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Funzioni Matematiche: Definizione, Caratteristiche e Confronto

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Funzioni Matematiche: Definizione, Caratteristiche e Confronto
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Roberta Asti

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Mathematical Functions and Their Properties: A Comprehensive Guide

A detailed exploration of mathematical functions, their properties, and key concepts in function analysis. This guide covers definizione di funzione matematica da A a B, caratteristiche delle funzioni biunivoche e invertibili, and confronto tra funzioni crescenti e decrescenti.

  • Functions are defined as mappings between two non-empty sets A and B, where each element in set A corresponds to exactly one element in set B
  • Key concepts include function classification, domain and codomain analysis, limits, derivatives, and function behavior
  • Special attention is given to increasing and decreasing functions, bounded sets, and function extrema
  • Advanced topics cover operations with limits, indeterminate forms, and derivative calculations

20/4/2023

10866

Funzioni Dati due insiemi, non vuoti A e B, si definisce funzione da A in B una legge di natura qualsiasi che ad ogni elemento x A fa corris

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Pagina 2: Proprietà delle Funzioni

Questa sezione approfondisce le caratteristiche delle funzioni monotone e periodiche, introducendo concetti fondamentali per l'analisi del loro comportamento.

Definizione: Una funzione si dice strettamente crescente se, per ogni coppia di valori x₁<x₂, si ha f(x₁)<f(x₂).

Example: Una funzione può essere:

  • Strettamente crescente
  • Crescente in senso lato
  • Strettamente decrescente
  • Decrescente in senso lato

Highlight: Gli intervalli di monotonia sono fondamentali per studiare il comportamento delle funzioni non monotone in tutto il loro dominio.

Funzioni Dati due insiemi, non vuoti A e B, si definisce funzione da A in B una legge di natura qualsiasi che ad ogni elemento x A fa corris

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Pagina 3: Insiemi e Intervalli

Questa pagina tratta gli insiemi numerici e le loro proprietà fondamentali, con particolare attenzione agli estremi e agli intervalli.

Definizione: Un insieme si dice limitato se esistono due numeri reali h e k tali che h≤x≤k per ogni x appartenente all'insieme.

Vocabulary:

  • Estremo superiore (Sup): il più piccolo dei maggioranti
  • Estremo inferiore (Inf): il più grande dei minoranti
  • Intervallo: insieme di numeri reali compresi tra due valori

Example: Gli intervalli possono essere:

  • Aperti (a,b)
  • Chiusi [a,b]
  • Semiaperti [a,b) o (a,b]
Funzioni Dati due insiemi, non vuoti A e B, si definisce funzione da A in B una legge di natura qualsiasi che ad ogni elemento x A fa corris

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Bounded Sets and Extrema

An exploration of bounded sets and their properties, including supreme and infimum concepts.

Definition: A set A of real numbers is bounded if there exist real numbers m and M such that m ≤ x ≤ M for all x in A.

Vocabulary:

  • Supremum (Sup): Least upper bound
  • Infimum (Inf): Greatest lower bound
  • Maximum: Greatest element in the set that belongs to the set
Funzioni Dati due insiemi, non vuoti A e B, si definisce funzione da A in B una legge di natura qualsiasi che ad ogni elemento x A fa corris

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Neighborhoods and Intervals

This section covers different types of neighborhoods and their significance in function analysis.

Definition: A neighborhood of a point x₀ is any open interval containing x₀.

Vocabulary:

  • Complete neighborhood: Open interval containing the point
  • Right neighborhood: Open interval with the point as right endpoint
  • Left neighborhood: Open interval with the point as left endpoint
  • Circular neighborhood: Open interval centered at the point
Funzioni Dati due insiemi, non vuoti A e B, si definisce funzione da A in B una legge di natura qualsiasi che ad ogni elemento x A fa corris

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Function Classification and Analysis

A comprehensive overview of function types and their characteristics.

Definition: Functions can be classified as:

  • Algebraic: Including rational and irrational functions
  • Even functions: f(-x) = f(x)
  • Odd functions: f(-x) = -f(x)

Highlight: The domain of a function consists of all x-values where the function is defined.

Funzioni Dati due insiemi, non vuoti A e B, si definisce funzione da A in B una legge di natura qualsiasi che ad ogni elemento x A fa corris

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Intersection and Asymptotes

Analysis of function behavior including intersections with axes and asymptotic behavior.

Example: For rational functions, vertical asymptotes occur at points where the denominator equals zero.

Vocabulary:

  • Codomain: Set of all possible y-values
  • Asymptote: Line that the function approaches but never reaches
Funzioni Dati due insiemi, non vuoti A e B, si definisce funzione da A in B una legge di natura qualsiasi che ad ogni elemento x A fa corris

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Limits and Operations

Detailed examination of limit operations and their properties.

Definition: Basic limit operations include:

  • Sum: lim[f(x) + g(x)] = lim f(x) + lim g(x)
  • Product: lim[f(x) · g(x)] = lim f(x) · lim g(x)
  • Quotient: lim[f(x)/g(x)] = lim f(x)/lim g(x)
Funzioni Dati due insiemi, non vuoti A e B, si definisce funzione da A in B una legge di natura qualsiasi che ad ogni elemento x A fa corris

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Indeterminate Forms

Analysis of special cases in limit calculations.

Highlight: Common indeterminate forms include:

  • ∞/∞
  • 0/0
  • ∞-∞
  • 0·∞
Funzioni Dati due insiemi, non vuoti A e B, si definisce funzione da A in B una legge di natura qualsiasi che ad ogni elemento x A fa corris

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Pagina 1: Introduzione alle Funzioni

Una funzione matematica stabilisce una corrispondenza tra elementi di due insiemi non vuoti A e B, associando ad ogni elemento x di A uno ed un solo elemento y di B.

Definizione: Una funzione f: A→B è una legge che associa ad ogni elemento del dominio A esattamente un elemento del codominio B.

Vocabulary:

  • Variabile indipendente (x): elemento scelto nel dominio A
  • Variabile dipendente (y): elemento associato nel codominio B
  • Immagine: elemento y=f(x) associato a x tramite la funzione

Highlight: Le funzioni biunivoche sono particolarmente importanti perché sono invertibili, stabilendo una corrispondenza uno-a-uno tra elementi.

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L'applicazione è molto semplice e ben progettata. Finora ho sempre trovato quello che stavo cercando

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Example: Una funzione può essere:

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Una funzione matematica stabilisce una corrispondenza tra elementi di due insiemi non vuoti A e B, associando ad ogni elemento x di A uno ed un solo elemento y di B.

Definizione: Una funzione f: A→B è una legge che associa ad ogni elemento del dominio A esattamente un elemento del codominio B.

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  • Variabile indipendente (x): elemento scelto nel dominio A
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