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I numeri complessi estendono il concetto di numero reale, permettendo di risolvere equazioni precedentemente impossibili. Vengono rappresentati in forma algebrica, trigonometrica ed esponenziale e possono essere visualizzati sul piano di Gauss. Le coordinate polari offrono un modo alternativo di descrivere punti nel piano complesso.
8/11/2022
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Gli esercizi con numeri complessi coinvolgono spesso la conversione tra diverse forme e la risoluzione di equazioni.
Esempio: Risolvere l'equazione z² + 4 = 0 in C Soluzione: z² = -4 z = ±√(-4) = ±2i S = {2i, -2i}
Le equazioni con numeri complessi possono essere risolte utilizzando tecniche algebriche o geometriche, a seconda della forma in cui sono presentate.
Highlight: Il Teorema fondamentale dell'algebra afferma che ogni equazione polinomiale di grado n ha esattamente n soluzioni complesse, contate con la loro molteplicità.
Applicazioni pratiche dei numeri complessi si trovano in vari campi:
Vocabulary: La forma polare dei numeri complessi è particolarmente utile in elettrotecnica per rappresentare grandezze alternate.
Esercitarsi con diverse rappresentazioni e operazioni sui numeri complessi è fondamentale per padroneggiare questo potente strumento matematico.
I numeri complessi possono essere rappresentati graficamente sul piano di Gauss, dove l'asse x rappresenta la parte reale e l'asse y la parte immaginaria.
Definition: Il piano di Gauss è un piano cartesiano dove l'asse orizzontale rappresenta la parte reale e l'asse verticale la parte immaginaria di un numero complesso.
Caratteristiche principali:
Example: Per rappresentare z₁ = 3 + 2i e z₂ = -1 - i sul piano di Gauss: z₁ è il punto (3, 2) z₂ è il punto (-1, -1)
Il modulo di un numero complesso è sempre non negativo e rappresenta la sua "grandezza" nel piano complesso.
Highlight: Il modulo di un numero complesso è sempre maggiore o uguale a zero: |z| ≥ 0
La rappresentazione grafica è fondamentale per visualizzare le equazioni con numeri complessi e comprendere concetti come la forma esponenziale dei numeri complessi.
La rappresentazione grafica dei numeri complessi avviene sul piano di Gauss, dove ogni punto corrisponde a un numero complesso z = a + bi.
Highlight: Il piano di Gauss combina l'asse reale (x) e l'asse immaginario (y) per visualizzare i numeri complessi.
Il modulo di un numero complesso z = a + bi è definito come:
|z| = √(a² + b²)
Rappresenta la distanza del punto corrispondente dall'origine nel piano di Gauss.
Esempio: Per z₁ = 8 - 2i, il modulo è |z₁| = √(8² + (-2)²) = √68
Alcune proprietà importanti dei numeri complessi includono:
Vocabulary: Il coniugato di z = a + bi è z* = a - bi
La rappresentazione grafica aiuta a visualizzare queste relazioni e a comprendere meglio le operazioni tra numeri complessi.
Le coordinate polari offrono un modo alternativo di rappresentare punti nel piano, utilizzando la distanza dall'origine (r) e l'angolo rispetto all'asse positivo delle x (θ).
Definizione: Le coordinate polari (r,θ) di un punto P sono date dal modulo r ≥ 0 e dall'argomento 0 ≤ θ < 2π.
La conversione tra coordinate cartesiane (x,y) e polari (r,θ) avviene tramite le formule:
x = r cos θ y = r sin θ r = √(x² + y²) θ = arctan(y/x)
I numeri complessi possono essere espressi in tre forme principali:
Esempio: Il numero complesso z = 1 - i può essere espresso come:
- Forma algebrica: z = 1 - i
- Forma trigonometrica: z = √2(cos(-π/4) + i sin(-π/4))
- Forma esponenziale: z = √2e^(-iπ/4)
La conversione tra queste forme richiede l'uso delle formule di Eulero e delle relazioni trigonometriche.
I numeri complessi estendono il concetto di numero reale, permettendo di risolvere equazioni precedentemente impossibili come x² = -1. Vengono introdotti definendo l'unità immaginaria i, tale che i² = -1.
Definizione: Un numero complesso è un'espressione della forma a + bi, dove a e b sono numeri reali e i è l'unità immaginaria.
La parte reale Re(z) = a e la parte immaginaria Im(z) = b identificano univocamente un numero complesso z = a + bi.
Esempio: z = 8 - 2i ha parte reale Re(z) = 8 e parte immaginaria Im(z) = -2
I numeri complessi possono essere:
Highlight: Non esistono equazioni impossibili nell'insieme dei numeri complessi!
La rappresentazione grafica dei numeri complessi avviene sul piano di Gauss, dove l'asse x rappresenta la parte reale e l'asse y la parte immaginaria.
Questo capitolo presenta esempi pratici di conversione tra coordinate polari e cartesiane.
Esempio 1: Da coordinate polari a cartesiane
Esempio 2: Da coordinate cartesiane a polari
Example: Per convertire P(4; 3π/2) da polari a cartesiane: x = 4 · cos(3π/2) = 0 y = 4 · sen(3π/2) = -4 Quindi, P(0; -4) in coordinate cartesiane
Questi esempi illustrano l'importanza della trasformazione da coordinate polari a cartesiane e viceversa, utile in vari campi come la fisica e l'ingegneria.
77
2576
4ªl
Equazioni e disequazioni esponenziali
Appunti presi in classe e vari esempi sulle equazioni e disequazioni esponenziali con grafici + una piccola ripetizione sulle proprietà delle potenze
298
9331
2ªl/3ªl
Valore assoluto, equazioni con valori assoluti, equzioni sintetiche, disequazioni con valori assoluti, equazioni irrazionali ed equazioni irrazionali con più radici.
Valore assoluto, equazioni con valori assoluti, equzioni sintetiche, disequazioni con valori assoluti, equazioni irrazionali ed equazioni irrazionali con più radici.
15
466
4ªl
Scomposizione di polinomi
Metodi, teoria e passaggi.
99
3009
4ªl
i Logaritmi
appunti sui logaritmi e le loro 3 proprietà
78
1815
4ªl
funzioni
funzioni: dominio, intersezione con gli assi, pari e dispari
54
1985
2ªl/3ªl
Radicali: campo di esistenza e segno
Come definire il dominio e il segno dei radicali analizzando i diversi passaggi
Valutazione media dell'app
Studenti che usano Knowunity
Nelle classifiche delle app per l'istruzione in 12 Paesi
Studenti che hanno caricato appunti
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Stefano S, utente iOS
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I numeri complessi estendono il concetto di numero reale, permettendo di risolvere equazioni precedentemente impossibili. Vengono rappresentati in forma algebrica, trigonometrica ed esponenziale e possono essere visualizzati sul piano di Gauss. Le coordinate polari offrono un modo alternativo di descrivere punti nel piano complesso.
Gli esercizi con numeri complessi coinvolgono spesso la conversione tra diverse forme e la risoluzione di equazioni.
Esempio: Risolvere l'equazione z² + 4 = 0 in C Soluzione: z² = -4 z = ±√(-4) = ±2i S = {2i, -2i}
Le equazioni con numeri complessi possono essere risolte utilizzando tecniche algebriche o geometriche, a seconda della forma in cui sono presentate.
Highlight: Il Teorema fondamentale dell'algebra afferma che ogni equazione polinomiale di grado n ha esattamente n soluzioni complesse, contate con la loro molteplicità.
Applicazioni pratiche dei numeri complessi si trovano in vari campi:
Vocabulary: La forma polare dei numeri complessi è particolarmente utile in elettrotecnica per rappresentare grandezze alternate.
Esercitarsi con diverse rappresentazioni e operazioni sui numeri complessi è fondamentale per padroneggiare questo potente strumento matematico.
I numeri complessi possono essere rappresentati graficamente sul piano di Gauss, dove l'asse x rappresenta la parte reale e l'asse y la parte immaginaria.
Definition: Il piano di Gauss è un piano cartesiano dove l'asse orizzontale rappresenta la parte reale e l'asse verticale la parte immaginaria di un numero complesso.
Caratteristiche principali:
Example: Per rappresentare z₁ = 3 + 2i e z₂ = -1 - i sul piano di Gauss: z₁ è il punto (3, 2) z₂ è il punto (-1, -1)
Il modulo di un numero complesso è sempre non negativo e rappresenta la sua "grandezza" nel piano complesso.
Highlight: Il modulo di un numero complesso è sempre maggiore o uguale a zero: |z| ≥ 0
La rappresentazione grafica è fondamentale per visualizzare le equazioni con numeri complessi e comprendere concetti come la forma esponenziale dei numeri complessi.
La rappresentazione grafica dei numeri complessi avviene sul piano di Gauss, dove ogni punto corrisponde a un numero complesso z = a + bi.
Highlight: Il piano di Gauss combina l'asse reale (x) e l'asse immaginario (y) per visualizzare i numeri complessi.
Il modulo di un numero complesso z = a + bi è definito come:
|z| = √(a² + b²)
Rappresenta la distanza del punto corrispondente dall'origine nel piano di Gauss.
Esempio: Per z₁ = 8 - 2i, il modulo è |z₁| = √(8² + (-2)²) = √68
Alcune proprietà importanti dei numeri complessi includono:
Vocabulary: Il coniugato di z = a + bi è z* = a - bi
La rappresentazione grafica aiuta a visualizzare queste relazioni e a comprendere meglio le operazioni tra numeri complessi.
Le coordinate polari offrono un modo alternativo di rappresentare punti nel piano, utilizzando la distanza dall'origine (r) e l'angolo rispetto all'asse positivo delle x (θ).
Definizione: Le coordinate polari (r,θ) di un punto P sono date dal modulo r ≥ 0 e dall'argomento 0 ≤ θ < 2π.
La conversione tra coordinate cartesiane (x,y) e polari (r,θ) avviene tramite le formule:
x = r cos θ y = r sin θ r = √(x² + y²) θ = arctan(y/x)
I numeri complessi possono essere espressi in tre forme principali:
Esempio: Il numero complesso z = 1 - i può essere espresso come:
- Forma algebrica: z = 1 - i
- Forma trigonometrica: z = √2(cos(-π/4) + i sin(-π/4))
- Forma esponenziale: z = √2e^(-iπ/4)
La conversione tra queste forme richiede l'uso delle formule di Eulero e delle relazioni trigonometriche.
I numeri complessi estendono il concetto di numero reale, permettendo di risolvere equazioni precedentemente impossibili come x² = -1. Vengono introdotti definendo l'unità immaginaria i, tale che i² = -1.
Definizione: Un numero complesso è un'espressione della forma a + bi, dove a e b sono numeri reali e i è l'unità immaginaria.
La parte reale Re(z) = a e la parte immaginaria Im(z) = b identificano univocamente un numero complesso z = a + bi.
Esempio: z = 8 - 2i ha parte reale Re(z) = 8 e parte immaginaria Im(z) = -2
I numeri complessi possono essere:
Highlight: Non esistono equazioni impossibili nell'insieme dei numeri complessi!
La rappresentazione grafica dei numeri complessi avviene sul piano di Gauss, dove l'asse x rappresenta la parte reale e l'asse y la parte immaginaria.
Questo capitolo presenta esempi pratici di conversione tra coordinate polari e cartesiane.
Esempio 1: Da coordinate polari a cartesiane
Esempio 2: Da coordinate cartesiane a polari
Example: Per convertire P(4; 3π/2) da polari a cartesiane: x = 4 · cos(3π/2) = 0 y = 4 · sen(3π/2) = -4 Quindi, P(0; -4) in coordinate cartesiane
Questi esempi illustrano l'importanza della trasformazione da coordinate polari a cartesiane e viceversa, utile in vari campi come la fisica e l'ingegneria.
Matematica - Equazioni e disequazioni esponenziali
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Matematica - Valore assoluto, equazioni con valori assoluti, equzioni sintetiche, disequazioni con valori assoluti, equazioni irrazionali ed equazioni irrazionali con più radici.
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Matematica - Scomposizione di polinomi
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Matematica - funzioni
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Matematica - Radicali: campo di esistenza e segno
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