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5/10/2022
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QUADRILATERI treeperio Due lati di un quadrilatero con un vertice comune sono consecutivi Due lat? non conse cutful sono opposti Due vertici appartenenti allo stesso lato sono consecutivi Due vertic? non dello stesso lato sono opposti Due angoli con un lato comune sono adiacenti Due angoli non adiacenti si dicons opposti" lato D SP dice TRAPECIO un quadrilatero con almeno una coppla di lati paralleli altezza base minore c H A H base magg. ic iato 6 AB/CD CKLAB = alterca DH AB = alterca AB = base magg. CD= base min. BCADA= lati DA = last? obl. se uno solo dei suoi lati obliqui è perpen decolare alle base. Si dice isoscele se p suop lat? oblique sono congruent? Un trapecio of dice rettangolo PROPRIETA DEGLI ANGOLI DI UN TRAPEZIO [dimostrazione GIP onjoli adiacenti a ciasan lato oblique di un trapecio sono Supplementar Gli angoli adiacenti a ciascun lato obliquo di un trapecio sono coniugati intern? rispetto alle rette parallele ci appartengono le book tagliate dalla retta acei appartiene il lato obl. coadrilateri trapezp A D C B A+=180° AB+C = 180° LA PROPRIETA DI UN TRAPEZIO ISOSCOLOⓇ In un trapecio isoscele a. GIP angolf adiacent? alle bas sono congruente Idimostrazione Ipotes? : AB //CD, AD = BC Test: A = BAC ²6 DIMOSTRAZIONE: ✔ Tes: CABD DIMOSTRAZIONE: A 6 Costruzione preliminare: tracciamo le alterce Dit e CK Considero ptr. AHD e BKC. Ess? hams: • DH = ck perché profecion? so rette parallele • AD BC per potes? • AND BRC perche retti Quindi: AHD = BKC per 2° cr. dr In...
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particolare: Â= 6 sono congruenti 1. Le diagonal? Ldimostrazione Ipotesi: AB/CD, AD = BC, ABACO per A # A 1° D IF conger. D с aud Consideriamo i due triangol? ABD e ABC. Essi hanno: •AB in comme or. o' congr. с 0 • AD BC per ipotes? O per spotes? Quindi: ABD = ABC In particolare: AC BD cud LE CONDIZIONI SUFFICIENTI AFFINCHE UN TRAPECIO SIA ISOSCELE GA Un trapecto è Psosuele se gli angolf adiacenti? sono congruente 0 le d'agocal sono congruent! se • Per dimostrare che un quadr. è un trapecio: AB // CD (per del.) Por dimostrare che un trapecio è posscele: . BC=DA (per dek.) AB AC BD D parallelegram 21 22 22262 Se dice PARALLELOGRAMMA un quadrilatero che ha i lati opposti parallels с А CA AB // DE A BC//DA D A centro с 2 B 9 diagonall 6 Tes: ABCD, AD = BC CIMOSTRACIONE! D trapezi (parallelogram) quadri laters J A LE PROPRIETA DEL PARALLELOGRAMMI • Gli angoli adiacente a clascon lato sono supplementar Ldimostrazione i parallelo gramm? sono un sottinsieme dei traped -C Ogn² lato può essere considerato come lato oblique • I lati opposte sono congruente dimostrazione ipotes?: AB//COA BC//DA BEI DA CHI DA Quindi: ABD = BCD per 20 cr. di congr. In particolare: AB÷CD AAD = BC B D Considero i tr. ABD e BCD. Esse hamo: D •BD in comune ABB DBC perche alterns int. delle rette AB//CD tagliate da BD BOCARD C B • gli angol? opfost? sono congruenti L dimostrazione Ipotes?: ABCD paralle to gramma Tes: A = CAD Dimostracione: 6 ABD = BCD per 2° cr. di congr. (precedente dim. ) •In particolare:  = € BAOB+BOCDBC+ABC= Ipotess : ABCD parallelogramma Tes: AO OCA BO OD DIMOSTRAZIONE: cvd • le diagonal? s? intersecano cel loro punto medio (si disecano scomble.) Ldimostrazione 0 ABCD Consideriamo i tr. AGB e DCC. Esss hanno! per prec. dem per prec. dim. 9 BOCABD •ACD CAB Quindi: AOB = A perchè altero² interns COD D per 2° cr. df congr. sono congruenti D O in particolare: AO=OC A BO GOD 6 CONDICIOUL SUFFICIENTI PERCHE" in "QUADRI SIA W PARALLELOG. • entrambe le coppie di lati Ldimostrazione oppostis A B B C с To: AB÷CD A AD = BC Test: ABCD parallelogramma. Dimostracione: Considero i tr. ABD e BCD. Esse sono coogr. per il 3°c. In particolare ABB = DBC (alteros intern!) @ ABD = BBC (alt, int.) Quindi. AB // CD e ⇒ il quadrilatero à un parallelograming DA BC C entrambe le coppie di langol? opposti: Ldimostrazione 0 • Ipotes": Â=CA  = Ô tes?: ABCD parallelogramma L +L+ß +ß = 360° 2x+2=360°° => 2+³=180° 2 Quindi: se 1 2 suppl. a  a 1p: AO=OCA BO=OD Test: ABCD parallegramma Dimostracione sono congr. B allora AD// BC (perche cogång. int. suppi.) Per ragionamento onabgo AB // CD, Quindi ABCD è un parallelogr. O le diagonali si intersecano nel loro punto medio dimostrazione. Ip: AB/CD/AB=CD Teys: ABCD parallelogromma DIMOSTRACIONE. ABCD ABD BDC Quindi: ABC BDC A per somma di ong. D perche alt. int. per I cc To particolare: AB÷CD ABC DA • de copple of latf opposti parallete D er I cc. Considero ? tr. AOB e COD, congr. per. In particolare: AB = CD Considero il tr. ADD = BOC per ragionamento analogo. Quind?; ABCD ha lati oppost? 'coogr." Cocoolero tr. ABD e BDC. Essi himno! • BD in comune 2 Po D • una coppia di lati opposti congruenti e parallels Laimostrazione # Pot. de A W A 8 un quaot. # с U J B D rettangele Un rettangolo è un quadrilatero che ha tutti gli angols retts Un rettangolo è un parallelogramma con un angolo retto C D A B Poiché un rettangolo è un parallelo gramma, valgoso per esso le stesse proprietà de 12 ↑ Â¥90° B+A=180° AC + D = 180° ABC 690° A%A80 PROPRIETA DELLE DIAGONALI Un rettangolo ha le diagarali congruenti [dimostrazioni lp. : A === 6 = 90° Tes: AC BD Dimostratione: Consideriamo i tr. ABD e ABC. Essi hamo: ·A=B per p. • AB Po comune AD = BC perché lati Quindi: ABD = ABC per. Se un A QUADRILATERI ктаресто parallelogramera rettangoll •Lºc., in particolare: AC = BD TEOREMA DIRETTO (CS PERCHE UN Q. SIA UN RETT.) quadrilatero ha 4 angoli congr., allora è un rettang. CONDIZIONE SUFF. PERCHE IN PARALL. SIA UN RETT. allora è Se un parall. ha le diagonals congr. S rettangolo UNIONE Un parallelogramma è un rettangolo se solo se ha le diagonals congruenti с B combi Un rombo è un quadrilatero che ha tutti i lati congruents C PROPRIETA DELLE DIAGONALI DI UN ROMBO In un rombo le diagonali sono perpendicolari e •sono bisettrick degls anyols interns del rombo [dimostrazione Ip: ABCD ambo Tes: a) ACL BD :O) AC] b) A Poiché i rombi sono parallelogramm?, godono di tutte le proprietà di essi. Abbiamo visto che i rett. sono & parallelogramme con le diagonal congruents, Prambi sono parallelogramm? con: D 0 tutti i lati congruenti • due lati consecutive sono congruent? • le diagonali sono perpendicolari Ldimostrasione Ip: ABCD parallelogr., ACL BD Test: ABCD & Un rombo D CONDIC. SUFF. AFFINCHE IN PARALL. SIA W ROHBO. Considero & tr. COB B 4 A DIMOSTRAZIONE: A a) Il tr. BCD o isoscele sulla base BD, quind? COē mediana e altezza. conseguenta: AC1 BD (16) Porche un rambo è un parallelogramma, BO≈OD. O 0 Q te B B # H • una diagonale è bisettrice oli un angolo interno del parallelogr. quiebrat't Un quadrato è un quadrilatero che ha tutti gli onyoli retti e tutt? ? lat? congruents. D с # A B PROPRIETA DELLO DIAGONALL, BLUN QUADRATO Le diagonali di un quadrato sono congruenti, perpen= dicolari e bisettria degli angoli interns NOTA: quadrilatero >> parall. » rombo e rett. » quadr. DUE CONDIZIONI SUFFICIENTI PORCHE UN PGM SIA Q. O le diagonali sono congruenti e perpendicolan? le diagonali sono congruenti e una è bisettrice di un angolo interno del parallelogramma PLOTEKEŇA TALETE Se un fussio improprio di rette ( parallele a quella dascio interseca le tra= due punti in clascona retta data) due trasversal," sversali si dicono corrispondenti. Hea corrispondenza che associa a ogn? punto della trasversale r il punto correspondente su di un'altra trasver, sale r' & biunivoa e viene chiamata corrispondenca di Talete. PICCOLO TOOROMA DI TALETE Dato un fascio di rette parallele tagliate da de trasversall, a segmenti congruenti su una trasversale corrispondono segmenti congr. sull'altra trasversale dimostrasione 1P₁ a// 6 // // 3, AB=CD Tes' A'B'C' $ DIMOSTRAZIONE: Conduciamo da A la parallela a t'e woduciamo da C la parallela a r' F = = Pxf= A BE A B² a D² b Considero str. ABE e CDF. Essi sonoo: • AB = CD per sp BAE DCF perche corrispondenti (AE // CF tagliate da r) ABB ~ CBF perche corrispondenti (6//d tagliate dar) Quindi: ABE CDF. In particolare: AE = CF ABB'A' e CFD'C' sono parallebgramm? (lati opp- parall.) Quindi: AE A'B' e @ A Ma noi sappiamo che AG = CF Quindi: A'B'C'D² (per props. trans. della congr.) COROLLARIO DEL TOOREMA La parallela tracciata da un punto medio di un lato of. un triangolo a uno degli altri" due lati incontra il terco lato nel suo punto medio. с M A TEOREMA DEI PUNTI MEDI Il segmento che congiunge i punti med? di due lats di un triangolo è parallelo al terco lato, congruente alla sua metà N B