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12.258

21 feb 2023

15 pagine

Scopri le Coordinate Cartesiane e la Distanza tra i Punti nel Piano Cartesiano

I

Irene

@irene_mapp

La geometria analitica nello spazio tridimensionale si basa su diversi... Mostra di più

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geometria s
analitica
COORDINATE CARTESIANE NELLO SPAZIO
Un punto e' dato da una terna ordinata di numeri che
rappresentano le coordinate

Coordinate Cartesiane nello Spazio e Geometria Analitica

Le coordinate cartesiane nello spazio rappresentano un'estensione tridimensionale del piano cartesiano, dove ogni punto è identificato da una terna ordinata di numeri x,y,zx, y, z. L'asse x rappresenta l'ascissa, l'asse y l'ordinata e l'asse z la quota. Questo sistema permette di localizzare con precisione qualsiasi punto nello spazio tridimensionale.

Definizione: Il sistema di coordinate cartesiane x y z è formato da tre rette perpendicolari tra loro che si intersecano in un punto chiamato origine O0,0,00,0,0. I piani coordinati sono: xy z=0z=0, xz y=0y=0 e yz x=0x=0.

La formula per trovare le coordinate di un punto nello spazio si basa sulla misurazione delle distanze dai piani coordinati. Per determinare la distanza tra due punti Axa,ya,zaxₐ,yₐ,zₐ e Bxβ,yβ,zβxᵦ,yᵦ,zᵦ, si utilizza la formula: d = √(xaxβ)2+(yayβ)2+(zazβ)2(xₐ-xᵦ)² + (yₐ-yᵦ)² + (zₐ-zᵦ)²

Esempio: Per trovare la distanza tra i punti A1,2,41,2,4 e B0,3,20,3,-2: d = √(10)2+(23)2+(4(2))2(1-0)² + (2-3)² + (4-(-2))² = √1+1+361 + 1 + 36 = √38

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COORDINATE CARTESIANE NELLO SPAZIO
Un punto e' dato da una terna ordinata di numeri che
rappresentano le coordinate

Piani nello Spazio e Vettori Normali

L'equazione generale di un piano nello spazio è ax + by + cz + d = 0, dove il vettore na,b,ca,b,c è il vettore normale al piano. La posizione reciproca di due piani può essere determinata analizzando i loro vettori normali.

Vocabolario: Il vettore normale è un vettore perpendicolare al piano. La sua direzione determina l'orientamento del piano nello spazio.

Per determinare l'equazione retta intersezione di due piani, è necessario risolvere il sistema delle equazioni dei due piani. La retta come intersezione di due piani può essere rappresentata in forma parametrica o cartesiana.

Evidenziazione: Per trovare l'equazione di un piano sono sufficienti:

  • Tre punti non allineati
  • Un punto e il vettore normale
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geometria s
analitica
COORDINATE CARTESIANE NELLO SPAZIO
Un punto e' dato da una terna ordinata di numeri che
rappresentano le coordinate

Intersezione di Piani e Applicazioni

L'intersezione tra tre piani genera un punto nello spazio quando i piani non sono paralleli né coincidenti. Per determinare il punto di intersezione, si risolve il sistema delle tre equazioni dei piani.

Definizione: La posizione reciproca di due piani può essere:

  • Piani paralleli vettorinormaliparallelivettori normali paralleli
  • Piani secanti vettorinormalinonparallelivettori normali non paralleli
  • Piani coincidenti stessaequazionestessa equazione

Per determinare l'intersezione dei tre piani di equazioni assegnate, si utilizza il metodo di sostituzione o il metodo di Cramer, verificando prima che il sistema ammetta soluzioni.

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COORDINATE CARTESIANE NELLO SPAZIO
Un punto e' dato da una terna ordinata di numeri che
rappresentano le coordinate

Vettori e Operazioni Fondamentali

I vettori nello spazio sono caratterizzati da direzione, verso e modulo. Le operazioni fondamentali includono somma, differenza, prodotto scalare e prodotto per uno scalare.

Vocabolario: Un versore è un vettore di modulo unitario che mantiene direzione e verso del vettore originale.

Il prodotto scalare tra due vettori v₁ e v₂ è definito come: v₁ • v₂ = |v₁| |v₂| cos α dove α è l'angolo tra i due vettori.

Evidenziazione: Due vettori sono:

  • Paralleli se uno è multiplo dell'altro
  • Perpendicolari se il loro prodotto scalare è zero
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COORDINATE CARTESIANE NELLO SPAZIO
Un punto e' dato da una terna ordinata di numeri che
rappresentano le coordinate

La Geometria Analitica nello Spazio: Piani e Posizioni Reciproche

La geometria analitica nello spazio si occupa dello studio delle coordinate cartesiane nello spazio e delle relazioni tra piani e rette. Due piani nello spazio possono assumere diverse posizioni reciproche, ciascuna con caratteristiche specifiche e condizioni matematiche precise.

Definizione: Due piani π₁: ax + by + cz + d = 0 e π₂: a'x + b'y + c'z + d' = 0 possono essere paralleli distinti, paralleli coincidenti o incidenti.

Nel caso di piani paralleli distinti, i vettori normali sono proporzionali ma i piani non hanno punti in comune. La condizione matematica si verifica quando: a/a' = b/b' = c/c' ≠ d/d'

Per i piani paralleli coincidenti, oltre alla proporzionalità dei vettori normali, deve valere anche: a/a' = b/b' = c/c' = d/d'

Esempio: Consideriamo i piani: π₁: 3x + y - z - 1 = 0 π₂: 6x + 2y - 2z + 2 = 0 Per verificare il parallelismo, controlliamo i rapporti tra i coefficienti: 3/6 = 1/2 = -1/-2

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Un punto e' dato da una terna ordinata di numeri che
rappresentano le coordinate

Intersezione tra Piani e Distanza Punto-Piano

L'intersezione di due piani nello spazio genera sempre una retta quando i piani sono incidenti. Questa è una delle configurazioni più importanti nella geometria analitica tridimensionale.

Highlight: Due piani incidenti possono essere anche perpendicolari. La condizione di perpendicolarità si verifica quando il prodotto scalare dei vettori normali è nullo: aa' + bb' + cc' = 0

La distanza punto-piano è una misura fondamentale che si calcola con la formula: dP,πP,π = |ax₀ + by₀ + cz₀ + d| / √a2+b2+c2a² + b² + c²

Formula: Per un punto Px0,y0,z0x₀,y₀,z₀ e un piano π: ax + by + cz + d = 0, la distanza è data dalla formula sopra indicata.

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COORDINATE CARTESIANE NELLO SPAZIO
Un punto e' dato da una terna ordinata di numeri che
rappresentano le coordinate

La Retta nello Spazio e le Sue Rappresentazioni

La retta nello spazio può essere rappresentata in diversi modi, ciascuno utile per specifiche applicazioni. Le principali rappresentazioni sono:

  1. Equazioni parametriche: x = x₀ + kt y = y₀ + mt z = z₀ + nt
  2. Equazioni cartesiane: xx0x-x₀/l = yy0y-y₀/m = zz0z-z₀/n

Vocabolario: Il vettore direttore della retta l,m,nl,m,n determina la direzione della retta nello spazio.

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Un punto e' dato da una terna ordinata di numeri che
rappresentano le coordinate

Posizione Reciproca di Due Rette nello Spazio

Due rette nello spazio possono essere complanari o sghembe. Nel caso di rette complanari, possono essere:

  • Parallele distinte
  • Parallele coincidenti
  • Incidenti

Definizione: Due rette si dicono sghembe quando non esiste alcun piano che le contenga entrambe.

Per determinare la posizione reciproca di due rette, si procede verificando:

  1. Il parallelismo dei vettori direttori
  2. L'esistenza di punti di intersezione
  3. La perpendicolarità nel caso di rette incidenti

La condizione di perpendicolarità si verifica quando il prodotto scalare dei vettori direttori è nullo.

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Un punto e' dato da una terna ordinata di numeri che
rappresentano le coordinate

Posizione Reciproca delle Rette nello Spazio: Analisi e Classificazione

Le rette nello spazio tridimensionale possono assumere diverse posizioni reciproche, ciascuna con caratteristiche geometriche specifiche. La comprensione di queste relazioni è fondamentale nella Geometria analitica e nell'analisi delle Coordinate cartesiane nello spazio.

Una classificazione completa delle posizioni reciproche delle rette prevede tre casi principali: rette complanari chegiaccionosullostessopianoche giacciono sullo stesso piano, rette parallele chemantengonosemprelastessadistanzache mantengono sempre la stessa distanza e rette sghembe chenonsononeˊparalleleneˊsiintersecanoche non sono né parallele né si intersecano. Nel caso delle rette complanari, possiamo ulteriormente distinguere tra rette parallele distinte, parallele coincidenti e rette incidenti in un punto.

Definizione: Le rette sghembe sono rette che non giacciono sullo stesso piano e quindi non hanno punti di intersezione né sono parallele tra loro.

Per determinare la posizione reciproca di due rette, è necessario seguire un procedimento sistematico che prevede la verifica del parallelismo attraverso i vettori direttori e, in caso negativo, la ricerca di eventuali punti di intersezione mediante sistemi di equazioni. La Formula per trovare le coordinate di un punto di intersezione, quando esiste, si ottiene uguagliando le equazioni parametriche delle due rette.

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COORDINATE CARTESIANE NELLO SPAZIO
Un punto e' dato da una terna ordinata di numeri che
rappresentano le coordinate

Analisi delle Rette nello Spazio: Metodi e Applicazioni

L'analisi della posizione reciproca delle rette richiede una comprensione approfondita delle Coordinate cartesiane x y z e delle loro relazioni. Per verificare se due rette sono parallele, si confrontano i loro vettori direttori: se sono proporzionali, le rette sono parallele.

Esempio: Data la retta r₁: {x = t, y = 1-5t, z = 6+t} e la retta r₂: {x = t-1, y = 6-6t, z = 5-5t}, per determinare la loro posizione reciproca si procede verificando prima il parallelismo attraverso i vettori direttori v₁1,5,11,-5,1 e v₂1,6,51,-6,-5.

La perpendicolarità tra due rette può essere verificata attraverso il prodotto scalare dei loro vettori direttori. Se il prodotto scalare è zero, le rette sono perpendicolari. Questo concetto è particolarmente importante nella Distanza tra due punti: formula e nella determinazione della Distanza punto retta.

Nel caso di rette sghembe, è fondamentale comprendere che, nonostante non siano parallele, non esiste alcun punto di intersezione tra loro. Questa situazione è possibile solo nello spazio tridimensionale e rappresenta una delle differenze fondamentali rispetto alla geometria del piano.



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L'applicazione è molto facile da usare e ben progettata. Finora ho trovato tutto quello che cercavo e ho potuto imparare molto dalle presentazioni! Utilizzerò sicuramente l'app per i compiti in classe! È molto utile anche come fonte di ispirazione.

Stefano S

utente iOS

Questa applicazione è davvero grande! Ci sono tantissimi appunti e aiuti con lo studio [...]. La mia materia problematica, per esempio, è il francese e l'app ha così tante opzioni per aiutarmi. Grazie a questa app ho migliorato il mio francese. La consiglio a tutti.

Samantha Klich

utente Android

Wow, sono davvero stupita. Ho appena provato l'app perché l'ho vista pubblicizzata molte volte e sono rimasta assolutamente sbalordita. Questa app è L'AIUTO che cercate per la scuola e soprattutto offre tantissime cose, come allenamenti e schede, che a me personalmente sono state MOLTO utili.

Anna

utente iOS

È bellissima questa app, la adoro. È utilissima per lo studio e mi aiuta molto, anzi moltissimo, ma soprattutto mi aiutano molto i quiz, per memorizzare anche quello che non sapevo

Anastasia

utente Android

Fantastica per qualsiasi materia avere gli appunti anche di altre persone è molto utile perchè posso confrontarmi e vedere come migliorarmi. con i quiz riesco ad apprendere al meglio.

Francesca

utente Android

moooolto utile,gli appunti sono belli e funzionanti,schoolGPT da dei consigli formidabili!!

Marianna

utente Android

L'applicazione è semplicemente fantastica! Tutto ciò che devo fare è inserire l'argomento nella barra di ricerca e ottengo la risposta molto velocemente. Non devo guardare 10 video di YouTube per capire qualcosa, quindi risparmio tempo. Consigliatissima!

Sudenaz Ocak

utente Android

A scuola andavo malissimo in matematica, ma grazie a questa applicazione ora vado meglio. Vi sono molto grato per aver creato questa app.

Greenlight Bonnie

utente Android

Knowunity è un applicazione fantastica,considerando che ha degli schemi veramente molto carini e sfiziosi e che ci sono dei quiz,oltre al fatto che questa cosa dell intelligenza artificiale "school gpt" è almeno per me molto utile, perché a differenza di Chatgpt ti da le spiegazioni, ti spiega ciò che non è chiaro! Posso studiare più velocemente tramite gli schemi e che posso pubblicare io stessa gli schemi è una funzione utilissima per gli altri studenti. Knowunity è PERFETTA

Aurora

utente Android

L’app funziona benissimo e puoi trovare qualsiasi tipo di informazione. Non ho l’abbonamento ma la parte gratuita è sufficiente per uno studio approfondito.

Martina

utente iOS

in questi ultimi mesi di scuola dove il tempo è ormai poco, mi sta aiutando molto perché piuttosto che farmi io gli schemi su quello che leggo sul libro guardo questi già fatti e li uso come ripasso piuttosto che rileggermi tutto il libro

Chiara

utente IOS

Questa app è una delle migliori, nient’altro da dire.

Andrea

utente iOS

L'applicazione è molto facile da usare e ben progettata. Finora ho trovato tutto quello che cercavo e ho potuto imparare molto dalle presentazioni! Utilizzerò sicuramente l'app per i compiti in classe! È molto utile anche come fonte di ispirazione.

Stefano S

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Questa applicazione è davvero grande! Ci sono tantissimi appunti e aiuti con lo studio [...]. La mia materia problematica, per esempio, è il francese e l'app ha così tante opzioni per aiutarmi. Grazie a questa app ho migliorato il mio francese. La consiglio a tutti.

Samantha Klich

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Wow, sono davvero stupita. Ho appena provato l'app perché l'ho vista pubblicizzata molte volte e sono rimasta assolutamente sbalordita. Questa app è L'AIUTO che cercate per la scuola e soprattutto offre tantissime cose, come allenamenti e schede, che a me personalmente sono state MOLTO utili.

Anna

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È bellissima questa app, la adoro. È utilissima per lo studio e mi aiuta molto, anzi moltissimo, ma soprattutto mi aiutano molto i quiz, per memorizzare anche quello che non sapevo

Anastasia

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Fantastica per qualsiasi materia avere gli appunti anche di altre persone è molto utile perchè posso confrontarmi e vedere come migliorarmi. con i quiz riesco ad apprendere al meglio.

Francesca

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moooolto utile,gli appunti sono belli e funzionanti,schoolGPT da dei consigli formidabili!!

Marianna

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L'applicazione è semplicemente fantastica! Tutto ciò che devo fare è inserire l'argomento nella barra di ricerca e ottengo la risposta molto velocemente. Non devo guardare 10 video di YouTube per capire qualcosa, quindi risparmio tempo. Consigliatissima!

Sudenaz Ocak

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A scuola andavo malissimo in matematica, ma grazie a questa applicazione ora vado meglio. Vi sono molto grato per aver creato questa app.

Greenlight Bonnie

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Knowunity è un applicazione fantastica,considerando che ha degli schemi veramente molto carini e sfiziosi e che ci sono dei quiz,oltre al fatto che questa cosa dell intelligenza artificiale "school gpt" è almeno per me molto utile, perché a differenza di Chatgpt ti da le spiegazioni, ti spiega ciò che non è chiaro! Posso studiare più velocemente tramite gli schemi e che posso pubblicare io stessa gli schemi è una funzione utilissima per gli altri studenti. Knowunity è PERFETTA

Aurora

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L’app funziona benissimo e puoi trovare qualsiasi tipo di informazione. Non ho l’abbonamento ma la parte gratuita è sufficiente per uno studio approfondito.

Martina

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in questi ultimi mesi di scuola dove il tempo è ormai poco, mi sta aiutando molto perché piuttosto che farmi io gli schemi su quello che leggo sul libro guardo questi già fatti e li uso come ripasso piuttosto che rileggermi tutto il libro

Chiara

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Questa app è una delle migliori, nient’altro da dire.

Andrea

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Matematica

12.258

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La geometria analitica nello spazio tridimensionale si basa su diversi sistemi di coordinate fondamentali per rappresentare e analizzare punti e figure geometriche.

Le coordinate cartesiane x y z costituiscono il sistema più utilizzato nelle Coordinate cartesiane nello spazio, dove... Mostra di più

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Coordinate Cartesiane nello Spazio e Geometria Analitica

Le coordinate cartesiane nello spazio rappresentano un'estensione tridimensionale del piano cartesiano, dove ogni punto è identificato da una terna ordinata di numeri x,y,zx, y, z. L'asse x rappresenta l'ascissa, l'asse y l'ordinata e l'asse z la quota. Questo sistema permette di localizzare con precisione qualsiasi punto nello spazio tridimensionale.

Definizione: Il sistema di coordinate cartesiane x y z è formato da tre rette perpendicolari tra loro che si intersecano in un punto chiamato origine O0,0,00,0,0. I piani coordinati sono: xy z=0z=0, xz y=0y=0 e yz x=0x=0.

La formula per trovare le coordinate di un punto nello spazio si basa sulla misurazione delle distanze dai piani coordinati. Per determinare la distanza tra due punti Axa,ya,zaxₐ,yₐ,zₐ e Bxβ,yβ,zβxᵦ,yᵦ,zᵦ, si utilizza la formula: d = √(xaxβ)2+(yayβ)2+(zazβ)2(xₐ-xᵦ)² + (yₐ-yᵦ)² + (zₐ-zᵦ)²

Esempio: Per trovare la distanza tra i punti A1,2,41,2,4 e B0,3,20,3,-2: d = √(10)2+(23)2+(4(2))2(1-0)² + (2-3)² + (4-(-2))² = √1+1+361 + 1 + 36 = √38

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Piani nello Spazio e Vettori Normali

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Vocabolario: Il vettore normale è un vettore perpendicolare al piano. La sua direzione determina l'orientamento del piano nello spazio.

Per determinare l'equazione retta intersezione di due piani, è necessario risolvere il sistema delle equazioni dei due piani. La retta come intersezione di due piani può essere rappresentata in forma parametrica o cartesiana.

Evidenziazione: Per trovare l'equazione di un piano sono sufficienti:

  • Tre punti non allineati
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Definizione: La posizione reciproca di due piani può essere:

  • Piani paralleli vettorinormaliparallelivettori normali paralleli
  • Piani secanti vettorinormalinonparallelivettori normali non paralleli
  • Piani coincidenti stessaequazionestessa equazione

Per determinare l'intersezione dei tre piani di equazioni assegnate, si utilizza il metodo di sostituzione o il metodo di Cramer, verificando prima che il sistema ammetta soluzioni.

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Vettori e Operazioni Fondamentali

I vettori nello spazio sono caratterizzati da direzione, verso e modulo. Le operazioni fondamentali includono somma, differenza, prodotto scalare e prodotto per uno scalare.

Vocabolario: Un versore è un vettore di modulo unitario che mantiene direzione e verso del vettore originale.

Il prodotto scalare tra due vettori v₁ e v₂ è definito come: v₁ • v₂ = |v₁| |v₂| cos α dove α è l'angolo tra i due vettori.

Evidenziazione: Due vettori sono:

  • Paralleli se uno è multiplo dell'altro
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La Geometria Analitica nello Spazio: Piani e Posizioni Reciproche

La geometria analitica nello spazio si occupa dello studio delle coordinate cartesiane nello spazio e delle relazioni tra piani e rette. Due piani nello spazio possono assumere diverse posizioni reciproche, ciascuna con caratteristiche specifiche e condizioni matematiche precise.

Definizione: Due piani π₁: ax + by + cz + d = 0 e π₂: a'x + b'y + c'z + d' = 0 possono essere paralleli distinti, paralleli coincidenti o incidenti.

Nel caso di piani paralleli distinti, i vettori normali sono proporzionali ma i piani non hanno punti in comune. La condizione matematica si verifica quando: a/a' = b/b' = c/c' ≠ d/d'

Per i piani paralleli coincidenti, oltre alla proporzionalità dei vettori normali, deve valere anche: a/a' = b/b' = c/c' = d/d'

Esempio: Consideriamo i piani: π₁: 3x + y - z - 1 = 0 π₂: 6x + 2y - 2z + 2 = 0 Per verificare il parallelismo, controlliamo i rapporti tra i coefficienti: 3/6 = 1/2 = -1/-2

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Intersezione tra Piani e Distanza Punto-Piano

L'intersezione di due piani nello spazio genera sempre una retta quando i piani sono incidenti. Questa è una delle configurazioni più importanti nella geometria analitica tridimensionale.

Highlight: Due piani incidenti possono essere anche perpendicolari. La condizione di perpendicolarità si verifica quando il prodotto scalare dei vettori normali è nullo: aa' + bb' + cc' = 0

La distanza punto-piano è una misura fondamentale che si calcola con la formula: dP,πP,π = |ax₀ + by₀ + cz₀ + d| / √a2+b2+c2a² + b² + c²

Formula: Per un punto Px0,y0,z0x₀,y₀,z₀ e un piano π: ax + by + cz + d = 0, la distanza è data dalla formula sopra indicata.

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La Retta nello Spazio e le Sue Rappresentazioni

La retta nello spazio può essere rappresentata in diversi modi, ciascuno utile per specifiche applicazioni. Le principali rappresentazioni sono:

  1. Equazioni parametriche: x = x₀ + kt y = y₀ + mt z = z₀ + nt
  2. Equazioni cartesiane: xx0x-x₀/l = yy0y-y₀/m = zz0z-z₀/n

Vocabolario: Il vettore direttore della retta l,m,nl,m,n determina la direzione della retta nello spazio.

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Posizione Reciproca di Due Rette nello Spazio

Due rette nello spazio possono essere complanari o sghembe. Nel caso di rette complanari, possono essere:

  • Parallele distinte
  • Parallele coincidenti
  • Incidenti

Definizione: Due rette si dicono sghembe quando non esiste alcun piano che le contenga entrambe.

Per determinare la posizione reciproca di due rette, si procede verificando:

  1. Il parallelismo dei vettori direttori
  2. L'esistenza di punti di intersezione
  3. La perpendicolarità nel caso di rette incidenti

La condizione di perpendicolarità si verifica quando il prodotto scalare dei vettori direttori è nullo.

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Posizione Reciproca delle Rette nello Spazio: Analisi e Classificazione

Le rette nello spazio tridimensionale possono assumere diverse posizioni reciproche, ciascuna con caratteristiche geometriche specifiche. La comprensione di queste relazioni è fondamentale nella Geometria analitica e nell'analisi delle Coordinate cartesiane nello spazio.

Una classificazione completa delle posizioni reciproche delle rette prevede tre casi principali: rette complanari chegiaccionosullostessopianoche giacciono sullo stesso piano, rette parallele chemantengonosemprelastessadistanzache mantengono sempre la stessa distanza e rette sghembe chenonsononeˊparalleleneˊsiintersecanoche non sono né parallele né si intersecano. Nel caso delle rette complanari, possiamo ulteriormente distinguere tra rette parallele distinte, parallele coincidenti e rette incidenti in un punto.

Definizione: Le rette sghembe sono rette che non giacciono sullo stesso piano e quindi non hanno punti di intersezione né sono parallele tra loro.

Per determinare la posizione reciproca di due rette, è necessario seguire un procedimento sistematico che prevede la verifica del parallelismo attraverso i vettori direttori e, in caso negativo, la ricerca di eventuali punti di intersezione mediante sistemi di equazioni. La Formula per trovare le coordinate di un punto di intersezione, quando esiste, si ottiene uguagliando le equazioni parametriche delle due rette.

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Analisi delle Rette nello Spazio: Metodi e Applicazioni

L'analisi della posizione reciproca delle rette richiede una comprensione approfondita delle Coordinate cartesiane x y z e delle loro relazioni. Per verificare se due rette sono parallele, si confrontano i loro vettori direttori: se sono proporzionali, le rette sono parallele.

Esempio: Data la retta r₁: {x = t, y = 1-5t, z = 6+t} e la retta r₂: {x = t-1, y = 6-6t, z = 5-5t}, per determinare la loro posizione reciproca si procede verificando prima il parallelismo attraverso i vettori direttori v₁1,5,11,-5,1 e v₂1,6,51,-6,-5.

La perpendicolarità tra due rette può essere verificata attraverso il prodotto scalare dei loro vettori direttori. Se il prodotto scalare è zero, le rette sono perpendicolari. Questo concetto è particolarmente importante nella Distanza tra due punti: formula e nella determinazione della Distanza punto retta.

Nel caso di rette sghembe, è fondamentale comprendere che, nonostante non siano parallele, non esiste alcun punto di intersezione tra loro. Questa situazione è possibile solo nello spazio tridimensionale e rappresenta una delle differenze fondamentali rispetto alla geometria del piano.

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Samantha Klich

utente Android

Wow, sono davvero stupita. Ho appena provato l'app perché l'ho vista pubblicizzata molte volte e sono rimasta assolutamente sbalordita. Questa app è L'AIUTO che cercate per la scuola e soprattutto offre tantissime cose, come allenamenti e schede, che a me personalmente sono state MOLTO utili.

Anna

utente iOS

È bellissima questa app, la adoro. È utilissima per lo studio e mi aiuta molto, anzi moltissimo, ma soprattutto mi aiutano molto i quiz, per memorizzare anche quello che non sapevo

Anastasia

utente Android

Fantastica per qualsiasi materia avere gli appunti anche di altre persone è molto utile perchè posso confrontarmi e vedere come migliorarmi. con i quiz riesco ad apprendere al meglio.

Francesca

utente Android

moooolto utile,gli appunti sono belli e funzionanti,schoolGPT da dei consigli formidabili!!

Marianna

utente Android

L'applicazione è semplicemente fantastica! Tutto ciò che devo fare è inserire l'argomento nella barra di ricerca e ottengo la risposta molto velocemente. Non devo guardare 10 video di YouTube per capire qualcosa, quindi risparmio tempo. Consigliatissima!

Sudenaz Ocak

utente Android

A scuola andavo malissimo in matematica, ma grazie a questa applicazione ora vado meglio. Vi sono molto grato per aver creato questa app.

Greenlight Bonnie

utente Android

Knowunity è un applicazione fantastica,considerando che ha degli schemi veramente molto carini e sfiziosi e che ci sono dei quiz,oltre al fatto che questa cosa dell intelligenza artificiale "school gpt" è almeno per me molto utile, perché a differenza di Chatgpt ti da le spiegazioni, ti spiega ciò che non è chiaro! Posso studiare più velocemente tramite gli schemi e che posso pubblicare io stessa gli schemi è una funzione utilissima per gli altri studenti. Knowunity è PERFETTA

Aurora

utente Android

L’app funziona benissimo e puoi trovare qualsiasi tipo di informazione. Non ho l’abbonamento ma la parte gratuita è sufficiente per uno studio approfondito.

Martina

utente iOS

in questi ultimi mesi di scuola dove il tempo è ormai poco, mi sta aiutando molto perché piuttosto che farmi io gli schemi su quello che leggo sul libro guardo questi già fatti e li uso come ripasso piuttosto che rileggermi tutto il libro

Chiara

utente IOS

Questa app è una delle migliori, nient’altro da dire.

Andrea

utente iOS

L'applicazione è molto facile da usare e ben progettata. Finora ho trovato tutto quello che cercavo e ho potuto imparare molto dalle presentazioni! Utilizzerò sicuramente l'app per i compiti in classe! È molto utile anche come fonte di ispirazione.

Stefano S

utente iOS

Questa applicazione è davvero grande! Ci sono tantissimi appunti e aiuti con lo studio [...]. La mia materia problematica, per esempio, è il francese e l'app ha così tante opzioni per aiutarmi. Grazie a questa app ho migliorato il mio francese. La consiglio a tutti.

Samantha Klich

utente Android

Wow, sono davvero stupita. Ho appena provato l'app perché l'ho vista pubblicizzata molte volte e sono rimasta assolutamente sbalordita. Questa app è L'AIUTO che cercate per la scuola e soprattutto offre tantissime cose, come allenamenti e schede, che a me personalmente sono state MOLTO utili.

Anna

utente iOS

È bellissima questa app, la adoro. È utilissima per lo studio e mi aiuta molto, anzi moltissimo, ma soprattutto mi aiutano molto i quiz, per memorizzare anche quello che non sapevo

Anastasia

utente Android

Fantastica per qualsiasi materia avere gli appunti anche di altre persone è molto utile perchè posso confrontarmi e vedere come migliorarmi. con i quiz riesco ad apprendere al meglio.

Francesca

utente Android

moooolto utile,gli appunti sono belli e funzionanti,schoolGPT da dei consigli formidabili!!

Marianna

utente Android

L'applicazione è semplicemente fantastica! Tutto ciò che devo fare è inserire l'argomento nella barra di ricerca e ottengo la risposta molto velocemente. Non devo guardare 10 video di YouTube per capire qualcosa, quindi risparmio tempo. Consigliatissima!

Sudenaz Ocak

utente Android

A scuola andavo malissimo in matematica, ma grazie a questa applicazione ora vado meglio. Vi sono molto grato per aver creato questa app.

Greenlight Bonnie

utente Android

Knowunity è un applicazione fantastica,considerando che ha degli schemi veramente molto carini e sfiziosi e che ci sono dei quiz,oltre al fatto che questa cosa dell intelligenza artificiale "school gpt" è almeno per me molto utile, perché a differenza di Chatgpt ti da le spiegazioni, ti spiega ciò che non è chiaro! Posso studiare più velocemente tramite gli schemi e che posso pubblicare io stessa gli schemi è una funzione utilissima per gli altri studenti. Knowunity è PERFETTA

Aurora

utente Android

L’app funziona benissimo e puoi trovare qualsiasi tipo di informazione. Non ho l’abbonamento ma la parte gratuita è sufficiente per uno studio approfondito.

Martina

utente iOS

in questi ultimi mesi di scuola dove il tempo è ormai poco, mi sta aiutando molto perché piuttosto che farmi io gli schemi su quello che leggo sul libro guardo questi già fatti e li uso come ripasso piuttosto che rileggermi tutto il libro

Chiara

utente IOS

Questa app è una delle migliori, nient’altro da dire.

Andrea

utente iOS