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Mathematik

Mathematische Äquivalenz

äquivalente Gleichungen

13.600

•

6 lug 2025

•

4 pagine

Guida Facile: Equazioni Fratte e di Secondo Grado per La Terza Media

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Andrea Cardinale

@andrea_cardi06

Ecco il riassunto ottimizzato in italiano:

Le equazioni fratte spiegazione... Mostra di più

Che cos'è un'equazione ? Consideriamo i due polinomi: x² +3X-1 X-2 Esistono dei valori di "x" che rendono vera la seguente uguaglianza? X²+3

Soluzioni e classificazione delle equazioni

Le soluzioni di un'equazione sono tutti i valori che, sostituiti all'incognita, rendono vera l'uguaglianza. Risolvere un'equazione significa trovare l'insieme delle sue soluzioni.

In base alle soluzioni, le equazioni possono essere classificate come:

  1. Determinate: hanno un numero finito di soluzioni diversodazerodiverso da zero
  2. Impossibili: non hanno soluzioni l′insiemedellesoluzionieˋvuotol'insieme delle soluzioni è vuoto
  3. Indeterminate: hanno infinite soluzioni

Esempio: L'equazione 3x=12 è determinata con soluzione x=4. L'equazione x²=-2 è impossibile. L'equazione x+3=3+x è indeterminata.

Due equazioni si dicono equivalenti se hanno lo stesso insieme di soluzioni. I principi di equivalenza delle equazioni permettono di trasformare un'equazione in un'altra equivalente:

  1. Primo principio di equivalenza principiodiaddizioneprincipio di addizione: aggiungendo o sottraendo la stessa espressione a entrambi i membri, si ottiene un'equazione equivalente.
  2. Secondo principio di equivalenza principiodimoltiplicazioneprincipio di moltiplicazione: moltiplicando o dividendo entrambi i membri per una stessa espressione non nulla, si ottiene un'equazione equivalente.

Highlight: I principi di equivalenza delle equazioni sono fondamentali per la risoluzione delle equazioni di primo grado.

Che cos'è un'equazione ? Consideriamo i due polinomi: x² +3X-1 X-2 Esistono dei valori di "x" che rendono vera la seguente uguaglianza? X²+3

Conseguenze dei principi di equivalenza

I principi di equivalenza hanno importanti conseguenze pratiche per la risoluzione delle equazioni:

  1. Regola del trasporto: si può spostare un termine da un membro all'altro cambiandone il segno.
  2. Regola di cancellazione: termini uguali presenti in entrambi i membri possono essere eliminati.
  3. Regola di semplificazione: se entrambi i membri contengono lo stesso fattore non nullo, si possono dividere tutti i termini per quel fattore.
  4. Cambio di segno: si possono cambiare tutti i segni dell'equazione equivaleamoltiplicareentrambiimembriper−1equivale a moltiplicare entrambi i membri per -1.
  5. Trasformazione di equazioni a coefficienti frazionari in equazioni a coefficienti interi: moltiplicando entrambi i membri per il m.c.m. dei denominatori.

Esempio: L'equazione 2x+2=x+2+3 può essere semplificata in 2x=x+3 applicando la regola di cancellazione.

Highlight: Queste regole derivate dai principi di equivalenza delle equazioni semplificano notevolmente la risoluzione delle equazioni di primo grado.

Che cos'è un'equazione ? Consideriamo i due polinomi: x² +3X-1 X-2 Esistono dei valori di "x" che rendono vera la seguente uguaglianza? X²+3

Equazioni numeriche intere di primo grado

Le equazioni di primo grado possono essere ricondotte alla forma normale ax=b, dove a e b sono numeri reali e a≠0. In base ai valori di a e b, si possono presentare tre casi:

  1. Se a≠0, l'equazione è determinata e ha soluzione x=b/a.
  2. Se a=0 e b=0, l'equazione è indeterminata 0x=00x=0 ed è verificata per ogni valore di x.
  3. Se a=0 e b≠0, l'equazione è impossibile 0x=b0x=b e non ha soluzioni.

Esempio: L'equazione 3x=2 è determinata con soluzione x=2/3.

Highlight: La classificazione delle equazioni di primo grado in determinate, indeterminate e impossibili è fondamentale per comprendere i tipi di equazioni e le loro soluzioni.

La padronanza di questi concetti e delle tecniche di risoluzione è essenziale per affrontare problemi più complessi in algebra e in altre aree della matematica.

Che cos'è un'equazione ? Consideriamo i due polinomi: x² +3X-1 X-2 Esistono dei valori di "x" che rendono vera la seguente uguaglianza? X²+3

Introduzione alle equazioni

Un'equazione è un'uguaglianza tra due espressioni letterali, verificata per particolari valori attribuiti alle lettere che vi compaiono. Le equazioni possono essere classificate in base al grado, al numero di incognite e alla presenza di frazioni.

Definizione: Un'equazione è un'uguaglianza tra due espressioni letterali, verificata per particolari valori attribuiti alle lettere che in essa compaiono.

Le equazioni sono composte da due membri, separati dal segno di uguaglianza. Il primo membro è l'espressione a sinistra dell'uguale, mentre il secondo membro è quella a destra. Le variabili presenti nell'equazione sono chiamate incognite.

Esempio: Nell'equazione x²+3x-1=x-2, "x²+3x-1" è il primo membro, "x-2" è il secondo membro, e "x" è l'incognita.

Le equazioni possono essere classificate in vari modi:

  1. Per grado: equazioni di primo grado, secondo grado, terzo grado, ecc.
  2. Per tipo: equazioni intere incognitasoloalnumeratoreincognita solo al numeratore o fratte incognitaanchealdenominatoreincognita anche al denominatore
  3. Per coefficienti: equazioni numeriche solonumerioltreall′incognitasolo numeri oltre all'incognita o letterali anchelettereoltreall′incognitaanche lettere oltre all'incognita

Highlight: Le equazioni di primo grado sono quelle in cui l'incognita compare solo al primo grado, come in 2x-5=x-2.



Pensavamo che non l'avreste mai chiesto....

Che cos'è l'assistente AI di Knowunity?

Il nostro assistente AI è costruito specificamente per le esigenze degli studenti. Sulla base dei milioni di contenuti presenti sulla piattaforma, possiamo fornire agli studenti risposte davvero significative e pertinenti. Ma non si tratta solo di risposte, l'assistente è in grado di guidare gli studenti attraverso le loro sfide quotidiane di studio, con piani di studio personalizzati, quiz o contenuti nella chat e una personalizzazione al 100% basata sulle competenze e sugli sviluppi degli studenti.

Dove posso scaricare l'applicazione Knowunity?

È possibile scaricare l'applicazione dal Google Play Store e dall'Apple App Store.

Knowunity è davvero gratuita?

Sì, hai accesso completamente gratuito a tutti i contenuti nell'app e puoi chattare o seguire i Creatori in qualsiasi momento. Sbloccherai nuove funzioni crescendo il tuo numero di follower. Inoltre, offriamo Knowunity Premium, che consente di studiare senza alcun limite!!

Non c'è niente di adatto? Esplorare altre aree tematiche.

Recensioni dei nostri utenti. Ci adorano - e anche tu, vedrai .

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

L'applicazione è molto facile da usare e ben progettata. Finora ho trovato tutto quello che cercavo e ho potuto imparare molto dalle presentazioni! Utilizzerò sicuramente l'app per i compiti in classe! È molto utile anche come fonte di ispirazione.

Stefano S

utente iOS

Questa applicazione è davvero grande! Ci sono tantissimi appunti e aiuti con lo studio [...]. La mia materia problematica, per esempio, è il francese e l'app ha così tante opzioni per aiutarmi. Grazie a questa app ho migliorato il mio francese. La consiglio a tutti.

Samantha Klich

utente Android

Wow, sono davvero stupita. Ho appena provato l'app perché l'ho vista pubblicizzata molte volte e sono rimasta assolutamente sbalordita. Questa app è L'AIUTO che cercate per la scuola e soprattutto offre tantissime cose, come allenamenti e schede, che a me personalmente sono state MOLTO utili.

Anna

utente iOS

È bellissima questa app, la adoro. È utilissima per lo studio e mi aiuta molto, anzi moltissimo, ma soprattutto mi aiutano molto i quiz, per memorizzare anche quello che non sapevo

Anastasia

utente Android

Fantastica per qualsiasi materia avere gli appunti anche di altre persone è molto utile perchè posso confrontarmi e vedere come migliorarmi. con i quiz riesco ad apprendere al meglio.

Francesca

utente Android

moooolto utile,gli appunti sono belli e funzionanti,schoolGPT da dei consigli formidabili!!

Marianna

utente Android

L'applicazione è semplicemente fantastica! Tutto ciò che devo fare è inserire l'argomento nella barra di ricerca e ottengo la risposta molto velocemente. Non devo guardare 10 video di YouTube per capire qualcosa, quindi risparmio tempo. Consigliatissima!

Sudenaz Ocak

utente Android

A scuola andavo malissimo in matematica, ma grazie a questa applicazione ora vado meglio. Vi sono molto grato per aver creato questa app.

Greenlight Bonnie

utente Android

Knowunity è un applicazione fantastica,considerando che ha degli schemi veramente molto carini e sfiziosi e che ci sono dei quiz,oltre al fatto che questa cosa dell intelligenza artificiale "school gpt" è almeno per me molto utile, perché a differenza di Chatgpt ti da le spiegazioni, ti spiega ciò che non è chiaro! Posso studiare più velocemente tramite gli schemi e che posso pubblicare io stessa gli schemi è una funzione utilissima per gli altri studenti. Knowunity è PERFETTA

Aurora

utente Android

L’app funziona benissimo e puoi trovare qualsiasi tipo di informazione. Non ho l’abbonamento ma la parte gratuita è sufficiente per uno studio approfondito.

Martina

utente iOS

in questi ultimi mesi di scuola dove il tempo è ormai poco, mi sta aiutando molto perché piuttosto che farmi io gli schemi su quello che leggo sul libro guardo questi già fatti e li uso come ripasso piuttosto che rileggermi tutto il libro

Chiara

utente IOS

Questa app è una delle migliori, nient’altro da dire.

Andrea

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L'applicazione è molto facile da usare e ben progettata. Finora ho trovato tutto quello che cercavo e ho potuto imparare molto dalle presentazioni! Utilizzerò sicuramente l'app per i compiti in classe! È molto utile anche come fonte di ispirazione.

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Anastasia

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Francesca

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Marianna

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L'applicazione è semplicemente fantastica! Tutto ciò che devo fare è inserire l'argomento nella barra di ricerca e ottengo la risposta molto velocemente. Non devo guardare 10 video di YouTube per capire qualcosa, quindi risparmio tempo. Consigliatissima!

Sudenaz Ocak

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Greenlight Bonnie

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Soluzioni e classificazione delle equazioni

Le soluzioni di un'equazione sono tutti i valori che, sostituiti all'incognita, rendono vera l'uguaglianza. Risolvere un'equazione significa trovare l'insieme delle sue soluzioni.

In base alle soluzioni, le equazioni possono essere classificate come:

  1. Determinate: hanno un numero finito di soluzioni diversodazerodiverso da zero
  2. Impossibili: non hanno soluzioni l′insiemedellesoluzionieˋvuotol'insieme delle soluzioni è vuoto
  3. Indeterminate: hanno infinite soluzioni

Esempio: L'equazione 3x=12 è determinata con soluzione x=4. L'equazione x²=-2 è impossibile. L'equazione x+3=3+x è indeterminata.

Due equazioni si dicono equivalenti se hanno lo stesso insieme di soluzioni. I principi di equivalenza delle equazioni permettono di trasformare un'equazione in un'altra equivalente:

  1. Primo principio di equivalenza principiodiaddizioneprincipio di addizione: aggiungendo o sottraendo la stessa espressione a entrambi i membri, si ottiene un'equazione equivalente.
  2. Secondo principio di equivalenza principiodimoltiplicazioneprincipio di moltiplicazione: moltiplicando o dividendo entrambi i membri per una stessa espressione non nulla, si ottiene un'equazione equivalente.

Highlight: I principi di equivalenza delle equazioni sono fondamentali per la risoluzione delle equazioni di primo grado.

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Conseguenze dei principi di equivalenza

I principi di equivalenza hanno importanti conseguenze pratiche per la risoluzione delle equazioni:

  1. Regola del trasporto: si può spostare un termine da un membro all'altro cambiandone il segno.
  2. Regola di cancellazione: termini uguali presenti in entrambi i membri possono essere eliminati.
  3. Regola di semplificazione: se entrambi i membri contengono lo stesso fattore non nullo, si possono dividere tutti i termini per quel fattore.
  4. Cambio di segno: si possono cambiare tutti i segni dell'equazione equivaleamoltiplicareentrambiimembriper−1equivale a moltiplicare entrambi i membri per -1.
  5. Trasformazione di equazioni a coefficienti frazionari in equazioni a coefficienti interi: moltiplicando entrambi i membri per il m.c.m. dei denominatori.

Esempio: L'equazione 2x+2=x+2+3 può essere semplificata in 2x=x+3 applicando la regola di cancellazione.

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Equazioni numeriche intere di primo grado

Le equazioni di primo grado possono essere ricondotte alla forma normale ax=b, dove a e b sono numeri reali e a≠0. In base ai valori di a e b, si possono presentare tre casi:

  1. Se a≠0, l'equazione è determinata e ha soluzione x=b/a.
  2. Se a=0 e b=0, l'equazione è indeterminata 0x=00x=0 ed è verificata per ogni valore di x.
  3. Se a=0 e b≠0, l'equazione è impossibile 0x=b0x=b e non ha soluzioni.

Esempio: L'equazione 3x=2 è determinata con soluzione x=2/3.

Highlight: La classificazione delle equazioni di primo grado in determinate, indeterminate e impossibili è fondamentale per comprendere i tipi di equazioni e le loro soluzioni.

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Introduzione alle equazioni

Un'equazione è un'uguaglianza tra due espressioni letterali, verificata per particolari valori attribuiti alle lettere che vi compaiono. Le equazioni possono essere classificate in base al grado, al numero di incognite e alla presenza di frazioni.

Definizione: Un'equazione è un'uguaglianza tra due espressioni letterali, verificata per particolari valori attribuiti alle lettere che in essa compaiono.

Le equazioni sono composte da due membri, separati dal segno di uguaglianza. Il primo membro è l'espressione a sinistra dell'uguale, mentre il secondo membro è quella a destra. Le variabili presenti nell'equazione sono chiamate incognite.

Esempio: Nell'equazione x²+3x-1=x-2, "x²+3x-1" è il primo membro, "x-2" è il secondo membro, e "x" è l'incognita.

Le equazioni possono essere classificate in vari modi:

  1. Per grado: equazioni di primo grado, secondo grado, terzo grado, ecc.
  2. Per tipo: equazioni intere incognitasoloalnumeratoreincognita solo al numeratore o fratte incognitaanchealdenominatoreincognita anche al denominatore
  3. Per coefficienti: equazioni numeriche solonumerioltreall′incognitasolo numeri oltre all'incognita o letterali anchelettereoltreall′incognitaanche lettere oltre all'incognita

Highlight: Le equazioni di primo grado sono quelle in cui l'incognita compare solo al primo grado, come in 2x-5=x-2.

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Dove posso scaricare l'applicazione Knowunity?

È possibile scaricare l'applicazione dal Google Play Store e dall'Apple App Store.

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Stefano S

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