Numeri Naturali (N)

I numeri naturali formano l'insieme N = {0, 1, 2, 3, ...}. Questo insieme è fondamentale in matematica e ha proprietà importanti per le operazioni aritmetiche.

Definizione: L'insieme N dei numeri naturali comprende lo zero e tutti i numeri interi positivi.

Le operazioni principali sui numeri naturali includono:

• Addizione: sempre possibile e chiusa in N
• Moltiplicazione: sempre possibile e chiusa in N
• Sottrazione: non sempre possibile in N
• Divisione: non sempre possibile in N

Highlight: Il prodotto di due numeri naturali è sempre un numero naturale, dimostrando che l'insieme dei numeri naturali è chiuso rispetto all'operazione di moltiplicazione.

Elementi speciali in N:

• 0 è l'elemento neutro per l'addizione (a + 0 = a)
• 1 è l'elemento neutro per la moltiplicazione (a · 1 = a)

Esempio: Per ogni a ∈ N, a + 0 = 0 + a = a e a · 1 = a

La rappresentazione dei numeri naturali sulla retta numerica mostra una progressione infinita verso destra partendo dallo zero.

Vocabulary: Insiemi disgiunti - due insiemi che non hanno elementi in comune.

Numeri Interi (Z)

L'insieme dei numeri interi Z include i numeri naturali, lo zero e i numeri negativi. Questo amplia le possibilità di calcolo rispetto ai numeri naturali.

Definizione: Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}

La differenza tra numeri naturali e interi sta nell'inclusione dei numeri negativi in Z.

Proprietà delle operazioni in Z:

• Addizione e moltiplicazione: sempre possibili e chiuse in Z
• Sottrazione: sempre possibile in Z
• Divisione: non sempre possibile in Z

Highlight: In Z, ogni numero ha un opposto additivo, cioè per ogni a ∈ Z, esiste -a tale che a + (-a) = 0.

Elementi speciali in Z:

• 0 rimane l'elemento neutro per l'addizione
• 1 rimane l'elemento neutro per la moltiplicazione
• Ogni numero ha un opposto (elemento inverso per l'addizione)

Esempio: 3 - 6 = -3, dimostrando che la sottrazione è sempre possibile in Z.

La rappresentazione sulla retta numerica di Z si estende infinitamente in entrambe le direzioni dallo zero.

Numeri Razionali (Q)

I numeri razionali Q includono tutti i numeri che possono essere espressi come frazioni di interi.

Definizione: Q = {a/b | a, b ∈ Z, b ≠ 0}

Highlight: Tutte le frazioni sono numeri razionali, ma non tutti i numeri razionali sono frazioni nella loro forma più semplice.

Tipi di frazioni:

• Frazioni proprie: numeratore < denominatore
• Frazioni improprie: numeratore > denominatore
• Frazioni apparenti: rappresentano numeri interi

Esempio: 3/4 è una frazione propria, 5/2 è una frazione impropria, 6/3 è una frazione apparente.

Operazioni con i numeri razionali:

• Addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione (eccetto per 0) sono sempre possibili e chiuse in Q.

Highlight: Il prodotto di due numeri razionali è sempre un numero razionale, e l'insieme Q è chiuso rispetto alla sottrazione.

Vocabulary: Frazioni equivalenti - frazioni che rappresentano lo stesso valore numerico.

La rappresentazione dei numeri razionali su una retta mostra che riempiono densamente la retta, ma lasciano ancora "buchi" (i numeri irrazionali).