6xz + 12yz

Il cubo del binomio è un altro prodotto notevole importante nell'algebra avanzata.

Formula: (A + B)³ = A³ + 3A²B + 3AB² + B³

Esempio: (4x + 2y)³ = 64x³ + 96x²y + 48xy² + 8y³

Highlight: Il cubo di una somma non è la somma dei cubi! (A + B)³ ≠ A³ + B³

Vocabulary: Cubo di binomio - Formula che esprime il cubo di un'espressione binomiale.

Appunti:
somma e
differenza
in un prodotto
di polinomio di
grado del
polinomio
risultante è la
somma dei
gradi dei due
polinomi.
prodotto
pe

Prodotti notevoli: Quadrato del binomio

I prodotti notevoli sono formule algebriche che semplificano calcoli complessi. Il quadrato di binomio è uno dei più importanti.

Definizione: Lo sviluppo del quadrato di un binomio è dato dal quadrato del primo termine, più il doppio prodotto del primo termine per il secondo, più il quadrato del secondo termine.

Formula: (A + B)² = A² + 2AB + B²

Esempio: (2x + 3y)² = 4x² + 12xy + 9y²

Highlight: Il quadrato di una somma non è la somma dei quadrati! (A + B)² ≠ A² + B²

Un altro prodotto notevole importante è la somma per differenza.

Formula: (A + B)(A - B) = A² - B²

Esempio: (3x + 2y)(3x - 2y) = 9x² - 4y²

Vocabulary: Somma per differenza formula - Espressione algebrica che rappresenta il prodotto tra la somma e la differenza di due termini.

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Regola di Ruffini

La regola di Ruffini è un metodo efficiente per dividere un polinomio per un binomio di primo grado del tipo x + b.

Definizione: La regola di Ruffini è una versione semplificata dell'algoritmo di divisione tra polinomi, in cui si lavora solo sui coefficienti dei polinomi.

Esempio: Per dividere x³ - 4x - 2 per x + 1 usando la regola di Ruffini: 1 | 1 0 -4 -2 | -1 1 3 | 1 -1 -3 1

Highlight: La regola di Ruffini può essere applicata solo quando il divisore è nella forma x + b. Per divisori del tipo ax + b con a ≠ 1, è necessario prima dividere sia il dividendo che il divisore per a.

Vocabulary: Trinomio notevole - Espressione algebrica di secondo grado che può essere fattorizzata utilizzando formule specifiche.

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Divisione tra polinomi

La divisione tra polinomi è un'operazione fondamentale nell'algebra avanzata e richiede una comprensione approfondita dei concetti precedenti.

Definizione: Dividere il polinomio A(x) per il polinomio B(x) significa trovare due polinomi Q(x) (quoziente) e R(x) (resto) tali che: A(x) = B(x) · Q(x) + R(x)

Highlight: Il grado di Q(x) è la differenza tra il grado di A(x) e quello di B(x), mentre il grado di R(x) è minore del grado di B(x).

Esempio: x³ - 2x² + x - 3 diviso per x - 2 dà come risultato x² + x - 1 con resto 1

Vocabulary: Scomposizione trinomio - Processo di fattorizzazione di un polinomio di secondo grado.

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Operazioni con i polinomi

Le operazioni fondamentali con i polinomi includono la somma, la differenza e il prodotto. Queste operazioni sono essenziali per manipolare espressioni algebriche complesse.

Definizione: La somma di due o più polinomi è il polinomio che ha per termini tutti i termini dei polinomi addendi.

Esempio: 3x² - 7x + 2 + x² - 6x - 4 = 4x² - 13x - 2

Per la differenza, si somma al primo polinomio l'opposto del secondo.

Highlight: In una somma algebrica di polinomi, il grado del polinomio risultante è minore o uguale al maggiore tra i gradi dei polinomi coinvolti.

Il prodotto di polinomi si ottiene moltiplicando ogni termine del primo per ciascun termine del secondo e sommando i risultati.

Esempio: (x - 2)(x + 3) = x² + 3x - 2x - 6 = x² + x - 6

Vocabulary: Somma algebrica - Termine che indica sinteticamente addizioni e sottrazioni di polinomi.

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Prodotti notevoli: Quadrato del trinomio e Cubo del binomio

Il quadrato del trinomio è un'estensione del quadrato del binomio e trova applicazioni in problemi algebrici più complessi.

Definizione: Il quadrato di un trinomio è uguale alla somma dei quadrati dei termini più il doppio prodotto di ciascuna coppia di termini.

Formula: (A + B + C)² = A² + B² + C² + 2AB + 2AC + 2BC

Esempio: (x + 2y + 3z)² = x² + 4y² + 9z² + 4xy + 6xz + 12yz

Il cubo del binomio è un altro prodotto notevole importante nell'algebra avanzata.

Formula: (A + B)³ = A³ + 3A²B + 3AB² + B³

Esempio: (4x + 2y)³ = 64x³ + 96x²y + 48xy² + 8y³

Highlight: Il cubo di una somma non è la somma dei cubi! (A + B)³ ≠ A³ + B³

Vocabulary: Cubo di binomio - Formula che esprime il cubo di un'espressione binomiale.

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Prodotti notevoli: Quadrato del binomio

I prodotti notevoli sono formule algebriche che semplificano calcoli complessi. Il quadrato di binomio è uno dei più importanti.

Definizione: Lo sviluppo del quadrato di un binomio è dato dal quadrato del primo termine, più il doppio prodotto del primo termine per il secondo, più il quadrato del secondo termine.

Formula: (A + B)² = A² + 2AB + B²

Esempio: (2x + 3y)² = 4x² + 12xy + 9y²

Highlight: Il quadrato di una somma non è la somma dei quadrati! (A + B)² ≠ A² + B²

Un altro prodotto notevole importante è la somma per differenza.

Formula: (A + B)(A - B) = A² - B²

Esempio: (3x + 2y)(3x - 2y) = 9x² - 4y²

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Regola di Ruffini

La regola di Ruffini è un metodo efficiente per dividere un polinomio per un binomio di primo grado del tipo x + b.

Definizione: La regola di Ruffini è una versione semplificata dell'algoritmo di divisione tra polinomi, in cui si lavora solo sui coefficienti dei polinomi.

Esempio: Per dividere x³ - 4x - 2 per x + 1 usando la regola di Ruffini: 1 | 1 0 -4 -2 | -1 1 3 | 1 -1 -3 1

Highlight: La regola di Ruffini può essere applicata solo quando il divisore è nella forma x + b. Per divisori del tipo ax + b con a ≠ 1, è necessario prima dividere sia il dividendo che il divisore per a.

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Divisione tra polinomi

La divisione tra polinomi è un'operazione fondamentale nell'algebra avanzata e richiede una comprensione approfondita dei concetti precedenti.

Definizione: Dividere il polinomio A(x) per il polinomio B(x) significa trovare due polinomi Q(x) (quoziente) e R(x) (resto) tali che: A(x) = B(x) · Q(x) + R(x)

Highlight: Il grado di Q(x) è la differenza tra il grado di A(x) e quello di B(x), mentre il grado di R(x) è minore del grado di B(x).

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Operazioni con i polinomi

Le operazioni fondamentali con i polinomi includono la somma, la differenza e il prodotto. Queste operazioni sono essenziali per manipolare espressioni algebriche complesse.

Definizione: La somma di due o più polinomi è il polinomio che ha per termini tutti i termini dei polinomi addendi.

Esempio: 3x² - 7x + 2 + x² - 6x - 4 = 4x² - 13x - 2

Per la differenza, si somma al primo polinomio l'opposto del secondo.

Highlight: In una somma algebrica di polinomi, il grado del polinomio risultante è minore o uguale al maggiore tra i gradi dei polinomi coinvolti.

Il prodotto di polinomi si ottiene moltiplicando ogni termine del primo per ciascun termine del secondo e sommando i risultati.