I quadrilateri

Didascalia alternativa:

particolare: Â= 6 sono congruenti 1. Le diagonal? Ldimostrazione Ipotesi: AB/CD, AD = BC, ABACO per A # A 1° D IF conger. D с aud Consideriamo i due triangol? ABD e ABC. Essi hanno: •AB in comme or. o' congr. с 0 • AD BC per ipotes? O per spotes? Quindi: ABD = ABC In particolare: AC BD cud LE CONDIZIONI SUFFICIENTI AFFINCHE UN TRAPECIO SIA ISOSCELE GA Un trapecto è Psosuele se gli angolf adiacenti? sono congruente 0 le d'agocal sono congruent! se • Per dimostrare che un quadr. è un trapecio: AB // CD (per del.) Por dimostrare che un trapecio è posscele: . BC=DA (per dek.) AB AC BD D parallelegram 21 22 22262 Se dice PARALLELOGRAMMA un quadrilatero che ha i lati opposti parallels с А CA AB // DE A BC//DA D A centro с 2 B 9 diagonall 6 Tes: ABCD, AD = BC CIMOSTRACIONE! D trapezi (parallelogram) quadri laters J A LE PROPRIETA DEL PARALLELOGRAMMI • Gli angoli adiacente a clascon lato sono supplementar Ldimostrazione i parallelo gramm? sono un sottinsieme dei traped -C Ogn² lato può essere considerato come lato oblique • I lati opposte sono congruente dimostrazione ipotes?: AB//COA BC//DA BEI DA CHI DA Quindi: ABD = BCD per 20 cr. di congr. In particolare: AB÷CD AAD = BC B D Considero i tr. ABD e BCD. Esse hamo: D •BD in comune ABB DBC perche alterns int. delle rette AB//CD tagliate da BD BOCARD C B • gli angol? opfost? sono congruenti L dimostrazione Ipotes?: ABCD paralle to gramma Tes: A = CAD Dimostracione: 6 ABD = BCD per 2° cr. di congr. (precedente dim. ) •In particolare:  = € BAOB+BOCDBC+ABC= Ipotess : ABCD parallelogramma Tes: AO OCA BO OD DIMOSTRAZIONE: cvd • le diagonal? s? intersecano cel loro punto medio (si disecano scomble.) Ldimostrazione 0 ABCD Consideriamo i tr. AGB e DCC. Esss hanno! per prec. dem per prec. dim. 9 BOCABD •ACD CAB Quindi: AOB = A perchè altero² interns COD D per 2° cr. df congr. sono congruenti D O in particolare: AO=OC A BO GOD 6 CONDICIOUL SUFFICIENTI PERCHE" in "QUADRI SIA W PARALLELOG. • entrambe le coppie di lati Ldimostrazione oppostis A B B C с To: AB÷CD A AD = BC Test: ABCD parallelogramma. Dimostracione: Considero i tr. ABD e BCD. Esse sono coogr. per il 3°c. In particolare ABB = DBC (alteros intern!) @ ABD = BBC (alt, int.) Quindi. AB // CD e ⇒ il quadrilatero à un parallelograming DA BC C entrambe le coppie di langol? opposti: Ldimostrazione 0 • Ipotes": Â=CA  = Ô tes?: ABCD parallelogramma L +L+ß +ß = 360° 2x+2=360°° => 2+³=180° 2 Quindi: se 1 2 suppl. a  a 1p: AO=OCA BO=OD Test: ABCD parallegramma Dimostracione sono congr. B allora AD// BC (perche cogång. int. suppi.) Per ragionamento onabgo AB // CD, Quindi ABCD è un parallelogr. O le diagonali si intersecano nel loro punto medio dimostrazione. Ip: AB/CD/AB=CD Teys: ABCD parallelogromma DIMOSTRACIONE. ABCD ABD BDC Quindi: ABC BDC A per somma di ong. D perche alt. int. per I cc To particolare: AB÷CD ABC DA • de copple of latf opposti parallete D er I cc. Considero ? tr. AOB e COD, congr. per. In particolare: AB = CD Considero il tr. ADD = BOC per ragionamento analogo. Quind?; ABCD ha lati oppost? 'coogr." Cocoolero tr. ABD e BDC. Essi himno! • BD in comune 2 Po D • una coppia di lati opposti congruenti e parallels Laimostrazione # Pot. de A W A 8 un quaot. # с U J B D rettangele Un rettangolo è un quadrilatero che ha tutti gli angols retts Un rettangolo è un parallelogramma con un angolo retto C D A B Poiché un rettangolo è un parallelo gramma, valgoso per esso le stesse proprietà de 12 ↑ Â¥90° B+A=180° AC + D = 180° ABC 690° A%A80 PROPRIETA DELLE DIAGONALI Un rettangolo ha le diagarali congruenti [dimostrazioni lp. : A === 6 = 90° Tes: AC BD Dimostratione: Consideriamo i tr. ABD e ABC. Essi hamo: ·A=B per p. • AB Po comune AD = BC perché lati Quindi: ABD = ABC per. Se un A QUADRILATERI ктаресто parallelogramera rettangoll •Lºc., in particolare: AC = BD TEOREMA DIRETTO (CS PERCHE UN Q. SIA UN RETT.) quadrilatero ha 4 angoli congr., allora è un rettang. CONDIZIONE SUFF. PERCHE IN PARALL. SIA UN RETT. allora è Se un parall. ha le diagonals congr. S rettangolo UNIONE Un parallelogramma è un rettangolo se solo se ha le diagonals congruenti с B combi Un rombo è un quadrilatero che ha tutti i lati congruents C PROPRIETA DELLE DIAGONALI DI UN ROMBO In un rombo le diagonali sono perpendicolari e •sono bisettrick degls anyols interns del rombo [dimostrazione Ip: ABCD ambo Tes: a) ACL BD :O) AC] b) A Poiché i rombi sono parallelogramm?, godono di tutte le proprietà di essi. Abbiamo visto che i rett. sono & parallelogramme con le diagonal congruents, Prambi sono parallelogramm? con: D 0 tutti i lati congruenti • due lati consecutive sono congruent? • le diagonali sono perpendicolari Ldimostrasione Ip: ABCD parallelogr., ACL BD Test: ABCD & Un rombo D CONDIC. SUFF. AFFINCHE IN PARALL. SIA W ROHBO. Considero & tr. COB B 4 A DIMOSTRAZIONE: A a) Il tr. BCD o isoscele sulla base BD, quind? COē mediana e altezza. conseguenta: AC1 BD (16) Porche un rambo è un parallelogramma, BO≈OD. O 0 Q te B B # H • una diagonale è bisettrice oli un angolo interno del parallelogr. quiebrat't Un quadrato è un quadrilatero che ha tutti gli onyoli retti e tutt? ? lat? congruents. D с # A B PROPRIETA DELLO DIAGONALL, BLUN QUADRATO Le diagonali di un quadrato sono congruenti, perpen= dicolari e bisettria degli angoli interns NOTA: quadrilatero >> parall. » rombo e rett. » quadr. DUE CONDIZIONI SUFFICIENTI PORCHE UN PGM SIA Q. O le diagonali sono congruenti e perpendicolan? le diagonali sono congruenti e una è bisettrice di un angolo interno del parallelogramma PLOTEKEŇA TALETE Se un fussio improprio di rette ( parallele a quella dascio interseca le tra= due punti in clascona retta data) due trasversal," sversali si dicono corrispondenti. Hea corrispondenza che associa a ogn? punto della trasversale r il punto correspondente su di un'altra trasver, sale r' & biunivoa e viene chiamata corrispondenca di Talete. PICCOLO TOOROMA DI TALETE Dato un fascio di rette parallele tagliate da de trasversall, a segmenti congruenti su una trasversale corrispondono segmenti congr. sull'altra trasversale dimostrasione 1P₁ a// 6 // // 3, AB=CD Tes' A'B'C' $ DIMOSTRAZIONE: Conduciamo da A la parallela a t'e woduciamo da C la parallela a r' F = = Pxf= A BE A B² a D² b Considero str. ABE e CDF. Essi sonoo: • AB = CD per sp BAE DCF perche corrispondenti (AE // CF tagliate da r) ABB ~ CBF perche corrispondenti (6//d tagliate dar) Quindi: ABE CDF. In particolare: AE = CF ABB'A' e CFD'C' sono parallebgramm? (lati opp- parall.) Quindi: AE A'B' e @ A Ma noi sappiamo che AG = CF Quindi: A'B'C'D² (per props. trans. della congr.) COROLLARIO DEL TOOREMA La parallela tracciata da un punto medio di un lato of. un triangolo a uno degli altri" due lati incontra il terco lato nel suo punto medio. с M A TEOREMA DEI PUNTI MEDI Il segmento che congiunge i punti med? di due lats di un triangolo è parallelo al terco lato, congruente alla sua metà N B