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Scopri gli Insiemi Congiunti e Disgiunti e Come Semplificare le Frazioni

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Laura Tramontano

30/10/2022

Matematica

i numeri naturali (R), interi (NcZ), razionali (Q)

Scopri gli Insiemi Congiunti e Disgiunti e Come Semplificare le Frazioni

I numeri naturali e insiemi disgiunti, le proprietà dei numeri interi e operazioni, e la semplificazione delle frazioni equivalenti sono concetti fondamentali della matematica di base.

  • I numeri naturali (N) sono la base per comprendere insiemi e operazioni
  • I numeri interi (Z) estendono N includendo i numeri negativi
  • I numeri razionali (Q) introducono le frazioni e le loro proprietà
  • I numeri reali (R) completano la retta numerica
...

30/10/2022

2737

numeri naturali
N
mumeri naturali N {0,1,2,3,. }
3 EN = 3 appartiene all'insieme IN
A CIN=A e contenuto in IN
A={XEN/X e pari?
B = {XENIX e

Vedi

Numeri Interi (Z)

L'insieme dei numeri interi Z include i numeri naturali, lo zero e i numeri negativi. Questo amplia le possibilità di calcolo rispetto ai numeri naturali.

Definizione: Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}

La differenza tra numeri naturali e interi sta nell'inclusione dei numeri negativi in Z.

Proprietà delle operazioni in Z:

  • Addizione e moltiplicazione: sempre possibili e chiuse in Z
  • Sottrazione: sempre possibile in Z
  • Divisione: non sempre possibile in Z

Highlight: In Z, ogni numero ha un opposto additivo, cioè per ogni a ∈ Z, esiste -a tale che a + a-a = 0.

Elementi speciali in Z:

  • 0 rimane l'elemento neutro per l'addizione
  • 1 rimane l'elemento neutro per la moltiplicazione
  • Ogni numero ha un opposto elementoinversoperladdizioneelemento inverso per l'addizione

Esempio: 3 - 6 = -3, dimostrando che la sottrazione è sempre possibile in Z.

La rappresentazione sulla retta numerica di Z si estende infinitamente in entrambe le direzioni dallo zero.

numeri naturali
N
mumeri naturali N {0,1,2,3,. }
3 EN = 3 appartiene all'insieme IN
A CIN=A e contenuto in IN
A={XEN/X e pari?
B = {XENIX e

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Numeri Razionali (Q)

I numeri razionali Q includono tutti i numeri che possono essere espressi come frazioni di interi.

Definizione: Q = {a/b | a, b ∈ Z, b ≠ 0}

Highlight: Tutte le frazioni sono numeri razionali, ma non tutti i numeri razionali sono frazioni nella loro forma più semplice.

Tipi di frazioni:

  • Frazioni proprie: numeratore < denominatore
  • Frazioni improprie: numeratore > denominatore
  • Frazioni apparenti: rappresentano numeri interi

Esempio: 3/4 è una frazione propria, 5/2 è una frazione impropria, 6/3 è una frazione apparente.

Operazioni con i numeri razionali:

  • Addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione eccettoper0eccetto per 0 sono sempre possibili e chiuse in Q.

Highlight: Il prodotto di due numeri razionali è sempre un numero razionale, e l'insieme Q è chiuso rispetto alla sottrazione.

Vocabulary: Frazioni equivalenti - frazioni che rappresentano lo stesso valore numerico.

La rappresentazione dei numeri razionali su una retta mostra che riempiono densamente la retta, ma lasciano ancora "buchi" inumeriirrazionalii numeri irrazionali.

numeri naturali
N
mumeri naturali N {0,1,2,3,. }
3 EN = 3 appartiene all'insieme IN
A CIN=A e contenuto in IN
A={XEN/X e pari?
B = {XENIX e

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Numeri Reali (R)

L'insieme dei numeri reali R include tutti i numeri razionali e irrazionali, completando la retta numerica senza lasciare "buchi".

Definizione: R comprende tutti i punti sulla retta numerica, inclusi numeri razionali e irrazionali.

La relazione tra gli insiemi numerici può essere espressa come:

N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R

Questa inclusione mostra come ogni insieme sia contenuto nel successivo, ampliando le possibilità di rappresentazione e calcolo.

Highlight: Sulla retta dei numeri reali non ci sono "buchi", a differenza delle rappresentazioni di N, Z e Q.

Example: √2 è un numero reale irrazionale che non può essere espresso come frazione.

La comprensione di questi insiemi numerici e delle loro proprietà è fondamentale per lo studio avanzato della matematica e per la risoluzione di problemi complessi in vari campi scientifici.

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Adoro questa applicazione [...] consiglio Knowunity a tutti!!! Sono passato da un 5 a una 8 con questa app

Stefano S, utente iOS

L'applicazione è molto semplice e ben progettata. Finora ho sempre trovato quello che stavo cercando

Susanna, utente iOS

Adoro questa app ❤️, la uso praticamente sempre quando studio.

 

Matematica

2737

30 ott 2022

4 pagine

Scopri gli Insiemi Congiunti e Disgiunti e Come Semplificare le Frazioni

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Laura Tramontano

@__.lalla.__

I numeri naturali e insiemi disgiunti, le proprietà dei numeri interi e operazioni, e la semplificazione delle frazioni equivalenti sono concetti fondamentali della matematica di base.

  • I numeri naturali (N) sono la base per comprendere insiemi e operazioni... Mostra di più

numeri naturali
N
mumeri naturali N {0,1,2,3,. }
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Numeri Interi (Z)

L'insieme dei numeri interi Z include i numeri naturali, lo zero e i numeri negativi. Questo amplia le possibilità di calcolo rispetto ai numeri naturali.

Definizione: Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}

La differenza tra numeri naturali e interi sta nell'inclusione dei numeri negativi in Z.

Proprietà delle operazioni in Z:

  • Addizione e moltiplicazione: sempre possibili e chiuse in Z
  • Sottrazione: sempre possibile in Z
  • Divisione: non sempre possibile in Z

Highlight: In Z, ogni numero ha un opposto additivo, cioè per ogni a ∈ Z, esiste -a tale che a + a-a = 0.

Elementi speciali in Z:

  • 0 rimane l'elemento neutro per l'addizione
  • 1 rimane l'elemento neutro per la moltiplicazione
  • Ogni numero ha un opposto elementoinversoperladdizioneelemento inverso per l'addizione

Esempio: 3 - 6 = -3, dimostrando che la sottrazione è sempre possibile in Z.

La rappresentazione sulla retta numerica di Z si estende infinitamente in entrambe le direzioni dallo zero.

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Numeri Razionali (Q)

I numeri razionali Q includono tutti i numeri che possono essere espressi come frazioni di interi.

Definizione: Q = {a/b | a, b ∈ Z, b ≠ 0}

Highlight: Tutte le frazioni sono numeri razionali, ma non tutti i numeri razionali sono frazioni nella loro forma più semplice.

Tipi di frazioni:

  • Frazioni proprie: numeratore < denominatore
  • Frazioni improprie: numeratore > denominatore
  • Frazioni apparenti: rappresentano numeri interi

Esempio: 3/4 è una frazione propria, 5/2 è una frazione impropria, 6/3 è una frazione apparente.

Operazioni con i numeri razionali:

  • Addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione eccettoper0eccetto per 0 sono sempre possibili e chiuse in Q.

Highlight: Il prodotto di due numeri razionali è sempre un numero razionale, e l'insieme Q è chiuso rispetto alla sottrazione.

Vocabulary: Frazioni equivalenti - frazioni che rappresentano lo stesso valore numerico.

La rappresentazione dei numeri razionali su una retta mostra che riempiono densamente la retta, ma lasciano ancora "buchi" inumeriirrazionalii numeri irrazionali.

numeri naturali
N
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Numeri Reali (R)

L'insieme dei numeri reali R include tutti i numeri razionali e irrazionali, completando la retta numerica senza lasciare "buchi".

Definizione: R comprende tutti i punti sulla retta numerica, inclusi numeri razionali e irrazionali.

La relazione tra gli insiemi numerici può essere espressa come:

N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R

Questa inclusione mostra come ogni insieme sia contenuto nel successivo, ampliando le possibilità di rappresentazione e calcolo.

Highlight: Sulla retta dei numeri reali non ci sono "buchi", a differenza delle rappresentazioni di N, Z e Q.

Example: √2 è un numero reale irrazionale che non può essere espresso come frazione.

La comprensione di questi insiemi numerici e delle loro proprietà è fondamentale per lo studio avanzato della matematica e per la risoluzione di problemi complessi in vari campi scientifici.

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Numeri Naturali (N)

I numeri naturali formano l'insieme N = {0, 1, 2, 3, ...}. Questo insieme è fondamentale in matematica e ha proprietà importanti per le operazioni aritmetiche.

Definizione: L'insieme N dei numeri naturali comprende lo zero e tutti i numeri interi positivi.

Le operazioni principali sui numeri naturali includono:

  • Addizione: sempre possibile e chiusa in N
  • Moltiplicazione: sempre possibile e chiusa in N
  • Sottrazione: non sempre possibile in N
  • Divisione: non sempre possibile in N

Highlight: Il prodotto di due numeri naturali è sempre un numero naturale, dimostrando che l'insieme dei numeri naturali è chiuso rispetto all'operazione di moltiplicazione.

Elementi speciali in N:

  • 0 è l'elemento neutro per l'addizione a+0=aa + 0 = a
  • 1 è l'elemento neutro per la moltiplicazione a1=aa · 1 = a

Esempio: Per ogni a ∈ N, a + 0 = 0 + a = a e a · 1 = a

La rappresentazione dei numeri naturali sulla retta numerica mostra una progressione infinita verso destra partendo dallo zero.

Vocabulary: Insiemi disgiunti - due insiemi che non hanno elementi in comune.

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Recensioni dei nostri utenti. Ci adorano - e anche tu, vedrai .

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4.8/5

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L'applicazione è molto facile da usare e ben progettata. Finora ho trovato tutto quello che cercavo e ho potuto imparare molto dalle presentazioni! Utilizzerò sicuramente l'app per i compiti in classe! È molto utile anche come fonte di ispirazione.

Stefano S

utente iOS

Questa applicazione è davvero grande! Ci sono tantissimi appunti e aiuti con lo studio [...]. La mia materia problematica, per esempio, è il francese e l'app ha così tante opzioni per aiutarmi. Grazie a questa app ho migliorato il mio francese. La consiglio a tutti.

Samantha Klich

utente Android

Wow, sono davvero stupita. Ho appena provato l'app perché l'ho vista pubblicizzata molte volte e sono rimasta assolutamente sbalordita. Questa app è L'AIUTO che cercate per la scuola e soprattutto offre tantissime cose, come allenamenti e schede, che a me personalmente sono state MOLTO utili.

Anna

utente iOS

È bellissima questa app, la adoro. È utilissima per lo studio e mi aiuta molto, anzi moltissimo, ma soprattutto mi aiutano molto i quiz, per memorizzare anche quello che non sapevo

Anastasia

utente Android

Fantastica per qualsiasi materia avere gli appunti anche di altre persone è molto utile perchè posso confrontarmi e vedere come migliorarmi. con i quiz riesco ad apprendere al meglio.

Francesca

utente Android

moooolto utile,gli appunti sono belli e funzionanti,schoolGPT da dei consigli formidabili!!

Marianna

utente Android

L'applicazione è semplicemente fantastica! Tutto ciò che devo fare è inserire l'argomento nella barra di ricerca e ottengo la risposta molto velocemente. Non devo guardare 10 video di YouTube per capire qualcosa, quindi risparmio tempo. Consigliatissima!

Sudenaz Ocak

utente Android

A scuola andavo malissimo in matematica, ma grazie a questa applicazione ora vado meglio. Vi sono molto grato per aver creato questa app.

Greenlight Bonnie

utente Android

Knowunity è un applicazione fantastica,considerando che ha degli schemi veramente molto carini e sfiziosi e che ci sono dei quiz,oltre al fatto che questa cosa dell intelligenza artificiale "school gpt" è almeno per me molto utile, perché a differenza di Chatgpt ti da le spiegazioni, ti spiega ciò che non è chiaro! Posso studiare più velocemente tramite gli schemi e che posso pubblicare io stessa gli schemi è una funzione utilissima per gli altri studenti. Knowunity è PERFETTA

Aurora

utente Android

L’app funziona benissimo e puoi trovare qualsiasi tipo di informazione. Non ho l’abbonamento ma la parte gratuita è sufficiente per uno studio approfondito.

Martina

utente iOS

in questi ultimi mesi di scuola dove il tempo è ormai poco, mi sta aiutando molto perché piuttosto che farmi io gli schemi su quello che leggo sul libro guardo questi già fatti e li uso come ripasso piuttosto che rileggermi tutto il libro

Chiara

utente IOS

Questa app è una delle migliori, nient’altro da dire.

Andrea

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Samantha Klich

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Wow, sono davvero stupita. Ho appena provato l'app perché l'ho vista pubblicizzata molte volte e sono rimasta assolutamente sbalordita. Questa app è L'AIUTO che cercate per la scuola e soprattutto offre tantissime cose, come allenamenti e schede, che a me personalmente sono state MOLTO utili.

Anna

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Anastasia

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Fantastica per qualsiasi materia avere gli appunti anche di altre persone è molto utile perchè posso confrontarmi e vedere come migliorarmi. con i quiz riesco ad apprendere al meglio.

Francesca

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moooolto utile,gli appunti sono belli e funzionanti,schoolGPT da dei consigli formidabili!!

Marianna

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L'applicazione è semplicemente fantastica! Tutto ciò che devo fare è inserire l'argomento nella barra di ricerca e ottengo la risposta molto velocemente. Non devo guardare 10 video di YouTube per capire qualcosa, quindi risparmio tempo. Consigliatissima!

Sudenaz Ocak

utente Android

A scuola andavo malissimo in matematica, ma grazie a questa applicazione ora vado meglio. Vi sono molto grato per aver creato questa app.

Greenlight Bonnie

utente Android

Knowunity è un applicazione fantastica,considerando che ha degli schemi veramente molto carini e sfiziosi e che ci sono dei quiz,oltre al fatto che questa cosa dell intelligenza artificiale "school gpt" è almeno per me molto utile, perché a differenza di Chatgpt ti da le spiegazioni, ti spiega ciò che non è chiaro! Posso studiare più velocemente tramite gli schemi e che posso pubblicare io stessa gli schemi è una funzione utilissima per gli altri studenti. Knowunity è PERFETTA

Aurora

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Martina

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in questi ultimi mesi di scuola dove il tempo è ormai poco, mi sta aiutando molto perché piuttosto che farmi io gli schemi su quello che leggo sul libro guardo questi già fatti e li uso come ripasso piuttosto che rileggermi tutto il libro

Chiara

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Questa app è una delle migliori, nient’altro da dire.

Andrea

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