La Circonferenza nel Piano Cartesiano
La circonferenza è un elemento geometrico fondamentale, definito come il luogo dei punti equidistanti da un punto fisso chiamato centro. Nel piano cartesiano, possiamo rappresentarla attraverso un'equazione.
Definizione: Una circonferenza di centro C e raggio r è l'insieme dei punti del piano che distano r dal centro C.
Gli elementi principali di una circonferenza sono:
- Centro: il punto fisso da cui tutti i punti della circonferenza distano ugualmente
- Raggio: la distanza costante tra il centro e un qualsiasi punto della circonferenza
- Corda: un segmento che unisce due punti della circonferenza
- Diametro: una corda che passa per il centro, avente lunghezza doppia rispetto al raggio
Esempio: Consideriamo una circonferenza con centro C2;1 e raggio r=3.
Per determinare l'equazione della circonferenza, utilizziamo la formula della distanza tra due punti. Un punto Px,y appartiene alla circonferenza se e solo se la sua distanza dal centro è uguale al raggio:
x−a² + y−b² = r²
Dove a,b sono le coordinate del centro.
Formula: L'equazione canonica della circonferenza è x−a² + y−b² = r²
Questa è la forma implicita dell'equazione. Sviluppando i quadrati di binomio, otteniamo la forma esplicita:
x² + y² - 2ax - 2by + a2+b2−r2 = 0
Esempio: Per la circonferenza con centro C2;1 e raggio r=3, l'equazione è:
x−2² + y−1² = 3²
Sviluppando: x² + y² - 4x - 2y - 4 = 0