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Funzioni Matematiche: Definizione, Caratteristiche e Confronto

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Roberta Asti

20/04/2023

Matematica

funzioni

Materie

Matematica

Relazioni e funzioni

Integrazione indefinita e definita

Interpretazione dell0integrale definito di una funzione come area con segno dell0insieme di punti del piano compreso tra il suo grafico e le ascisse

12.766

•

20 apr 2023

•

9 pagine

Funzioni Matematiche: Definizione, Caratteristiche e Confronto

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Roberta Asti

@robertaasti_

Mathematical Functions and Their Properties: A Comprehensive Guide

A detailed... Mostra di più

Funzioni Dati due insiemi, non vuoti A e B, si definisce funzione da A in B una legge di natura qualsiasi che ad ogni elemento x A fa corris

Pagina 2: Proprietà delle Funzioni

Questa sezione approfondisce le caratteristiche delle funzioni monotone e periodiche, introducendo concetti fondamentali per l'analisi del loro comportamento.

Definizione: Una funzione si dice strettamente crescente se, per ogni coppia di valori x₁<x₂, si ha fx1x₁<fx2x₂.

Example: Una funzione può essere:

  • Strettamente crescente
  • Crescente in senso lato
  • Strettamente decrescente
  • Decrescente in senso lato

Highlight: Gli intervalli di monotonia sono fondamentali per studiare il comportamento delle funzioni non monotone in tutto il loro dominio.

Funzioni Dati due insiemi, non vuoti A e B, si definisce funzione da A in B una legge di natura qualsiasi che ad ogni elemento x A fa corris

Pagina 3: Insiemi e Intervalli

Questa pagina tratta gli insiemi numerici e le loro proprietà fondamentali, con particolare attenzione agli estremi e agli intervalli.

Definizione: Un insieme si dice limitato se esistono due numeri reali h e k tali che h≤x≤k per ogni x appartenente all'insieme.

Vocabulary:

  • Estremo superiore SupSup: il più piccolo dei maggioranti
  • Estremo inferiore InfInf: il più grande dei minoranti
  • Intervallo: insieme di numeri reali compresi tra due valori

Example: Gli intervalli possono essere:

  • Aperti a,ba,b
  • Chiusi a,ba,b
  • Semiaperti a,b)o(a,ba,b) o (a,b
Funzioni Dati due insiemi, non vuoti A e B, si definisce funzione da A in B una legge di natura qualsiasi che ad ogni elemento x A fa corris

Bounded Sets and Extrema

An exploration of bounded sets and their properties, including supreme and infimum concepts.

Definition: A set A of real numbers is bounded if there exist real numbers m and M such that m ≤ x ≤ M for all x in A.

Vocabulary:

  • Supremum SupSup: Least upper bound
  • Infimum InfInf: Greatest lower bound
  • Maximum: Greatest element in the set that belongs to the set
Funzioni Dati due insiemi, non vuoti A e B, si definisce funzione da A in B una legge di natura qualsiasi che ad ogni elemento x A fa corris

Neighborhoods and Intervals

This section covers different types of neighborhoods and their significance in function analysis.

Definition: A neighborhood of a point x₀ is any open interval containing x₀.

Vocabulary:

  • Complete neighborhood: Open interval containing the point
  • Right neighborhood: Open interval with the point as right endpoint
  • Left neighborhood: Open interval with the point as left endpoint
  • Circular neighborhood: Open interval centered at the point
Funzioni Dati due insiemi, non vuoti A e B, si definisce funzione da A in B una legge di natura qualsiasi che ad ogni elemento x A fa corris

Function Classification and Analysis

A comprehensive overview of function types and their characteristics.

Definition: Functions can be classified as:

  • Algebraic: Including rational and irrational functions
  • Even functions: f−x-x = fxx
  • Odd functions: f−x-x = -fxx

Highlight: The domain of a function consists of all x-values where the function is defined.

Funzioni Dati due insiemi, non vuoti A e B, si definisce funzione da A in B una legge di natura qualsiasi che ad ogni elemento x A fa corris

Intersection and Asymptotes

Analysis of function behavior including intersections with axes and asymptotic behavior.

Example: For rational functions, vertical asymptotes occur at points where the denominator equals zero.

Vocabulary:

  • Codomain: Set of all possible y-values
  • Asymptote: Line that the function approaches but never reaches
Funzioni Dati due insiemi, non vuoti A e B, si definisce funzione da A in B una legge di natura qualsiasi che ad ogni elemento x A fa corris

Limits and Operations

Detailed examination of limit operations and their properties.

Definition: Basic limit operations include:

  • Sum: limf(x)+g(x)f(x) + g(x) = lim fxx + lim gxx
  • Product: limf(x)⋅g(x)f(x) · g(x) = lim fxx · lim gxx
  • Quotient: limf(x)/g(x)f(x)/g(x) = lim fxx/lim gxx
Funzioni Dati due insiemi, non vuoti A e B, si definisce funzione da A in B una legge di natura qualsiasi che ad ogni elemento x A fa corris

Indeterminate Forms

Analysis of special cases in limit calculations.

Highlight: Common indeterminate forms include:

  • ∞/∞
  • 0/0
  • ∞-∞
  • 0·∞
Funzioni Dati due insiemi, non vuoti A e B, si definisce funzione da A in B una legge di natura qualsiasi che ad ogni elemento x A fa corris

Pagina 1: Introduzione alle Funzioni

Una funzione matematica stabilisce una corrispondenza tra elementi di due insiemi non vuoti A e B, associando ad ogni elemento x di A uno ed un solo elemento y di B.

Definizione: Una funzione f: A→B è una legge che associa ad ogni elemento del dominio A esattamente un elemento del codominio B.

Vocabulary:

  • Variabile indipendente xx: elemento scelto nel dominio A
  • Variabile dipendente yy: elemento associato nel codominio B
  • Immagine: elemento y=fxx associato a x tramite la funzione

Highlight: Le funzioni biunivoche sono particolarmente importanti perché sono invertibili, stabilendo una corrispondenza uno-a-uno tra elementi.



Pensavamo che non l'avreste mai chiesto....

Che cos'è l'assistente AI di Knowunity?

Il nostro assistente AI è costruito specificamente per le esigenze degli studenti. Sulla base dei milioni di contenuti presenti sulla piattaforma, possiamo fornire agli studenti risposte davvero significative e pertinenti. Ma non si tratta solo di risposte, l'assistente è in grado di guidare gli studenti attraverso le loro sfide quotidiane di studio, con piani di studio personalizzati, quiz o contenuti nella chat e una personalizzazione al 100% basata sulle competenze e sugli sviluppi degli studenti.

Dove posso scaricare l'applicazione Knowunity?

È possibile scaricare l'applicazione dal Google Play Store e dall'Apple App Store.

Knowunity è davvero gratuita?

Sì, hai accesso completamente gratuito a tutti i contenuti nell'app e puoi chattare o seguire i Creatori in qualsiasi momento. Sbloccherai nuove funzioni crescendo il tuo numero di follower. Inoltre, offriamo Knowunity Premium, che consente di studiare senza alcun limite!!

Non c'è niente di adatto? Esplorare altre aree tematiche.

Recensioni dei nostri utenti. Ci adorano - e anche tu, vedrai .

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

L'applicazione è molto facile da usare e ben progettata. Finora ho trovato tutto quello che cercavo e ho potuto imparare molto dalle presentazioni! Utilizzerò sicuramente l'app per i compiti in classe! È molto utile anche come fonte di ispirazione.

Stefano S

utente iOS

Questa applicazione è davvero grande! Ci sono tantissimi appunti e aiuti con lo studio [...]. La mia materia problematica, per esempio, è il francese e l'app ha così tante opzioni per aiutarmi. Grazie a questa app ho migliorato il mio francese. La consiglio a tutti.

Samantha Klich

utente Android

Wow, sono davvero stupita. Ho appena provato l'app perché l'ho vista pubblicizzata molte volte e sono rimasta assolutamente sbalordita. Questa app è L'AIUTO che cercate per la scuola e soprattutto offre tantissime cose, come allenamenti e schede, che a me personalmente sono state MOLTO utili.

Anna

utente iOS

È bellissima questa app, la adoro. È utilissima per lo studio e mi aiuta molto, anzi moltissimo, ma soprattutto mi aiutano molto i quiz, per memorizzare anche quello che non sapevo

Anastasia

utente Android

Fantastica per qualsiasi materia avere gli appunti anche di altre persone è molto utile perchè posso confrontarmi e vedere come migliorarmi. con i quiz riesco ad apprendere al meglio.

Francesca

utente Android

moooolto utile,gli appunti sono belli e funzionanti,schoolGPT da dei consigli formidabili!!

Marianna

utente Android

L'applicazione è semplicemente fantastica! Tutto ciò che devo fare è inserire l'argomento nella barra di ricerca e ottengo la risposta molto velocemente. Non devo guardare 10 video di YouTube per capire qualcosa, quindi risparmio tempo. Consigliatissima!

Sudenaz Ocak

utente Android

A scuola andavo malissimo in matematica, ma grazie a questa applicazione ora vado meglio. Vi sono molto grato per aver creato questa app.

Greenlight Bonnie

utente Android

Knowunity è un applicazione fantastica,considerando che ha degli schemi veramente molto carini e sfiziosi e che ci sono dei quiz,oltre al fatto che questa cosa dell intelligenza artificiale "school gpt" è almeno per me molto utile, perché a differenza di Chatgpt ti da le spiegazioni, ti spiega ciò che non è chiaro! Posso studiare più velocemente tramite gli schemi e che posso pubblicare io stessa gli schemi è una funzione utilissima per gli altri studenti. Knowunity è PERFETTA

Aurora

utente Android

L’app funziona benissimo e puoi trovare qualsiasi tipo di informazione. Non ho l’abbonamento ma la parte gratuita è sufficiente per uno studio approfondito.

Martina

utente iOS

in questi ultimi mesi di scuola dove il tempo è ormai poco, mi sta aiutando molto perché piuttosto che farmi io gli schemi su quello che leggo sul libro guardo questi già fatti e li uso come ripasso piuttosto che rileggermi tutto il libro

Chiara

utente IOS

Questa app è una delle migliori, nient’altro da dire.

Andrea

utente iOS

L'applicazione è molto facile da usare e ben progettata. Finora ho trovato tutto quello che cercavo e ho potuto imparare molto dalle presentazioni! Utilizzerò sicuramente l'app per i compiti in classe! È molto utile anche come fonte di ispirazione.

Stefano S

utente iOS

Questa applicazione è davvero grande! Ci sono tantissimi appunti e aiuti con lo studio [...]. La mia materia problematica, per esempio, è il francese e l'app ha così tante opzioni per aiutarmi. Grazie a questa app ho migliorato il mio francese. La consiglio a tutti.

Samantha Klich

utente Android

Wow, sono davvero stupita. Ho appena provato l'app perché l'ho vista pubblicizzata molte volte e sono rimasta assolutamente sbalordita. Questa app è L'AIUTO che cercate per la scuola e soprattutto offre tantissime cose, come allenamenti e schede, che a me personalmente sono state MOLTO utili.

Anna

utente iOS

È bellissima questa app, la adoro. È utilissima per lo studio e mi aiuta molto, anzi moltissimo, ma soprattutto mi aiutano molto i quiz, per memorizzare anche quello che non sapevo

Anastasia

utente Android

Fantastica per qualsiasi materia avere gli appunti anche di altre persone è molto utile perchè posso confrontarmi e vedere come migliorarmi. con i quiz riesco ad apprendere al meglio.

Francesca

utente Android

moooolto utile,gli appunti sono belli e funzionanti,schoolGPT da dei consigli formidabili!!

Marianna

utente Android

L'applicazione è semplicemente fantastica! Tutto ciò che devo fare è inserire l'argomento nella barra di ricerca e ottengo la risposta molto velocemente. Non devo guardare 10 video di YouTube per capire qualcosa, quindi risparmio tempo. Consigliatissima!

Sudenaz Ocak

utente Android

A scuola andavo malissimo in matematica, ma grazie a questa applicazione ora vado meglio. Vi sono molto grato per aver creato questa app.

Greenlight Bonnie

utente Android

Knowunity è un applicazione fantastica,considerando che ha degli schemi veramente molto carini e sfiziosi e che ci sono dei quiz,oltre al fatto che questa cosa dell intelligenza artificiale "school gpt" è almeno per me molto utile, perché a differenza di Chatgpt ti da le spiegazioni, ti spiega ciò che non è chiaro! Posso studiare più velocemente tramite gli schemi e che posso pubblicare io stessa gli schemi è una funzione utilissima per gli altri studenti. Knowunity è PERFETTA

Aurora

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L’app funziona benissimo e puoi trovare qualsiasi tipo di informazione. Non ho l’abbonamento ma la parte gratuita è sufficiente per uno studio approfondito.

Martina

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in questi ultimi mesi di scuola dove il tempo è ormai poco, mi sta aiutando molto perché piuttosto che farmi io gli schemi su quello che leggo sul libro guardo questi già fatti e li uso come ripasso piuttosto che rileggermi tutto il libro

Chiara

utente IOS

Questa app è una delle migliori, nient’altro da dire.

Andrea

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Questa sezione approfondisce le caratteristiche delle funzioni monotone e periodiche, introducendo concetti fondamentali per l'analisi del loro comportamento.

Definizione: Una funzione si dice strettamente crescente se, per ogni coppia di valori x₁<x₂, si ha fx1x₁<fx2x₂.

Example: Una funzione può essere:

  • Strettamente crescente
  • Crescente in senso lato
  • Strettamente decrescente
  • Decrescente in senso lato

Highlight: Gli intervalli di monotonia sono fondamentali per studiare il comportamento delle funzioni non monotone in tutto il loro dominio.

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Vocabulary:

  • Estremo superiore SupSup: il più piccolo dei maggioranti
  • Estremo inferiore InfInf: il più grande dei minoranti
  • Intervallo: insieme di numeri reali compresi tra due valori

Example: Gli intervalli possono essere:

  • Aperti a,ba,b
  • Chiusi a,ba,b
  • Semiaperti a,b)o(a,ba,b) o (a,b
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Definition: A set A of real numbers is bounded if there exist real numbers m and M such that m ≤ x ≤ M for all x in A.

Vocabulary:

  • Supremum SupSup: Least upper bound
  • Infimum InfInf: Greatest lower bound
  • Maximum: Greatest element in the set that belongs to the set
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  • Complete neighborhood: Open interval containing the point
  • Right neighborhood: Open interval with the point as right endpoint
  • Left neighborhood: Open interval with the point as left endpoint
  • Circular neighborhood: Open interval centered at the point
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  • Algebraic: Including rational and irrational functions
  • Even functions: f−x-x = fxx
  • Odd functions: f−x-x = -fxx

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Intersection and Asymptotes

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Example: For rational functions, vertical asymptotes occur at points where the denominator equals zero.

Vocabulary:

  • Codomain: Set of all possible y-values
  • Asymptote: Line that the function approaches but never reaches
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Limits and Operations

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Definition: Basic limit operations include:

  • Sum: limf(x)+g(x)f(x) + g(x) = lim fxx + lim gxx
  • Product: limf(x)⋅g(x)f(x) · g(x) = lim fxx · lim gxx
  • Quotient: limf(x)/g(x)f(x)/g(x) = lim fxx/lim gxx
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Pagina 1: Introduzione alle Funzioni

Una funzione matematica stabilisce una corrispondenza tra elementi di due insiemi non vuoti A e B, associando ad ogni elemento x di A uno ed un solo elemento y di B.

Definizione: Una funzione f: A→B è una legge che associa ad ogni elemento del dominio A esattamente un elemento del codominio B.

Vocabulary:

  • Variabile indipendente xx: elemento scelto nel dominio A
  • Variabile dipendente yy: elemento associato nel codominio B
  • Immagine: elemento y=fxx associato a x tramite la funzione

Highlight: Le funzioni biunivoche sono particolarmente importanti perché sono invertibili, stabilendo una corrispondenza uno-a-uno tra elementi.

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Il nostro assistente AI è costruito specificamente per le esigenze degli studenti. Sulla base dei milioni di contenuti presenti sulla piattaforma, possiamo fornire agli studenti risposte davvero significative e pertinenti. Ma non si tratta solo di risposte, l'assistente è in grado di guidare gli studenti attraverso le loro sfide quotidiane di studio, con piani di studio personalizzati, quiz o contenuti nella chat e una personalizzazione al 100% basata sulle competenze e sugli sviluppi degli studenti.

Dove posso scaricare l'applicazione Knowunity?

È possibile scaricare l'applicazione dal Google Play Store e dall'Apple App Store.

Knowunity è davvero gratuita?

Sì, hai accesso completamente gratuito a tutti i contenuti nell'app e puoi chattare o seguire i Creatori in qualsiasi momento. Sbloccherai nuove funzioni crescendo il tuo numero di follower. Inoltre, offriamo Knowunity Premium, che consente di studiare senza alcun limite!!

Non c'è niente di adatto? Esplorare altre aree tematiche.

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4.9/5

App Store

4.8/5

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L'applicazione è molto facile da usare e ben progettata. Finora ho trovato tutto quello che cercavo e ho potuto imparare molto dalle presentazioni! Utilizzerò sicuramente l'app per i compiti in classe! È molto utile anche come fonte di ispirazione.

Stefano S

utente iOS

Questa applicazione è davvero grande! Ci sono tantissimi appunti e aiuti con lo studio [...]. La mia materia problematica, per esempio, è il francese e l'app ha così tante opzioni per aiutarmi. Grazie a questa app ho migliorato il mio francese. La consiglio a tutti.

Samantha Klich

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Wow, sono davvero stupita. Ho appena provato l'app perché l'ho vista pubblicizzata molte volte e sono rimasta assolutamente sbalordita. Questa app è L'AIUTO che cercate per la scuola e soprattutto offre tantissime cose, come allenamenti e schede, che a me personalmente sono state MOLTO utili.

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È bellissima questa app, la adoro. È utilissima per lo studio e mi aiuta molto, anzi moltissimo, ma soprattutto mi aiutano molto i quiz, per memorizzare anche quello che non sapevo

Anastasia

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Fantastica per qualsiasi materia avere gli appunti anche di altre persone è molto utile perchè posso confrontarmi e vedere come migliorarmi. con i quiz riesco ad apprendere al meglio.

Francesca

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Marianna

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L'applicazione è semplicemente fantastica! Tutto ciò che devo fare è inserire l'argomento nella barra di ricerca e ottengo la risposta molto velocemente. Non devo guardare 10 video di YouTube per capire qualcosa, quindi risparmio tempo. Consigliatissima!

Sudenaz Ocak

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A scuola andavo malissimo in matematica, ma grazie a questa applicazione ora vado meglio. Vi sono molto grato per aver creato questa app.

Greenlight Bonnie

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Knowunity è un applicazione fantastica,considerando che ha degli schemi veramente molto carini e sfiziosi e che ci sono dei quiz,oltre al fatto che questa cosa dell intelligenza artificiale "school gpt" è almeno per me molto utile, perché a differenza di Chatgpt ti da le spiegazioni, ti spiega ciò che non è chiaro! Posso studiare più velocemente tramite gli schemi e che posso pubblicare io stessa gli schemi è una funzione utilissima per gli altri studenti. Knowunity è PERFETTA

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Martina

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in questi ultimi mesi di scuola dove il tempo è ormai poco, mi sta aiutando molto perché piuttosto che farmi io gli schemi su quello che leggo sul libro guardo questi già fatti e li uso come ripasso piuttosto che rileggermi tutto il libro

Chiara

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Questa app è una delle migliori, nient’altro da dire.

Andrea

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Questa applicazione è davvero grande! Ci sono tantissimi appunti e aiuti con lo studio [...]. La mia materia problematica, per esempio, è il francese e l'app ha così tante opzioni per aiutarmi. Grazie a questa app ho migliorato il mio francese. La consiglio a tutti.

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Wow, sono davvero stupita. Ho appena provato l'app perché l'ho vista pubblicizzata molte volte e sono rimasta assolutamente sbalordita. Questa app è L'AIUTO che cercate per la scuola e soprattutto offre tantissime cose, come allenamenti e schede, che a me personalmente sono state MOLTO utili.

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Martina

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Chiara

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Andrea

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