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Metodi di Risoluzione Sistemi Lineari: Sostituzione, Confronto e Cramer

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nicoca_cola

08/07/2025

Matematica

I sistemi lineari

2545

8 lug 2025

2 pagine

Metodi di Risoluzione Sistemi Lineari: Sostituzione, Confronto e Cramer

I sistemi linearisono un concetto fondamentale in algebra. Possono... Mostra di più

I SISTEMI LINEARI
Un sistema di due equazioni in due incognite si presenta in forma:
Un sistema lineare ammette (se esiste) come soluzione l

Metodi di Risoluzione Avanzati

Il metodo del confronto consiste nel ricavare la stessa incognita da entrambe le equazioni e uguagliare le espressioni ottenute. Questo porta a un'equazione con una sola incognita.

Il metodo di riduzione, anche noto come metodo di addizione e sottrazione, si basa sulla somma o sottrazione membro a membro delle equazioni del sistema. Si distinguono due casi:

  1. I coefficienti di un'incognita sono uguali e opposti
  2. I coefficienti rispetto a ciascuna variabile non sono né uguali né opposti

Definizione: Una matrice è un insieme di numeri reali disposti in righe e colonne. Se il numero di righe è uguale a quello delle colonne, si parla di matrice quadrata.

Il metodo di Cramer utilizza matrici e determinanti. Il determinante di una matrice è la differenza tra il prodotto degli elementi della diagonale principale e il prodotto degli elementi della diagonale secondaria.

Highlight: I sistemi letterali o parametrici contengono, oltre alle incognite, anche parametri. Il metodo di Cramer è particolarmente efficace per risolverli.

Esempio: Nella risoluzione di un sistema letterale, è necessario discutere il parametro per stabilire quando il sistema è determinato, indeterminato o impossibile. Se è determinato, si trova la soluzione in funzione del parametro.

Vocabulary: Matrice quadrata: matrice con lo stesso numero di righe e colonne. Determinante: valore numerico associato a una matrice quadrata. Sistema letterale: sistema di equazioni contenente parametri oltre alle incognite.

I SISTEMI LINEARI
Un sistema di due equazioni in due incognite si presenta in forma:
Un sistema lineare ammette (se esiste) come soluzione l

Introduzione ai Sistemi Lineari

Un sistema lineare è composto da due o più equazioni con due o più incognite. La soluzione, se esiste, è una coppia di valori x,yx,y che soddisfa tutte le equazioni. I sistemi lineari possono essere risolti algebricamente o graficamente.

Definizione: Un sistema lineare di due equazioni in due incognite ha la forma generale: { ax + by = c a₁x + b₁y = c₁

I principali metodi algebrici per risolvere i sistemi lineari sono:

  1. Sostituzione
  2. Riduzione addizioneesottrazioneaddizione e sottrazione
  3. Confronto
  4. Cramer metododeideterminantimetodo dei determinanti

Highlight: La relazione tra i coefficienti di un sistema permette di determinare se è determinato, indeterminato o impossibile senza risolverlo.

Il metodo di Cramer utilizza i determinanti per classificare i sistemi:

  • D=0 e Dx≠0 o Dy≠0: Impossibile
  • D=0, Dx=0, Dy=0: Indeterminato
  • D≠0: Determinato

Esempio: Nel metodo di sostituzione, si ricava un'incognita da un'equazione e la si sostituisce nell'altra, ottenendo un sistema equivalente.

Vocabulary: Sistema determinato: ha un numero finito di soluzioni. Sistema indeterminato: ha infinite soluzioni. Sistema impossibile: non ammette soluzioni.



Pensavamo che non l'avreste mai chiesto....

Che cos'è l'assistente AI di Knowunity?

Il nostro assistente AI è costruito specificamente per le esigenze degli studenti. Sulla base dei milioni di contenuti presenti sulla piattaforma, possiamo fornire agli studenti risposte davvero significative e pertinenti. Ma non si tratta solo di risposte, l'assistente è in grado di guidare gli studenti attraverso le loro sfide quotidiane di studio, con piani di studio personalizzati, quiz o contenuti nella chat e una personalizzazione al 100% basata sulle competenze e sugli sviluppi degli studenti.

Dove posso scaricare l'applicazione Knowunity?

È possibile scaricare l'applicazione dal Google Play Store e dall'Apple App Store.

Knowunity è davvero gratuita?

Sì, hai accesso completamente gratuito a tutti i contenuti nell'app e puoi chattare o seguire i Creatori in qualsiasi momento. Sbloccherai nuove funzioni crescendo il tuo numero di follower. Inoltre, offriamo Knowunity Premium, che consente di studiare senza alcun limite!!

Non c'è niente di adatto? Esplorare altre aree tematiche.

Recensioni dei nostri utenti. Ci adorano - e anche tu, vedrai .

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

L'applicazione è molto facile da usare e ben progettata. Finora ho trovato tutto quello che cercavo e ho potuto imparare molto dalle presentazioni! Utilizzerò sicuramente l'app per i compiti in classe! È molto utile anche come fonte di ispirazione.

Stefano S

utente iOS

Questa applicazione è davvero grande! Ci sono tantissimi appunti e aiuti con lo studio [...]. La mia materia problematica, per esempio, è il francese e l'app ha così tante opzioni per aiutarmi. Grazie a questa app ho migliorato il mio francese. La consiglio a tutti.

Samantha Klich

utente Android

Wow, sono davvero stupita. Ho appena provato l'app perché l'ho vista pubblicizzata molte volte e sono rimasta assolutamente sbalordita. Questa app è L'AIUTO che cercate per la scuola e soprattutto offre tantissime cose, come allenamenti e schede, che a me personalmente sono state MOLTO utili.

Anna

utente iOS

È bellissima questa app, la adoro. È utilissima per lo studio e mi aiuta molto, anzi moltissimo, ma soprattutto mi aiutano molto i quiz, per memorizzare anche quello che non sapevo

Anastasia

utente Android

Fantastica per qualsiasi materia avere gli appunti anche di altre persone è molto utile perchè posso confrontarmi e vedere come migliorarmi. con i quiz riesco ad apprendere al meglio.

Francesca

utente Android

moooolto utile,gli appunti sono belli e funzionanti,schoolGPT da dei consigli formidabili!!

Marianna

utente Android

L'applicazione è semplicemente fantastica! Tutto ciò che devo fare è inserire l'argomento nella barra di ricerca e ottengo la risposta molto velocemente. Non devo guardare 10 video di YouTube per capire qualcosa, quindi risparmio tempo. Consigliatissima!

Sudenaz Ocak

utente Android

A scuola andavo malissimo in matematica, ma grazie a questa applicazione ora vado meglio. Vi sono molto grato per aver creato questa app.

Greenlight Bonnie

utente Android

Knowunity è un applicazione fantastica,considerando che ha degli schemi veramente molto carini e sfiziosi e che ci sono dei quiz,oltre al fatto che questa cosa dell intelligenza artificiale "school gpt" è almeno per me molto utile, perché a differenza di Chatgpt ti da le spiegazioni, ti spiega ciò che non è chiaro! Posso studiare più velocemente tramite gli schemi e che posso pubblicare io stessa gli schemi è una funzione utilissima per gli altri studenti. Knowunity è PERFETTA

Aurora

utente Android

L’app funziona benissimo e puoi trovare qualsiasi tipo di informazione. Non ho l’abbonamento ma la parte gratuita è sufficiente per uno studio approfondito.

Martina

utente iOS

in questi ultimi mesi di scuola dove il tempo è ormai poco, mi sta aiutando molto perché piuttosto che farmi io gli schemi su quello che leggo sul libro guardo questi già fatti e li uso come ripasso piuttosto che rileggermi tutto il libro

Chiara

utente IOS

Questa app è una delle migliori, nient’altro da dire.

Andrea

utente iOS

L'applicazione è molto facile da usare e ben progettata. Finora ho trovato tutto quello che cercavo e ho potuto imparare molto dalle presentazioni! Utilizzerò sicuramente l'app per i compiti in classe! È molto utile anche come fonte di ispirazione.

Stefano S

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Questa applicazione è davvero grande! Ci sono tantissimi appunti e aiuti con lo studio [...]. La mia materia problematica, per esempio, è il francese e l'app ha così tante opzioni per aiutarmi. Grazie a questa app ho migliorato il mio francese. La consiglio a tutti.

Samantha Klich

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Wow, sono davvero stupita. Ho appena provato l'app perché l'ho vista pubblicizzata molte volte e sono rimasta assolutamente sbalordita. Questa app è L'AIUTO che cercate per la scuola e soprattutto offre tantissime cose, come allenamenti e schede, che a me personalmente sono state MOLTO utili.

Anna

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È bellissima questa app, la adoro. È utilissima per lo studio e mi aiuta molto, anzi moltissimo, ma soprattutto mi aiutano molto i quiz, per memorizzare anche quello che non sapevo

Anastasia

utente Android

Fantastica per qualsiasi materia avere gli appunti anche di altre persone è molto utile perchè posso confrontarmi e vedere come migliorarmi. con i quiz riesco ad apprendere al meglio.

Francesca

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moooolto utile,gli appunti sono belli e funzionanti,schoolGPT da dei consigli formidabili!!

Marianna

utente Android

L'applicazione è semplicemente fantastica! Tutto ciò che devo fare è inserire l'argomento nella barra di ricerca e ottengo la risposta molto velocemente. Non devo guardare 10 video di YouTube per capire qualcosa, quindi risparmio tempo. Consigliatissima!

Sudenaz Ocak

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A scuola andavo malissimo in matematica, ma grazie a questa applicazione ora vado meglio. Vi sono molto grato per aver creato questa app.

Greenlight Bonnie

utente Android

Knowunity è un applicazione fantastica,considerando che ha degli schemi veramente molto carini e sfiziosi e che ci sono dei quiz,oltre al fatto che questa cosa dell intelligenza artificiale "school gpt" è almeno per me molto utile, perché a differenza di Chatgpt ti da le spiegazioni, ti spiega ciò che non è chiaro! Posso studiare più velocemente tramite gli schemi e che posso pubblicare io stessa gli schemi è una funzione utilissima per gli altri studenti. Knowunity è PERFETTA

Aurora

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Martina

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in questi ultimi mesi di scuola dove il tempo è ormai poco, mi sta aiutando molto perché piuttosto che farmi io gli schemi su quello che leggo sul libro guardo questi già fatti e li uso come ripasso piuttosto che rileggermi tutto il libro

Chiara

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Questa app è una delle migliori, nient’altro da dire.

Andrea

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I sistemi linearisono un concetto fondamentale in algebra. Possono essere risolti attraverso metodi algebrici o grafici, con diverse tecniche come sostituzione, riduzione, confronto e Cramer. La relazione tra i coefficienti determina se un sistema è determinato, indeterminato o impossibile.... Mostra di più

I SISTEMI LINEARI
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Metodi di Risoluzione Avanzati

Il metodo del confronto consiste nel ricavare la stessa incognita da entrambe le equazioni e uguagliare le espressioni ottenute. Questo porta a un'equazione con una sola incognita.

Il metodo di riduzione, anche noto come metodo di addizione e sottrazione, si basa sulla somma o sottrazione membro a membro delle equazioni del sistema. Si distinguono due casi:

  1. I coefficienti di un'incognita sono uguali e opposti
  2. I coefficienti rispetto a ciascuna variabile non sono né uguali né opposti

Definizione: Una matrice è un insieme di numeri reali disposti in righe e colonne. Se il numero di righe è uguale a quello delle colonne, si parla di matrice quadrata.

Il metodo di Cramer utilizza matrici e determinanti. Il determinante di una matrice è la differenza tra il prodotto degli elementi della diagonale principale e il prodotto degli elementi della diagonale secondaria.

Highlight: I sistemi letterali o parametrici contengono, oltre alle incognite, anche parametri. Il metodo di Cramer è particolarmente efficace per risolverli.

Esempio: Nella risoluzione di un sistema letterale, è necessario discutere il parametro per stabilire quando il sistema è determinato, indeterminato o impossibile. Se è determinato, si trova la soluzione in funzione del parametro.

Vocabulary: Matrice quadrata: matrice con lo stesso numero di righe e colonne. Determinante: valore numerico associato a una matrice quadrata. Sistema letterale: sistema di equazioni contenente parametri oltre alle incognite.

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Introduzione ai Sistemi Lineari

Un sistema lineare è composto da due o più equazioni con due o più incognite. La soluzione, se esiste, è una coppia di valori x,yx,y che soddisfa tutte le equazioni. I sistemi lineari possono essere risolti algebricamente o graficamente.

Definizione: Un sistema lineare di due equazioni in due incognite ha la forma generale: { ax + by = c a₁x + b₁y = c₁

I principali metodi algebrici per risolvere i sistemi lineari sono:

  1. Sostituzione
  2. Riduzione addizioneesottrazioneaddizione e sottrazione
  3. Confronto
  4. Cramer metododeideterminantimetodo dei determinanti

Highlight: La relazione tra i coefficienti di un sistema permette di determinare se è determinato, indeterminato o impossibile senza risolverlo.

Il metodo di Cramer utilizza i determinanti per classificare i sistemi:

  • D=0 e Dx≠0 o Dy≠0: Impossibile
  • D=0, Dx=0, Dy=0: Indeterminato
  • D≠0: Determinato

Esempio: Nel metodo di sostituzione, si ricava un'incognita da un'equazione e la si sostituisce nell'altra, ottenendo un sistema equivalente.

Vocabulary: Sistema determinato: ha un numero finito di soluzioni. Sistema indeterminato: ha infinite soluzioni. Sistema impossibile: non ammette soluzioni.

Pensavamo che non l'avreste mai chiesto....

Che cos'è l'assistente AI di Knowunity?

Il nostro assistente AI è costruito specificamente per le esigenze degli studenti. Sulla base dei milioni di contenuti presenti sulla piattaforma, possiamo fornire agli studenti risposte davvero significative e pertinenti. Ma non si tratta solo di risposte, l'assistente è in grado di guidare gli studenti attraverso le loro sfide quotidiane di studio, con piani di studio personalizzati, quiz o contenuti nella chat e una personalizzazione al 100% basata sulle competenze e sugli sviluppi degli studenti.

Dove posso scaricare l'applicazione Knowunity?

È possibile scaricare l'applicazione dal Google Play Store e dall'Apple App Store.

Knowunity è davvero gratuita?

Sì, hai accesso completamente gratuito a tutti i contenuti nell'app e puoi chattare o seguire i Creatori in qualsiasi momento. Sbloccherai nuove funzioni crescendo il tuo numero di follower. Inoltre, offriamo Knowunity Premium, che consente di studiare senza alcun limite!!

Non c'è niente di adatto? Esplorare altre aree tematiche.

Recensioni dei nostri utenti. Ci adorano - e anche tu, vedrai .

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

L'applicazione è molto facile da usare e ben progettata. Finora ho trovato tutto quello che cercavo e ho potuto imparare molto dalle presentazioni! Utilizzerò sicuramente l'app per i compiti in classe! È molto utile anche come fonte di ispirazione.

Stefano S

utente iOS

Questa applicazione è davvero grande! Ci sono tantissimi appunti e aiuti con lo studio [...]. La mia materia problematica, per esempio, è il francese e l'app ha così tante opzioni per aiutarmi. Grazie a questa app ho migliorato il mio francese. La consiglio a tutti.

Samantha Klich

utente Android

Wow, sono davvero stupita. Ho appena provato l'app perché l'ho vista pubblicizzata molte volte e sono rimasta assolutamente sbalordita. Questa app è L'AIUTO che cercate per la scuola e soprattutto offre tantissime cose, come allenamenti e schede, che a me personalmente sono state MOLTO utili.

Anna

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È bellissima questa app, la adoro. È utilissima per lo studio e mi aiuta molto, anzi moltissimo, ma soprattutto mi aiutano molto i quiz, per memorizzare anche quello che non sapevo

Anastasia

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Fantastica per qualsiasi materia avere gli appunti anche di altre persone è molto utile perchè posso confrontarmi e vedere come migliorarmi. con i quiz riesco ad apprendere al meglio.

Francesca

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moooolto utile,gli appunti sono belli e funzionanti,schoolGPT da dei consigli formidabili!!

Marianna

utente Android

L'applicazione è semplicemente fantastica! Tutto ciò che devo fare è inserire l'argomento nella barra di ricerca e ottengo la risposta molto velocemente. Non devo guardare 10 video di YouTube per capire qualcosa, quindi risparmio tempo. Consigliatissima!

Sudenaz Ocak

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A scuola andavo malissimo in matematica, ma grazie a questa applicazione ora vado meglio. Vi sono molto grato per aver creato questa app.

Greenlight Bonnie

utente Android

Knowunity è un applicazione fantastica,considerando che ha degli schemi veramente molto carini e sfiziosi e che ci sono dei quiz,oltre al fatto che questa cosa dell intelligenza artificiale "school gpt" è almeno per me molto utile, perché a differenza di Chatgpt ti da le spiegazioni, ti spiega ciò che non è chiaro! Posso studiare più velocemente tramite gli schemi e che posso pubblicare io stessa gli schemi è una funzione utilissima per gli altri studenti. Knowunity è PERFETTA

Aurora

utente Android

L’app funziona benissimo e puoi trovare qualsiasi tipo di informazione. Non ho l’abbonamento ma la parte gratuita è sufficiente per uno studio approfondito.

Martina

utente iOS

in questi ultimi mesi di scuola dove il tempo è ormai poco, mi sta aiutando molto perché piuttosto che farmi io gli schemi su quello che leggo sul libro guardo questi già fatti e li uso come ripasso piuttosto che rileggermi tutto il libro

Chiara

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Questa app è una delle migliori, nient’altro da dire.

Andrea

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L'applicazione è molto facile da usare e ben progettata. Finora ho trovato tutto quello che cercavo e ho potuto imparare molto dalle presentazioni! Utilizzerò sicuramente l'app per i compiti in classe! È molto utile anche come fonte di ispirazione.

Stefano S

utente iOS

Questa applicazione è davvero grande! Ci sono tantissimi appunti e aiuti con lo studio [...]. La mia materia problematica, per esempio, è il francese e l'app ha così tante opzioni per aiutarmi. Grazie a questa app ho migliorato il mio francese. La consiglio a tutti.

Samantha Klich

utente Android

Wow, sono davvero stupita. Ho appena provato l'app perché l'ho vista pubblicizzata molte volte e sono rimasta assolutamente sbalordita. Questa app è L'AIUTO che cercate per la scuola e soprattutto offre tantissime cose, come allenamenti e schede, che a me personalmente sono state MOLTO utili.

Anna

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È bellissima questa app, la adoro. È utilissima per lo studio e mi aiuta molto, anzi moltissimo, ma soprattutto mi aiutano molto i quiz, per memorizzare anche quello che non sapevo

Anastasia

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Fantastica per qualsiasi materia avere gli appunti anche di altre persone è molto utile perchè posso confrontarmi e vedere come migliorarmi. con i quiz riesco ad apprendere al meglio.

Francesca

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moooolto utile,gli appunti sono belli e funzionanti,schoolGPT da dei consigli formidabili!!

Marianna

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L'applicazione è semplicemente fantastica! Tutto ciò che devo fare è inserire l'argomento nella barra di ricerca e ottengo la risposta molto velocemente. Non devo guardare 10 video di YouTube per capire qualcosa, quindi risparmio tempo. Consigliatissima!

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A scuola andavo malissimo in matematica, ma grazie a questa applicazione ora vado meglio. Vi sono molto grato per aver creato questa app.

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Knowunity è un applicazione fantastica,considerando che ha degli schemi veramente molto carini e sfiziosi e che ci sono dei quiz,oltre al fatto che questa cosa dell intelligenza artificiale "school gpt" è almeno per me molto utile, perché a differenza di Chatgpt ti da le spiegazioni, ti spiega ciò che non è chiaro! Posso studiare più velocemente tramite gli schemi e che posso pubblicare io stessa gli schemi è una funzione utilissima per gli altri studenti. Knowunity è PERFETTA

Aurora

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L’app funziona benissimo e puoi trovare qualsiasi tipo di informazione. Non ho l’abbonamento ma la parte gratuita è sufficiente per uno studio approfondito.

Martina

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in questi ultimi mesi di scuola dove il tempo è ormai poco, mi sta aiutando molto perché piuttosto che farmi io gli schemi su quello che leggo sul libro guardo questi già fatti e li uso come ripasso piuttosto che rileggermi tutto il libro

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Andrea

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