Matematica

Proprietà degli Esponenti e dei Logaritmi

Proprietà dei Logaritmi

8864

•

6 feb 2026

•

5 pagine

Proprietà e Applicazioni delle Funzioni Esponenziali e Logaritmiche

Beck

@rebeccamarinelli

Le funzioni esponenziali e logaritmiche sono tra gli strumenti matematici... Mostra di più

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$# FUNZIONE ESPONENZIALE Si chiama funzione esponenziale ogni funzione del tipo: $y. a^x$, con $a \in R$ Eaiate una funzione esponenziale p$

Funzione Esponenziale

Immagina di piegare un foglio a metà, poi ancora a metà, e così via: il numero di strati cresce secondo una funzione esponenziale del tipo $y = a^x$ . Questa è una delle funzioni più importanti della matematica!

La funzione esponenziale ha sempre la forma $y = a^x$ dove $a$ è un numero positivo diverso da 1. Se $a = 1$ , ottieni solo una retta orizzontale che passa per il punto $(0,1)$ - piuttosto noiosa, no?

Le proprietà fondamentali sono semplici da ricordare: il dominio è tutto l'insieme dei numeri reali, mentre l'immagine comprende solo i numeri positivi. Il grafico attraversa sempre l'asse y nel punto $(0,1)$ e non tocca mai l'asse x.

💡 Ricorda: Se $a > 1$ la funzione cresce, se $0 < a < 1 $decresce. La base speciale$ e = 2,718...$ (numero di Nepero) è particolarmente importante per le applicazioni scientifiche!

$# FUNZIONE ESPONENZIALE Si chiama funzione esponenziale ogni funzione del tipo: $y. a^x$, con $a \in R$ Eaiate una funzione esponenziale p$

Logaritmi: L'Operazione Inversa

Ti sei mai chiesto "a quale potenza devo elevare 2 per ottenere 8"? Ecco, stai pensando come un logaritmo! Il logaritmo $\log_a b$ è proprio l'esponente che devi dare ad $a$ per ottenere $b$ .

La definizione è elegante: $\log_a b = x$ significa esattamente che $a^x = b$ . Quindi se $2^3 = 8 $, allora$ \log_2 8 = 3$. Semplice, vero?

Le proprietà dei logaritmi ti faciliteranno tantissimo i calcoli. Il logaritmo di un prodotto diventa una somma: $\log_a(b \cdot c) = \log_a b + \log_a c$ . Il logaritmo di un quoziente diventa una sottrazione, e il logaritmo di una potenza diventa una moltiplicazione.

💡 Trucco: La formula del cambiamento di base $\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$ ti permette di calcolare qualsiasi logaritmo usando solo quelli in base 10 o $e$ della tua calcolatrice!

$# FUNZIONE ESPONENZIALE Si chiama funzione esponenziale ogni funzione del tipo: $y. a^x$, con $a \in R$ Eaiate una funzione esponenziale p$

Funzione Logaritmica e i Suoi Grafici

La funzione logaritmica $y = \log_a x$ è esattamente l'inversa della funzione esponenziale. Questo significa che i loro grafici sono simmetrici rispetto alla retta $y = x$ - una proprietà geometrica davvero elegante!

Il dominio della funzione logaritmica comprende solo i numeri positivi (non puoi calcolare il logaritmo di un numero negativo!), mentre l'immagine include tutti i numeri reali. Il grafico passa sempre per il punto $(1,0)$ perché $\log_a 1 = 0$ per qualsiasi base.

Come per le esponenziali, il comportamento dipende dalla base: se $a > 1$ la funzione è crescente, se $0 < a < 1 $è decrescente. I grafici di$ \log_a x $e$ \log_{1/a} x$ sono simmetrici rispetto all'asse x.

💡 Visualizza: Disegna sempre i grafici di $y = a^x$ e $y = \log_a x$ insieme - vedere la loro simmetria ti aiuterà a capire meglio entrambe le funzioni!

$# FUNZIONE ESPONENZIALE Si chiama funzione esponenziale ogni funzione del tipo: $y. a^x$, con $a \in R$ Eaiate una funzione esponenziale p$

Equazioni e Disequazioni

Le equazioni esponenziali contengono l'incognita nell'esponente, come $25^x = 125 $. Il trucco è spesso ridurre tutto alla stessa base:$ 25^x = 125 $diventa$ $5^2$ ^x = 5^3 $, quindi$ 5^{2x} = 5^3 $e infine$ 2x = 3$.

Per le equazioni logaritmiche, l'incognita compare nell'argomento del logaritmo. Usa le proprietà dei logaritmi per semplificare, poi ricorda che se $\log_a x = \log_a y$ , allora $x = y$ (purché entrambi esistano).

Le disequazioni seguono regole simili, ma attenzione al verso! Se la base è maggiore di 1, il verso della disequazione si mantiene. Se la base è tra 0 e 1, il verso si inverte - proprio come quando moltiplichi una disequazione per un numero negativo.

💡 Controllo: Verifica sempre che le soluzioni rispettino le condizioni di esistenza - gli argomenti dei logaritmi devono essere positivi!

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