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3874

21 ott 2022

3 pagine

Equazione della Circonferenza: Centro, Raggio e Esempi

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giada_delvecchio

@giada_delvecchio

La circonferenzaè un luogo geometrico fondamentale nella geometria analitica.... Mostra di più

A
C
y'
b
O
Circonferenza
esempio con i numeri:
C (2; 1)r=3
CL
coordinate punti:
P(X;Y)
c (a; b)
D
F
a
P1
B
X
P
definizione → una circonferen

Casi Particolari e Rappresentazioni Grafiche

L'equazione generale della circonferenza x² + y² + ax + by + c = 0 può presentare casi particolari interessanti a seconda dei valori dei coefficienti a, b e c.

Highlight: La posizione del centro e il passaggio per l'origine degli assi dipendono dai valori di a, b e c nell'equazione generale.

Alcuni casi notevoli:

  1. Se a = 0: il centro si trova sull'asse y
  2. Se b = 0: il centro si trova sull'asse x
  3. Se c = 0: la circonferenza passa per l'origine degli assi

Formule:

  • Coordinate del centro: Ca/2,b/2-a/2, -b/2
  • Raggio: r = √(a2+b24c(a² + b² - 4c/4)

È importante notare che l'equazione rappresenta effettivamente una circonferenza solo se il raggio è un numero reale positivo. Questa condizione si traduce matematicamente in:

a2+b24ca² + b² - 4c/4 > 0

Vocabulary: Una circonferenza si dice "degenere" quando si riduce a un punto, cioè quando il raggio è nullo.

Le rappresentazioni grafiche della circonferenza possono variare significativamente in base ai valori dei coefficienti. Ad esempio:

  • Con a = 0 e c ≠ 0: la circonferenza ha centro sull'asse y ma non passa per l'origine
  • Con b = 0 e c ≠ 0: la circonferenza ha centro sull'asse x ma non passa per l'origine
  • Con a = 0 e c = 0: la circonferenza ha centro sull'asse y e passa per l'origine
  • Con b = 0 e c = 0: la circonferenza ha centro sull'asse x e passa per l'origine

Esempio: L'equazione x² + y² + by = 0 rappresenta una circonferenza con centro sull'asse y che passa per l'origine.

A
C
y'
b
O
Circonferenza
esempio con i numeri:
C (2; 1)r=3
CL
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P(X;Y)
c (a; b)
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Applicazioni e Strumenti per lo Studio della Circonferenza

Lo studio della circonferenza nel piano cartesiano ha numerose applicazioni pratiche e può essere facilitato dall'uso di strumenti digitali.

Highlight: La comprensione dell'equazione della circonferenza è fondamentale per risolvere problemi di geometria analitica e per applicazioni in fisica e ingegneria.

Per visualizzare e analizzare le circonferenze, esistono diversi strumenti utili:

  1. Grafico circonferenza online: Esistono numerosi siti web che permettono di inserire l'equazione di una circonferenza e visualizzarne immediatamente il grafico.
  2. Come disegnare una circonferenza su GeoGebra: GeoGebra è un software matematico gratuito che consente di disegnare circonferenze inserendo la loro equazione o specificando centro e raggio.
  3. Come disegnare una circonferenza data l'equazione: Una volta compresa la relazione tra i coefficienti dell'equazione e le caratteristiche della circonferenza centroeraggiocentro e raggio, è possibile disegnarla manualmente su un piano cartesiano.

Esempio: Per disegnare la circonferenza di equazione x² + y² + 2x - 4y - 5 = 0, si possono seguire questi passaggi:

  1. Riscrivere l'equazione in forma canonica
  2. Identificare le coordinate del centro
  3. Calcolare il raggio
  4. Tracciare la circonferenza sul piano cartesiano

È anche possibile studiare casi particolari come la semicirconferenza nel piano cartesiano o determinare l'equazione della circonferenza passante per tre punti.

Vocabulary: La circonferenza dal grafico all'equazione è il processo inverso, in cui si determina l'equazione di una circonferenza data la sua rappresentazione grafica.

Lo studio approfondito delle formule della circonferenza in geometria analitica permette di affrontare problemi più complessi e di comprendere meglio le relazioni tra algebra e geometria.

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La Circonferenza nel Piano Cartesiano

La circonferenza è un elemento geometrico fondamentale, definito come il luogo dei punti equidistanti da un punto fisso chiamato centro. Nel piano cartesiano, possiamo rappresentarla attraverso un'equazione.

Definizione: Una circonferenza di centro C e raggio r è l'insieme dei punti del piano che distano r dal centro C.

Gli elementi principali di una circonferenza sono:

  • Centro: il punto fisso da cui tutti i punti della circonferenza distano ugualmente
  • Raggio: la distanza costante tra il centro e un qualsiasi punto della circonferenza
  • Corda: un segmento che unisce due punti della circonferenza
  • Diametro: una corda che passa per il centro, avente lunghezza doppia rispetto al raggio

Esempio: Consideriamo una circonferenza con centro C2;12;1 e raggio r=3.

Per determinare l'equazione della circonferenza, utilizziamo la formula della distanza tra due punti. Un punto Px,yx,y appartiene alla circonferenza se e solo se la sua distanza dal centro è uguale al raggio:

xax-a² + yby-b² = r²

Dove a,ba,b sono le coordinate del centro.

Formula: L'equazione canonica della circonferenza è xax-a² + yby-b² = r²

Questa è la forma implicita dell'equazione. Sviluppando i quadrati di binomio, otteniamo la forma esplicita:

x² + y² - 2ax - 2by + a2+b2r2a² + b² - r² = 0

Esempio: Per la circonferenza con centro C2;12;1 e raggio r=3, l'equazione è: x2x-2² + y1y-1² = 3² Sviluppando: x² + y² - 4x - 2y - 4 = 0



Non c'è niente di adatto? Esplorare altre aree tematiche.

Recensioni dei nostri utenti. Ci adorano - e anche tu, vedrai .

4.9/5

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4.8/5

Google Play

L'applicazione è molto facile da usare e ben progettata. Finora ho trovato tutto quello che cercavo e ho potuto imparare molto dalle presentazioni! Utilizzerò sicuramente l'app per i compiti in classe! È molto utile anche come fonte di ispirazione.

Stefano S

utente iOS

Questa applicazione è davvero grande! Ci sono tantissimi appunti e aiuti con lo studio [...]. La mia materia problematica, per esempio, è il francese e l'app ha così tante opzioni per aiutarmi. Grazie a questa app ho migliorato il mio francese. La consiglio a tutti.

Samantha Klich

utente Android

Wow, sono davvero stupita. Ho appena provato l'app perché l'ho vista pubblicizzata molte volte e sono rimasta assolutamente sbalordita. Questa app è L'AIUTO che cercate per la scuola e soprattutto offre tantissime cose, come allenamenti e schede, che a me personalmente sono state MOLTO utili.

Anna

utente iOS

È bellissima questa app, la adoro. È utilissima per lo studio e mi aiuta molto, anzi moltissimo, ma soprattutto mi aiutano molto i quiz, per memorizzare anche quello che non sapevo

Anastasia

utente Android

Fantastica per qualsiasi materia avere gli appunti anche di altre persone è molto utile perchè posso confrontarmi e vedere come migliorarmi. con i quiz riesco ad apprendere al meglio.

Francesca

utente Android

moooolto utile,gli appunti sono belli e funzionanti,schoolGPT da dei consigli formidabili!!

Marianna

utente Android

L'applicazione è semplicemente fantastica! Tutto ciò che devo fare è inserire l'argomento nella barra di ricerca e ottengo la risposta molto velocemente. Non devo guardare 10 video di YouTube per capire qualcosa, quindi risparmio tempo. Consigliatissima!

Sudenaz Ocak

utente Android

A scuola andavo malissimo in matematica, ma grazie a questa applicazione ora vado meglio. Vi sono molto grato per aver creato questa app.

Greenlight Bonnie

utente Android

Knowunity è un applicazione fantastica,considerando che ha degli schemi veramente molto carini e sfiziosi e che ci sono dei quiz,oltre al fatto che questa cosa dell intelligenza artificiale "school gpt" è almeno per me molto utile, perché a differenza di Chatgpt ti da le spiegazioni, ti spiega ciò che non è chiaro! Posso studiare più velocemente tramite gli schemi e che posso pubblicare io stessa gli schemi è una funzione utilissima per gli altri studenti. Knowunity è PERFETTA

Aurora

utente Android

L’app funziona benissimo e puoi trovare qualsiasi tipo di informazione. Non ho l’abbonamento ma la parte gratuita è sufficiente per uno studio approfondito.

Martina

utente iOS

in questi ultimi mesi di scuola dove il tempo è ormai poco, mi sta aiutando molto perché piuttosto che farmi io gli schemi su quello che leggo sul libro guardo questi già fatti e li uso come ripasso piuttosto che rileggermi tutto il libro

Chiara

utente IOS

Questa app è una delle migliori, nient’altro da dire.

Andrea

utente iOS

L'applicazione è molto facile da usare e ben progettata. Finora ho trovato tutto quello che cercavo e ho potuto imparare molto dalle presentazioni! Utilizzerò sicuramente l'app per i compiti in classe! È molto utile anche come fonte di ispirazione.

Stefano S

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Questa applicazione è davvero grande! Ci sono tantissimi appunti e aiuti con lo studio [...]. La mia materia problematica, per esempio, è il francese e l'app ha così tante opzioni per aiutarmi. Grazie a questa app ho migliorato il mio francese. La consiglio a tutti.

Samantha Klich

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Wow, sono davvero stupita. Ho appena provato l'app perché l'ho vista pubblicizzata molte volte e sono rimasta assolutamente sbalordita. Questa app è L'AIUTO che cercate per la scuola e soprattutto offre tantissime cose, come allenamenti e schede, che a me personalmente sono state MOLTO utili.

Anna

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È bellissima questa app, la adoro. È utilissima per lo studio e mi aiuta molto, anzi moltissimo, ma soprattutto mi aiutano molto i quiz, per memorizzare anche quello che non sapevo

Anastasia

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Fantastica per qualsiasi materia avere gli appunti anche di altre persone è molto utile perchè posso confrontarmi e vedere come migliorarmi. con i quiz riesco ad apprendere al meglio.

Francesca

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moooolto utile,gli appunti sono belli e funzionanti,schoolGPT da dei consigli formidabili!!

Marianna

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L'applicazione è semplicemente fantastica! Tutto ciò che devo fare è inserire l'argomento nella barra di ricerca e ottengo la risposta molto velocemente. Non devo guardare 10 video di YouTube per capire qualcosa, quindi risparmio tempo. Consigliatissima!

Sudenaz Ocak

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A scuola andavo malissimo in matematica, ma grazie a questa applicazione ora vado meglio. Vi sono molto grato per aver creato questa app.

Greenlight Bonnie

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Knowunity è un applicazione fantastica,considerando che ha degli schemi veramente molto carini e sfiziosi e che ci sono dei quiz,oltre al fatto che questa cosa dell intelligenza artificiale "school gpt" è almeno per me molto utile, perché a differenza di Chatgpt ti da le spiegazioni, ti spiega ciò che non è chiaro! Posso studiare più velocemente tramite gli schemi e che posso pubblicare io stessa gli schemi è una funzione utilissima per gli altri studenti. Knowunity è PERFETTA

Aurora

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L’app funziona benissimo e puoi trovare qualsiasi tipo di informazione. Non ho l’abbonamento ma la parte gratuita è sufficiente per uno studio approfondito.

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Chiara

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Questa app è una delle migliori, nient’altro da dire.

Andrea

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giada_delvecchio

@giada_delvecchio

La circonferenza è un luogo geometrico fondamentale nella geometria analitica. Il suo studio coinvolge concetti come centro, raggio, corde e diametro. L'equazione canonica della circonferenza è essenziale per rappresentarla nel piano cartesiano.

• La circonferenza è definita come l'insieme... Mostra di più

A
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C (2; 1)r=3
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Casi Particolari e Rappresentazioni Grafiche

L'equazione generale della circonferenza x² + y² + ax + by + c = 0 può presentare casi particolari interessanti a seconda dei valori dei coefficienti a, b e c.

Highlight: La posizione del centro e il passaggio per l'origine degli assi dipendono dai valori di a, b e c nell'equazione generale.

Alcuni casi notevoli:

  1. Se a = 0: il centro si trova sull'asse y
  2. Se b = 0: il centro si trova sull'asse x
  3. Se c = 0: la circonferenza passa per l'origine degli assi

Formule:

  • Coordinate del centro: Ca/2,b/2-a/2, -b/2
  • Raggio: r = √(a2+b24c(a² + b² - 4c/4)

È importante notare che l'equazione rappresenta effettivamente una circonferenza solo se il raggio è un numero reale positivo. Questa condizione si traduce matematicamente in:

a2+b24ca² + b² - 4c/4 > 0

Vocabulary: Una circonferenza si dice "degenere" quando si riduce a un punto, cioè quando il raggio è nullo.

Le rappresentazioni grafiche della circonferenza possono variare significativamente in base ai valori dei coefficienti. Ad esempio:

  • Con a = 0 e c ≠ 0: la circonferenza ha centro sull'asse y ma non passa per l'origine
  • Con b = 0 e c ≠ 0: la circonferenza ha centro sull'asse x ma non passa per l'origine
  • Con a = 0 e c = 0: la circonferenza ha centro sull'asse y e passa per l'origine
  • Con b = 0 e c = 0: la circonferenza ha centro sull'asse x e passa per l'origine

Esempio: L'equazione x² + y² + by = 0 rappresenta una circonferenza con centro sull'asse y che passa per l'origine.

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Applicazioni e Strumenti per lo Studio della Circonferenza

Lo studio della circonferenza nel piano cartesiano ha numerose applicazioni pratiche e può essere facilitato dall'uso di strumenti digitali.

Highlight: La comprensione dell'equazione della circonferenza è fondamentale per risolvere problemi di geometria analitica e per applicazioni in fisica e ingegneria.

Per visualizzare e analizzare le circonferenze, esistono diversi strumenti utili:

  1. Grafico circonferenza online: Esistono numerosi siti web che permettono di inserire l'equazione di una circonferenza e visualizzarne immediatamente il grafico.
  2. Come disegnare una circonferenza su GeoGebra: GeoGebra è un software matematico gratuito che consente di disegnare circonferenze inserendo la loro equazione o specificando centro e raggio.
  3. Come disegnare una circonferenza data l'equazione: Una volta compresa la relazione tra i coefficienti dell'equazione e le caratteristiche della circonferenza centroeraggiocentro e raggio, è possibile disegnarla manualmente su un piano cartesiano.

Esempio: Per disegnare la circonferenza di equazione x² + y² + 2x - 4y - 5 = 0, si possono seguire questi passaggi:

  1. Riscrivere l'equazione in forma canonica
  2. Identificare le coordinate del centro
  3. Calcolare il raggio
  4. Tracciare la circonferenza sul piano cartesiano

È anche possibile studiare casi particolari come la semicirconferenza nel piano cartesiano o determinare l'equazione della circonferenza passante per tre punti.

Vocabulary: La circonferenza dal grafico all'equazione è il processo inverso, in cui si determina l'equazione di una circonferenza data la sua rappresentazione grafica.

Lo studio approfondito delle formule della circonferenza in geometria analitica permette di affrontare problemi più complessi e di comprendere meglio le relazioni tra algebra e geometria.

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La Circonferenza nel Piano Cartesiano

La circonferenza è un elemento geometrico fondamentale, definito come il luogo dei punti equidistanti da un punto fisso chiamato centro. Nel piano cartesiano, possiamo rappresentarla attraverso un'equazione.

Definizione: Una circonferenza di centro C e raggio r è l'insieme dei punti del piano che distano r dal centro C.

Gli elementi principali di una circonferenza sono:

  • Centro: il punto fisso da cui tutti i punti della circonferenza distano ugualmente
  • Raggio: la distanza costante tra il centro e un qualsiasi punto della circonferenza
  • Corda: un segmento che unisce due punti della circonferenza
  • Diametro: una corda che passa per il centro, avente lunghezza doppia rispetto al raggio

Esempio: Consideriamo una circonferenza con centro C2;12;1 e raggio r=3.

Per determinare l'equazione della circonferenza, utilizziamo la formula della distanza tra due punti. Un punto Px,yx,y appartiene alla circonferenza se e solo se la sua distanza dal centro è uguale al raggio:

xax-a² + yby-b² = r²

Dove a,ba,b sono le coordinate del centro.

Formula: L'equazione canonica della circonferenza è xax-a² + yby-b² = r²

Questa è la forma implicita dell'equazione. Sviluppando i quadrati di binomio, otteniamo la forma esplicita:

x² + y² - 2ax - 2by + a2+b2r2a² + b² - r² = 0

Esempio: Per la circonferenza con centro C2;12;1 e raggio r=3, l'equazione è: x2x-2² + y1y-1² = 3² Sviluppando: x² + y² - 4x - 2y - 4 = 0

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Questa applicazione è davvero grande! Ci sono tantissimi appunti e aiuti con lo studio [...]. La mia materia problematica, per esempio, è il francese e l'app ha così tante opzioni per aiutarmi. Grazie a questa app ho migliorato il mio francese. La consiglio a tutti.

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