Divertiti con le Equazioni Goniometriche: Metodo Grafico e Algebrico

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Giulia Rodari

30/09/2022

Matematica

Equazioni goniometriche

Materie

Matematica

Geometria

Trigonometria

Teoremi sui triangoli rettangoli, della corda, dei seni,formula goniometrica per l'area di un triangolo qualsiasi

Divertiti con le Equazioni Goniometriche: Metodo Grafico e Algebrico

Name: Knowunity
Brand: Knowunity

Trigonometric Equations and Solutions - A comprehensive guide covering linear and homogeneous trigonometric equations, including equazioni goniometriche lineari metodo grafico esercizi svolti and various solution methods.

• The document explores fundamental trigonometric equations involving sine, cosine, and tangent functions
• Covers multiple solution methods including graphical, algebraic, and added angle approaches
• Details special cases of linear and homogeneous equations with worked examples
• Includes comprehensive analysis of domain restrictions and solution sets
• Emphasizes practical problem-solving techniques for equazioni goniometriche esercizi svolti

...

30/09/2022

6191

Equazioni goniometriche
Un 'equazione si dice goniometrica quando l'incognita compare come argomento di una o
sinx: K
COSYEk tonx=K
sinx = K

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Composite Goniometric Equations

This section expands on solving more complex goniometric equations involving composite functions and multiple trigonometric terms.

Key concepts: • Solving equations with functions of trigonometric expressions • Handling equations with multiple trigonometric terms • Using inverse trigonometric functions in solutions

Example: For sin $3x$ = 1/2, the solution is: 3x = π/6 + 2Kπ or 3x = 5π/6 + 2Kπ x = π/18 + 2Kπ/3 or x = 5π/18 + 2Kπ/3

The page provides detailed solutions for various equation types, including those involving tangent and cosine of composite functions. It emphasizes the importance of considering all possible solutions within the given domain.

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Linear Goniometric Equations

This page focuses on linear goniometric equations and introduces graphical and algebraic methods for solving them.

Key points: • Definition of linear goniometric equations: a sin x + b cos x + c = 0 • Graphical method using the unit circle and a linear equation • Algebraic method using the substitution t = tan $x/2$

Definition: A linear goniometric equation in standard form is a sin x + b cos x + c = 0, where a, b, and c are real constants.

Highlight: The graphical method involves finding the intersection of the unit circle $x² + y² = 1$ with the line ay + bx + c = 0.

The page provides a step-by-step explanation of both solution methods, preparing students for more advanced problem-solving techniques in goniometric equations.

Vedi

Algebraic and Added Angle Methods

This section delves deeper into solving linear goniometric equations using the algebraic method and introduces the added angle method.

Key concepts: • Detailed steps for the algebraic method using t = tan $x/2$ substitution • Introduction to the added angle method • Comparison of different solution techniques

Example: For sin x - cos x = -1, the algebraic method yields: t = 0 or t = -1 x = 0 + 2Kπ or x = -π/4 + 2Kπ

Highlight: The added angle method transforms the equation into A sin $wx + φ$ + C = 0, simplifying the solution process.

The page demonstrates how to apply these methods to solve complex linear goniometric equations, providing students with powerful tools for tackling a wide range of problems.

Vedi

Homogeneous Goniometric Equations

This page introduces homogeneous goniometric equations of the second degree in sine and cosine.

Key points: • Definition and standard form of homogeneous equations • Solution methods for different cases $a = 0, b = 0, c = 0$ • Transformation techniques to simplify equations

Definition: A homogeneous goniometric equation of the second degree has the form a sin²x + b sin x cos x + c cos²x = 0, where a, b, and c are real constants.

Example: For a sin²x + c cos²x = 0, the solution involves finding cos²x = -a / $c-a$ or sin²x = -c / $a-c$ .

The page explains how to recognize and solve various types of homogeneous equations, including those that can be reduced to quadratic form in tan x.

Vedi

Advanced Goniometric Equations

This final section covers more advanced topics in goniometric equations, including equations reducible to quadratic form and graphical solutions to complex equations.

Key concepts: • Transforming equations into quadratic form • Graphical solutions for equations involving multiple trigonometric functions • Domain considerations in complex equations

Example: Solving cos²x = x graphically by finding the intersection of y = cos²x and y = x curves.

Highlight: The importance of considering the domain when solving equations like sin x = x² graphically.

The page provides challenging examples that combine various techniques learned throughout the guide, helping students develop advanced problem-solving skills in goniometric equations.

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Page 7: Practical Examples

Presents various equazioni goniometriche esercizi svolti with detailed solutions.

Example: Solutions for equations involving combinations of trigonometric functions

Highlight: Domain considerations and special cases are emphasized

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Adoro questa applicazione [...] consiglio Knowunity a tutti!!! Sono passato da un 5 a una 8 con questa app

Stefano S, utente iOS

L'applicazione è molto semplice e ben progettata. Finora ho sempre trovato quello che stavo cercando

Susanna, utente iOS

Adoro questa app ❤️, la uso praticamente sempre quando studio.

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Trigonometria

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Matematica

•

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•

30 set 2022

•

7 pagine

Divertiti con le Equazioni Goniometriche: Metodo Grafico e Algebrico

Giulia Rodari

@giuliarodari_.

• The document explores fundamental trigonometric equations involving sine, cosine, and tangent functions
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Composite Goniometric Equations

This section expands on solving more complex goniometric equations involving composite functions and multiple trigonometric terms.

Key concepts: • Solving equations with functions of trigonometric expressions • Handling equations with multiple trigonometric terms • Using inverse trigonometric functions in solutions

Example: For sin $3x$ = 1/2, the solution is: 3x = π/6 + 2Kπ or 3x = 5π/6 + 2Kπ x = π/18 + 2Kπ/3 or x = 5π/18 + 2Kπ/3

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Linear Goniometric Equations

This page focuses on linear goniometric equations and introduces graphical and algebraic methods for solving them.

Definition: A linear goniometric equation in standard form is a sin x + b cos x + c = 0, where a, b, and c are real constants.

Highlight: The graphical method involves finding the intersection of the unit circle $x² + y² = 1$ with the line ay + bx + c = 0.

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Algebraic and Added Angle Methods

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Key concepts: • Detailed steps for the algebraic method using t = tan $x/2$ substitution • Introduction to the added angle method • Comparison of different solution techniques

Example: For sin x - cos x = -1, the algebraic method yields: t = 0 or t = -1 x = 0 + 2Kπ or x = -π/4 + 2Kπ

Highlight: The added angle method transforms the equation into A sin $wx + φ$ + C = 0, simplifying the solution process.

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Homogeneous Goniometric Equations

This page introduces homogeneous goniometric equations of the second degree in sine and cosine.

Key points: • Definition and standard form of homogeneous equations • Solution methods for different cases $a = 0, b = 0, c = 0$ • Transformation techniques to simplify equations

Definition: A homogeneous goniometric equation of the second degree has the form a sin²x + b sin x cos x + c cos²x = 0, where a, b, and c are real constants.

Example: For a sin²x + c cos²x = 0, the solution involves finding cos²x = -a / $c-a$ or sin²x = -c / $a-c$ .

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Advanced Goniometric Equations

This final section covers more advanced topics in goniometric equations, including equations reducible to quadratic form and graphical solutions to complex equations.

Key concepts: • Transforming equations into quadratic form • Graphical solutions for equations involving multiple trigonometric functions • Domain considerations in complex equations

Example: Solving cos²x = x graphically by finding the intersection of y = cos²x and y = x curves.

Highlight: The importance of considering the domain when solving equations like sin x = x² graphically.

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Page 7: Practical Examples

Presents various equazioni goniometriche esercizi svolti with detailed solutions.

Example: Solutions for equations involving combinations of trigonometric functions

Highlight: Domain considerations and special cases are emphasized

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Introduction to Goniometric Equations

This page introduces fundamental concepts of goniometric equations and provides solutions for basic equations involving sine, cosine, and tangent functions.

Key points: • Goniometric equations contain trigonometric functions of an unknown angle • Solutions depend on the range of K values in equations like sin x = K • General solution forms are provided for common equation types

Definition: A goniometric equation is an equation where the unknown appears as an argument of one or more trigonometric functions.

Example: For sin x = K, solutions are: x = α + 2Kπ or x = $π - α$ + 2Kπ when -1 ≤ K ≤ 1 x = π/2 + 2Kπ when K = 1 x = 3π/2 + 2Kπ when K = -1

The page also covers solutions for cos x = K and tan x = K equations, providing a foundation for more complex goniometric problem-solving.

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Recensioni dei nostri utenti. Ci adorano - e anche tu, vedrai .

4.9/5

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4.8/5

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L'applicazione è molto facile da usare e ben progettata. Finora ho trovato tutto quello che cercavo e ho potuto imparare molto dalle presentazioni! Utilizzerò sicuramente l'app per i compiti in classe! È molto utile anche come fonte di ispirazione.

Stefano S

utente iOS

Questa applicazione è davvero grande! Ci sono tantissimi appunti e aiuti con lo studio [...]. La mia materia problematica, per esempio, è il francese e l'app ha così tante opzioni per aiutarmi. Grazie a questa app ho migliorato il mio francese. La consiglio a tutti.

Samantha Klich

utente Android

Wow, sono davvero stupita. Ho appena provato l'app perché l'ho vista pubblicizzata molte volte e sono rimasta assolutamente sbalordita. Questa app è L'AIUTO che cercate per la scuola e soprattutto offre tantissime cose, come allenamenti e schede, che a me personalmente sono state MOLTO utili.

Anna

utente iOS

È bellissima questa app, la adoro. È utilissima per lo studio e mi aiuta molto, anzi moltissimo, ma soprattutto mi aiutano molto i quiz, per memorizzare anche quello che non sapevo

Anastasia

utente Android

Fantastica per qualsiasi materia avere gli appunti anche di altre persone è molto utile perchè posso confrontarmi e vedere come migliorarmi. con i quiz riesco ad apprendere al meglio.

Francesca

utente Android

moooolto utile,gli appunti sono belli e funzionanti,schoolGPT da dei consigli formidabili!!

Marianna

utente Android

L'applicazione è semplicemente fantastica! Tutto ciò che devo fare è inserire l'argomento nella barra di ricerca e ottengo la risposta molto velocemente. Non devo guardare 10 video di YouTube per capire qualcosa, quindi risparmio tempo. Consigliatissima!

Sudenaz Ocak

utente Android

A scuola andavo malissimo in matematica, ma grazie a questa applicazione ora vado meglio. Vi sono molto grato per aver creato questa app.

Greenlight Bonnie

utente Android

Knowunity è un applicazione fantastica,considerando che ha degli schemi veramente molto carini e sfiziosi e che ci sono dei quiz,oltre al fatto che questa cosa dell intelligenza artificiale "school gpt" è almeno per me molto utile, perché a differenza di Chatgpt ti da le spiegazioni, ti spiega ciò che non è chiaro! Posso studiare più velocemente tramite gli schemi e che posso pubblicare io stessa gli schemi è una funzione utilissima per gli altri studenti. Knowunity è PERFETTA

Aurora

utente Android

L’app funziona benissimo e puoi trovare qualsiasi tipo di informazione. Non ho l’abbonamento ma la parte gratuita è sufficiente per uno studio approfondito.

Martina

utente iOS

in questi ultimi mesi di scuola dove il tempo è ormai poco, mi sta aiutando molto perché piuttosto che farmi io gli schemi su quello che leggo sul libro guardo questi già fatti e li uso come ripasso piuttosto che rileggermi tutto il libro

Chiara

utente IOS

Questa app è una delle migliori, nient’altro da dire.

Andrea

utente iOS

Stefano S

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Anna

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È bellissima questa app, la adoro. È utilissima per lo studio e mi aiuta molto, anzi moltissimo, ma soprattutto mi aiutano molto i quiz, per memorizzare anche quello che non sapevo

Anastasia

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Fantastica per qualsiasi materia avere gli appunti anche di altre persone è molto utile perchè posso confrontarmi e vedere come migliorarmi. con i quiz riesco ad apprendere al meglio.

Francesca

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moooolto utile,gli appunti sono belli e funzionanti,schoolGPT da dei consigli formidabili!!

Marianna

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Sudenaz Ocak

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A scuola andavo malissimo in matematica, ma grazie a questa applicazione ora vado meglio. Vi sono molto grato per aver creato questa app.

Greenlight Bonnie

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Martina

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Questa app è una delle migliori, nient’altro da dire.

Andrea

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