Numeri complessi

Didascalia alternativa:

CARTESIANE A QUEUE POLARI E VICEVERSA : p(x, y) tgo = yp Xp + Yp 0. polo P(r;0) + 0 = ₁ •P(x₂; yp) o 今 asse polare devo guardare il quadrante! con 0≤0 <2π Esempio: 1) Rappresentiamo sul piano il punto di Coordinate polari P(4;&t) troviamo le sue coordinate cartesiane P(4 ₁²271) = (-2√2; 2√2) coordate coordinate polari cartesiane t E4 -2√2 2√2 Q (₁₁√3)= (2²; 5) ↑ (2₁ Coordinate coordate Cartesiane polari 8. √3 mit 3 Ic = ²/18 = IT 1 x = r.coso r. send y = EDI = 4・COS / TT 4. y X Rappresentiamo sul piano il punto di Coordinate cartesiane Q(^;√3) troviamo le sue coordinate polari X = (-1/2) = -2√2 = 4 · Sen ²³/1 = 2 · √/2² = 2√2 = y →→ P(-2√2; + 2√/2) coordinate cartesiane del punto di coord. polari P(4; // π) = x² + y² tgO = Y y X r=√₁²+√3² =√1+3=√4 = 2 4₂0-√³-√3 tgd = => 0 = 1/2 1 ro e punto di coord. cartesiane e Q(2; 5) coord. polari del 3 Q (^;BB) NUMERI COMPLESSI P. Finora abbiamo studiato i numeri reali R, nei quali fare la radice quadrata di un numero negativo. è possibile Decidendo di prendere come "valore fissato" il numero non reale F1, otteniamo un nuovo insieme numerico in wi è possibile fare la radice quadrata dei numeri negativi ed equazioni del tipo x²=-1 non sono più impossibile. DEFINIZIONE di UNITA' IMMAGINARIA e NUMERO COMPLESSO con il simbolo i il numero Si chiama unità immaginaria e si indica ₁² = -1 поп reale tale che i= Fl Si chiama numero complesso ogni espressione della forma Con a,b & R e i unità immaginaria. ZEC Esempi: 1) z=8-2i Z = 2 2 nome del numero complesso 3) z = -3i = a + bi quando Im(z) = 0 : • OPPOSTI : parte Re(z) immaginaria parte reale di z di z Re(z) = 8 Re(z)=2 Re(z)=0 quando Re(z) = 0, Due numeri complessi si UGUALI Im(z) 621 se hanno Im(z) = -2 CONIUGATI se hanno stessa Re Z₁ = 3+5i Z₁ = 3 + 5i Im(z) = 0 zè un numero reale dicono: se hanno stessa Re e stessa Im Z₁ = 3+5i Z₂ = 3+√25 non Im(z) = -3 z è un numero immaginario puro ma Z₂=3-5i insieme dei numeri complessi → Z₁ = Z₂ Re opposta e Im opposta, Z₁₂=-3-5; → a+bi, Im apposta ⇒Z₁=Zz (z₁ è il coniugato di zz) zz=Z₁ (zz è il coniugato di 2₁) → 71 = -22 (21 è l'opposto di 2₂). (Z₂ RAPPRESENTAZIONE Possiamo rappresentarli ● Im b Im(z) asse immaginario 124 OSSERVAZIONI : Re (3) Se due numeri a 23 GRAFICA DEI NUMERI COMPLESSI sul PIANO DI GAUSS: > z= a + bi 72=75 Esempio: rappresentiamo nel piano di Gauss i numeri complessi: è calcoliamo i loro moduli : 'Im 19₁ 26 Re asse reale • Z₁ Sono uguali coincidono z = a + bi Re } MODULO DI z: La distanza del punto dall' origine | 2 | = √√a² + b² = √Re(z)² + Im(z)² SEMPRE >0 sara' il punto nel piano di Gauss di Coordinate (a; b) • Se un numero ha Im=0 come Z3ą, il punto sul piano di Gauss giace sull'asse Re • Se un numero ha Re=0 (immaginario puro), come Z4, il punto sul piano di Gauss giace sull'asse Im Z₁ = 8-21 ²₂ = 3+5; zz Z3 = 2 (numero reale) | 231= √2² =2 24 = -3; (immag. puro) |74| = √(-31² = 3 Z5 76= 3-5i Z₁ = 3 + √25 i = 2 ₂ 175/= 12₂1 = √34 1261 = 12₂1 = √34 27=-3-5i = -2₂ 12+1=17₂1 =√√34 Z₂ zz come zą e 17₁1= √8² +(-2)² =√68 | 2₂ | = √ 3² + 5² = √34 - 251 i due punti sul piano di Gauss i due punti sul piano di 1 • Se due numeri sono coniugati, come tre zo Gauss saranno simmetrici rispetto all'asse Re • Se due numeri sono opposti, come Z₂ e Zz tre 77 di Gauss saranno simmetrici rispetto all' • due numeri complessi uguali/coniugati/opposti origine come 22, 25, 26, 27 hanno tutti lo stesso Il i due punti del piano 1