Didascalia alternativa:

M (ccé cerchi di avvicinarmi a + ∞) TROVO Sempre Un INTORNO di xo tale che, SCRIVERE le definizioni di limite nei seguenti casi : Sulle x al suo interno, f(x) assume valori, MAGGIORI di M Definizione Generale 4 f: X → R -> lieve x xo Oss: e Questa Per eccesso I ε (e) E (e, e+ ε) 1 Хо f(x) = e live {(x) = l + X-> Xo f(x) = 1 X definitione Xo =O Xo E Df LIMITE PUNTO DI Accumulopione se ē Oss: (xo- &, xo + 8) = Ig (xo) (M + ∞) 1 Ulteriormente adattabile a e Per difetto liv 8(x) = l X→ Xo Хо PER X le [ -∞, +∞] 1 #ε>0 3 8₂0 +.e. #x € [ Ig (xo] \ } x0 [] x S Xo I ε (e) (e-ε. e) LIMITE DE STRO e LIMITE SINISTRO x-> Xot : = X-> Xo IM (+∞) } intorni definine i limite lime + X-> X5 PER ECLESSO E PER DIFETTO al POSTO di If(xo) Consideriamo (Xo, Xo+ g) " da destra f(x) = l f (x) € I & (e) E X->+∞ lice X-→ o da siNISTRA f(x) = 1 + 1 live lim X-> X₂ Ig(xo) (x₂-S, xo) f(x)= e f(x)= 1+ f(x) = 1² LIMITI DELLE FUNZIONI ELEMENTARI f (x) PUS essere calcolato Oss. если X→ Xo Poiché xo e a D f pers per xo € Df Possiamo calcolare direttamente FUNZIONI POTENAA n f(x)= x " MEN FUNAIONE RADICE n 8∞x=√√√x X POTENAE NEGATIVE f(x) = 1 m X₁ n pari n dispari M PARI Df = R = (-∞0₁ +∞0) live X-> live X-> +∞ live live X->-∞ -∞ live f(0) = lime in questo caso Posso nel punto L'UGUAglianza é invece σαναιτίτα seguito) il limite per x Che tende non ē Possibile fare il limite appartengono a Df X-> +∞ x-> o f (x) = +∞0 вии x → 0+ f(x) = +∞ #x₂ € Df = Df U alg ∞+个X M PARI Df = [0, +∞0) live X O non solo avvicinarmi f(x)= f(x)= + f(x)= f(x) live live Df = R = (-∞0₁ + ∞0) X-→-∞ X-> +∞ f(x)= +∞o f(x) = 0 In DISPARI f(xs) i limiti 0+ of 16 dalla continuità vedremo PIÙ Quanti non sow SE f(x) = -00 = +∞ sono interessati se ma = +∞ g(x) = +∞ a o, può essere fatto solo da destra : X>0, perche i punti Per n DISPARI Df = R lim <-X lim X->> +∞ n PARI Dg = R1 204 = (-∞0,0) 0 (0₁ +∞0) proprio calcolare la f (che definiscono in X€ (-1,0) non In DISPARI TO of 8 (x) = = ∞ . ∞ 0 O (1 f(x)=+∞0 (1 = 1 ∞ + ∞ 1 = ? € = 3 e Gli • +∞ + ∞ •10 • O +∞ t.c. ∞ = Perché ARITMETIZZAZIONE PARZIALE DI INFINITESIMI € INFINITI Possiamo TRATARE, SOTTO certe condizioni Gli infinitesimi ot e o (N.B. of e o sono numeri che si avvicinano ao, ma mai = 0) Infiniti + ∞ e -∞ (anch'essi da intendersi come numeri Grandi) = + ∞ 20 ∞ • +∞ (+∞) = •+∞ (-∞0) = -∞ •-∞ (-∞) = +∞ •0± · 0± = 0+ . ot O =+∞ 个 ∞ +∞ L'aritmetizzazione dette appunto २ ?.0=1 +∞ ## 3 é t.c. valgono le regole del prodotto dei segni ∞ che vanno studiate caso per caso in quanto non danno لا ㅋ NON ESISTE 3.2= 6 4 liw X-> un RISULTATO univoco вни X-> +∞ → ±∞.0t parziale non permette di calcolare le seguenti foeme INDETERMINATE: 010. ESPONE NAIALE e LOGARITMO • f(x)=e* Df= R. 8 + H •±∞+M= ±∞ • + ∞ · M = +∞ •0t. M ● •M +∞ 2 S f(x) = of = ot ot = ±8 (M >0) si Se M ²0 Intersecano i Segni f(x) = +∞ • f(x) = log x Df -(0, +∞0); line_f(x)==∞ x-> of r live X>+∞ f(x)=+∞0 TEOREY SUI LIMITI TEOREMA CUNICITÀ DEL LIMITE) Sia f: X→ R,xo PUNTO DI accumulazione per X. Se f ammette unico. OSS: Quindi, & ammette limite in xo <=> 14 7 lim f(x) ES: f(x)= lim X→ C R → X-> 0- A meno Per f, g TEOREMA (PERMANENTA DEL SEGNO) f(x)= = ∞o se l>o Scegliamo In tal modo, rileggendo o< l- ε < f (x) cioè f(x) >0 • PRODOTTO Se ехо La definizione di limite diventa 81 (x) - el<ε → : • QUOAIENTE X->0 # lim → R, XO PUNTO di accumulazione ; x-> 0+ Sia 3 f>o_t.c. \x € If (xo) I f xok, f(x) assume lo stesso DIMOSTRAZIONE: Hp : ( def. di limite) + ε>0,7>0 t.c. + x€ I g(x₂) 1 f(x) - α1 < ε l - ε = f(x) < l + ε " scegliamo ε <-l cosiché l+ ε <o fax=+00 SOMMA lime [800+ g(x)] = lim X→ Xo X-> Xo f(x) live X→xo g(x) TEOREMI COPERAZIONI CON I LIMITI) deu insorgenza di forme definite su uno stesso indeterminate Insieme X e xo < f (x)- e < E 。 <= f (x) + l <E line (8cx). g(x)) = live X-> Xo X->Xo E < e cosiche e- E >O la def di limite, si ha che 3 dao t.c. tx € Ig (xo); } xod liw X-> Xo Per X se / live X-→ Xo f(x) + lim g(x) X-> Xo live X-> Xo :7d>0 t.c x6 IS (xo) } xo { f(x) < l + ε <O f(x) (x) se se f(x) lim g(x) х-хо g f (x) = lim x-x+ limite lim X-> Xo segno di l. " f (x) > l дех) се In xo, tale limite é f(x)= eto allora f(x) Quindi in particolare + x € Ig (x₂) \ {xofc IS (X₂) → { " Cloé f(x) co < l + ε E f (x) < valgono le seguenti ugua Gliante. punto di accumulatione PER X. f (x) > e-ε ह • Problema : come una funzione si comporta sulla frontiera del SUO dominio ● RIASSUNTO ● Definizione del limite Proprietà teoriche OpeRgAioni con i limiti e Risoluzione di forme Indeterminate. RISOLUZIONE DI FORME INDETERMINATE STRATEGIA GENERALE : calcolare il limite in modo Esempio (Polinomio) 3 3x³8x² = x² live X-> +∞ 1° tentativo di applicazione del Teorema : ✓ fallito (3-2) Esempio lim X-> +∞ x5X+4 x² - 1 Manipoliamo da Metto in evidenza il termine di Grado maggiore che è quello che > ±∞ più rapidamente OSSERVAZIONE = ·•·° (₁ *² (₁-4)~~ 2 3x² - 8x² → 2° tentativo: lun algebricamente l'espressione di cui dobbiamo Dendere applicabile il teorema sulle operazioni con i limiti Attenzione per x che non In particolare non lo Quando invece f(x) é approssimabile col tende ē per x → 0, Ragionali fratle): lieu X→+∞ live 8+个X 1 1 lim X>>> +∞ Dopo delle f(x) = anx^ + an-₁ X" =@ = 8+个X xSX HẢ x²-1 2 Costante questo esempio consideriamo funzioni elementari .n-1 +. 3+3 Quindi lim 3=3 x-> +∞ 11 lim x³ (3 live a too, Queste X-> +∞ +∞ +∞ 2 8x² =+∞ - X->+∞o 9)- х i polinomi come e daremo Per SCONTATO + A₁ x + A₂ ~ anx" I APPROSSI matione f. I ∞ +∞0.3-0* si COMPORTO come, ē approssimabile con V Svo termine di Grado PIÙ Piccolo che, per x>to non é vera. F.I Esempio: lim X→ 3 X-1 x2+3x Esempio: oppure. xỉ 5X+4 x²-1 Quindi ma Se x = 1 Compare nella lim lie x->-1 X →1 x³-1 x²+3x f(x)= Df = R1 ƏDf= {. 3 live = X->-1 lim X→ 1 f(x)=x²-5x +4 x²_1 f(x)= всли live X-> -1 + x² (₁-1) x ² (1+²) x-5X+4 x²-1 12-1,1} -1, 1 +∞ (x-1) (x-4) (x-1) (x+1) f(x) = ? f (x) e live 2 x 5X+4 x²-1 annulla sia il numeratore Scompo&Alone di entrambi Per la stessa f(x), - X-4 X-> 1 X+1 X-→ -1 xSxt4 x²-1 => f. I non è + | calcoliamo f(x) = = liw X->-∞ live x-> -₁ + 1 definita lim X->-1* + 1 1-4 1+1 (1²)- 5(1) +4 (1²) - 1 если X-> -1 + xo t Sia il denominatore i polinomi : Se x 1 (condizione rispettata = x²-1 (₁-(2) X3 **(1+ 1153 x² x5X+4 x³-1 x²-3x = 3 2 f(x) = in X-1 (ne in x = -1) ени X-→> 88 In ad es 0, 9999² < 1 ci auvianiamo Q-1 dai valori maGGIORI Quindi modulo minore di 1. 1 + live X x.(1- 1 1- liv 2 (-1)² - 5(-1) +4 (-13)-1 8-48 X->-8 3 dal limite) = = 1-5+4 1-1 , vuol dire che il termine(x-1) x/w -1,0001 1 Sinistra 0 f. I 1+5+4= 1 -∞0-(1-0)_ 1 +0 alo (1 I Destra + 4 -9,9999 ∞ ● liv X-> -1- • live . O <-X live 0 <- x Oss X=O non é necessariamente un PUNTO che Genera forme indeterminate : x SX tá x²-1 віш ху хо dove ES: idea Yo= lim Yo= live Yo = Yo= Сіли " ·lu lim X-> +∞ x³_x x5 + 3x TEOREMA CLIMITE g ( f(x)) X-> X-> 0 x-> 0+ xả SX+4 X2-1 lin anche — 1/1 = y => ; calcolare 1 N.B=> Non ** 个X 8 + 4x TIX S ex е live Yo Yo ↓ X = - = +∞ 4 1 lime O<-X = +∞ = لام log ( 1 ) = lun lime exo 916 = -4 ey of x-7 Yo f(x) € [= ∞0₁ +∞0] ↑ Y->ot x(x²-1) x (x² + 3) del tipo log (+∞o) laglet = + ∞ es: DI FUNZIONI COMPOSTE g(y) 个 Sono ammesse scritte O et log (o) درس per x = 2 + log y = = ∞ е live Y-> ∞ +∞ ey ܕܕ ܝ ܐ 2 IX +8 POSSO calcolare non è un valore in cui una fungione ESERcialo 2.4.4 Esercizi live X-> +∞ Yo = lim = lim Y-> 0+ lieu X-> +∞ = live X→> +∞ lim X-> +∞ X-2 X-> +∞ 3x2+8 log (y) == ∞0 lim X→ +∞ ES: (USO DI UNA PROPRIETÀ log x log (x+1) log Yr live 8+个X Yo= віш log (1) +∞ log X-> +∞ live X +∞ Che = log X X X + 1 log (y) O +∞ X log ( x ) Genera x-2 3x2 +8 (x+1) X = X X+1 = 0 =) - X live X-> +∞ lime = = = 으 _lim ени X-> +∞ X-→ 1 еши X-> +∞ live liw X-> +∞ ∞+<--X = x X-> +∞X (1 √x+2) = DEI LOGARITMI) = еши X-> +∞ X X L+ log y X log (1) X+1 x( 1-²/² ) x² (3+) + live 1 8+个* ESEMPIO (FORMA INDETERMINATA ∞-∞) (√x+5 1 1+0 log (₁) X Cerchiamo un modo per eliminare il segno la forma indeterminata H =O √√√x+5 = PROPRIETA DEI 1) lage (a) + ļ 1 = yo Yo +∞ tra log (b) leu X→ +∞ n. log (a). = log (an) 2a) -1. log(a) = log (1) le of = LOGARITMI 1 √x+2 = funzione composta e Quotieme di funzione log (ab) stessa base ex 8 I logx ∞ 2 Radici (che é ão f.I √x+5 -√√x+² =(√√x+5 - √x+₂). √√x+5 + √x+2 √x+5 + √x+2 = live = = (√x + 5)² - (√x+2) ² √x+5 + √√x+2 ∞ + ←x 3 +∞ ESEMPIO: = liv X+5 X-2 3 √x+5 + √√√√x+2 √x+5 + X+2 виш X-> +∞ lieu ESEMPIO: 8+午〗 вни = = 8+个X (√x+5 •√x+2) X--> +∞ + ∞ (0 - 1) : = Yo = luu lieu Y-> +∞ O y = log x - √x + x √x +3 √₁ √x ( √ X-> +∞ ↑ = X>0 Perche _y²³ +1 y² +∞ (-1 +0) 1 + 2 (lag (x))² log (x)+1 log² (x) 3 - (log (x)) ³² + 1 = √x+5 + √√√x+2 + ¾/1/2 1 / 2-1) liv X-> +∞ X+5-(x+2) = z lim +∞ (1)==∞ lim X-> +∞ X->+∞ = +∞ = log (x) = +∞0 ∞ 8+个x 3 live Y-> +∞ √√x+5+ √√x+₂ x (√x - 1) √x (1-³) live √x log Y-7+00 +∞ (-1)==∞ ∞+<-x lime X-7 +∞ f. I = 3 - y² + 1 y² log x = + ∞ = yo lime X->+∞ Yo = lim lime Y→ 1 1+ 3/2 lim x (√x - 1) x-> √x - √1+3 (12-1) mix X-> +∞ y ² (-₁ + 1₂)_ y² Oss: √x+5 e di Y = log (x) PER X->+∞0 √x+2 live Y →→ +∞ 1+ NY = 1 buona definizione 3 X (a+b) (a-b) || a²b² 2 Y. lime Y→→ +∞ Razionalizzazione dei Radicali sicuramente non hanno problemi 2 T (x>0) √ab = √a· √b (a,b > 0) (+ão -1) 1 + ∞ + 3/8 r > 스 3 log ³ (x) = (log(x))" log(x) = y (-₁+4) F(x)= 8cx) Df = Df n √ x 1 f (x) #0 { f(x)= + ∞ live X-> ? +∞ On applicazione dei FOX= e f(x) f: Df→ R Dp = fx € Df 1 8(x) *0] . 40 } f(x) = of se Yo= lim se Yo = pe yo = X-> Xo live X-→ Xo live х-ухо lice х-> Хо live X-> Xo se Yo= если limiti di funzioni composte alla trasformazione di un X-7 Xo Mono to nia f(x) = 0 / / f(x) = ± ∞₁ = +∞ live X-> Xo х-ухо s live х-ухо f(x) s 8(x) s lime X-> Xo f(x) &x) = log (f(x)) = +∞0 f(x) = 0+, lim ху хо Segno (se possibile studiando): f(x) > 0 f = +∞ Monotonia : se f(x) é crescente, F(x) é decrescente e (viceversa) F(x) = log ( f(x) f: Df →→ R -> Dp = fx € Df 1800 >0} se Yo= = = ∞ ot log (f(x)) = lim | Crescente EF Crescente y >0+ <=> f (x) > 1 Grafico log y = = ∞ ; Segno : f (x) > 0 <=> F(x) > 0 20 f Esercizio A Esercizi a) lime 221 b) lime X-74 b) २.२.२ c) X-> 3 a) lime X-> 2 2.2.3 a) lim 2 live x+4+ 4-X (-2x+10) (4x+1). 4 live x>-1+ X+1 8+个X b) live il GRAFICO di F(x) = e X->+∞ с) вiш 3 X-> +∞ X-2 X+3 2x -1 1-X 2 = live X-> 4 2(3)+1 = 12 + 1 = 13 = 3 (2-2) 11 3x+7 = 5 2 4-2+ 7 f -1²+1 -0+ 818 = 81100 = +∞ -2 (4) + 10 = = e f(x) 3 =+∞ 0° f. I = = + ∞ 2 of = 1 1 f (x) 8 -8+10= 2 l = 13 F(x) = log ( f (x) F(x) > 0 log (800) > 0 f (x) > 1 e = − ∞ l= = ∞ 0² Se l= +∞ DEO X (1+3) X(2-1) = l = 2 ०८४८द ocs≤ ²³/12 <=> 0< 8≤ 7²/20 o c fs = 10 l = 1 0< d < = 2.3.4 a) live °x <-x live X-> Xo b) lime c) lime X →>Xo 2.3, 2 x→xo a) liev b) lim x-> Xo с) если °x <x 6) lim c) live X→xo f (x) x→→ Xo g(x) 2.3.4 cx <x a) lime b) lin ox <x Sapendo cx<x c) lim (f(x - g(x)) (g(x) + goo) = 2.33 Sapendo a) lime (800) - 8(x)) = X-→>x> (4-14) S(x). g(x) ху хо f (x) 8ck) f (x) g(x) = che Sapendo che 8 = = ¥! 142 Sapendo f(x) g (x) = 0.8= f(x) 승= geo f (x) · g(x) = Cx). если X→>Xo f 0 +8= 8 che live f(x=d хэхо che (f(x) + g(x)) 7.1² = 98 l 8(x) g(x)= 1.0= plo 2 если X->Xo O L = 0 = I - f(x) = f 8 (x) = 0 =0+0 0.0 こ 12 live X->Xo O lim f (x) X→→→X. →→ (non si è 15 O , live X->Xo g(x) = 0 O = 0 1 live х-хо ейи X→>X Esercizi 2.3.1 Sapendo che lim f(x) = 7, lim g(x)= 14, calcolare: 2-410 | 2-420) TH a) lim (f(r) - g(x)); b) lim f(z)g(x); c) lim 1-110 HITO DHTI g(x = 14 OATH HINO HIHO HIIN 1-170 2.3.2 Sapendo che lim f(x) = 0, lim g(x) = 8, calcolare: f(x) a) lim (f(x) + g(x)); b) lim f(x) g(x); c) lim z-zo g(x) f(x) = 1, lim g(x) = 0, calcolare: ƒ(1) 1-10 g(x) 2.3.4 Sapendo che lim f(x) = 0, lim g(x) = 0, calcolare: f(x) a) lim (f(x) + g(x)); b) lim f(r)g(x); c) lim + g(x) 2.3.3 Sapendo che lim a) lim (f(x)-g(z)); b) lim f(x) y(x); c) lim H-20 1-170 H-HO H-20 OHTI g(x)=8 calcolare: in grado di sapere HIN HIZO 2.3.5 Sapendo che lim f(z) = +0o, lim g(x) = 2, calcolare: [(x) a) lim (f(z)-g(t)); b) lim f(x)g(z); c) lim - g(x) HITO 1-10 g(x) = 0 => f. I (forma indeterminata) f(x) 1-10 g(x) DITH se + ∞0 OPPURE -∞) 2.3.5 Sapendo che live X-> Xo a) lim ox <- x b) lice X->Xo c) liver 2.3.6 a) live °x4x °x 4x b) live c) lime 0x<-x X-→->Xo 2.3.7 b) live хухо a live c) lime b) lime f. g(x) X->> +∞ X→ +∞∞ (8 (x) = g(x)). c) lim X +∞ 8 Cx) g(x) Sapendo S g(x) f (x) хухо д (х) 2.3.10 Sapendo che Sapendo che f(x) g(x)= = f (x. ga 11 8 Cx) g (x) +∞ (1 - (800- gcx)) = +∞0 -0 = a) live (84x)- g(x)) = -4-∞0= x-> Xo = x/8 +∞. 2 = 4 f (x). g (x)= = che live 8(x) = +∞ X→xo = नाक 11 -∞+ = -4. live х- хо f(x) = +∞ lim +∞ + ∞.0 = = _2.5 08/15 2 live X-> +∞ (g(x) - gcx)) = 2 - (+5) ૧) - +∞ f(x) = -4 S ∞ = = = 10 +∞ +∞ F.I f(x) = 2 +∞ + ∞ = -3 X-→xo 1 live lau g(x) х-> хо lice X-7 хо (non possiamo stabilire se é + ∞ ∞+4-x = 2 g(x)=0 g(x)= - calcolare: g(x)=5 calcolare calcolare 0 -∞) 2.3.12 a) lim b) live 8+个X c) live X-→+∞ 2.3.14 a) live 8+个X b) live X-> +∞ c) lime 8+4-X live ● live X→ +∞ la funzione Y= 2x³ ∞+个X f(x) x-> xo g (x) 仅+个X si ha 2.4.1 ESERCIZIO che 2.4.3 • live X-> ени x-> - e limu 2x³=+∞o - live X-> +∞ (f(x) = g(x) = 6 - 0 = 6 f (x) · g(x) = 6.0 = 0 liw X->+∞ live ∞ (fax) - g (x)). f (x) g (x) 2 x ²³- 3x² Y = f (x) g(x)= +∞ 3= +∞ =+∞ 3 live X→→ + 8+个X f(x) = 6 e 11 f (x)= +∞ x³ = 9-189- S + ∞ x³ (2-3x²³²) = x²³(2-3/) x². + ∞ ∞ liv X-> +∞ f(x) = 2x²³ - 3x² può essere INTERPRETata come - 3x² + ∞ G 8) = -3x² (2-3) = 2 lim X->+∞ (-5x+x) x3 (-5 = +∞ bu X->> +∞0 88 live => g(x) = 0 X-7+∞ g(x) = 3 → analizando + - + X Cal colare i seguenti Limiti (dx² + 5x-1) - x² (²+)-(13) --- (2x³+ x3 2+5 = lim X-> +∞ 3/1 = 3=0 3 -5x³ COST si ha una FORMA INDETERMINATA DEL TIPO [+∞0-∞] Somma seракатамепте = + ∞ DQ Qui 2x²³²-3x² = + ∞ Deule funzioni Singoli fattori concludiamo • live . X +∞ • ESEMPIO live - <x - live x → +∞ ESEMPIO 2.4.6 live X-→-- ∞ lime X->> +∞ ESEMPIO а) если N° 2.44 (- 2ײ+3x²+5) = x² (-2 -2x³¹+ x +4 Sx3- x2 b) lime -x³-x²+x+1 2x² + 5x - 7 2.4.7 x-> +∞ lime X-> +∞ live X-> +∞ SX+2 _*(5+ x³-4x X²² (₁- 3x2+x - 2x² +9x + 10 log X-> +∞ log X X+1 = X = X+1 **(-1 X x² (2+1 × x+1 = 1 X || x³(-2+2+3) x ³ (5-4) X log x - log (x+1) + X log 1 = 0 = B x² X²² (3+1) x=(-2+1 2 X || + live X-> +∞∞ 275 XN 11 | 1) OCCORR log X 2x4 x X+1 ∞ MIN 2 2Re PRIMA STUDiare Deu'argomento Del = 11 I ∞ (1 810 11 COMPORTamento LOGARITMO lim x-> +∞ lime X-> +∞ lim X-> +o PER X→→→> +∞ log (X) = + ∞ X+1 = 1× •X (₁+1). " +∞ - 스 818 X log(x+1)= log (X) DA SAPERE lim f(x) I lim f(x) se: se: +∞ -∞ + l 0 X eso ex m l20 lx m eem sono m 40 8 J l to lim f (x) + ∞ +∞∞ 1 O i l+m ∞ е lim f(x) = lim g(x) = m m +∞ ܘܢm 0 ∞ numeri Reali! m40 l m me ∞ allora lim g(x) →lim +∞ + ∞ + SOMMA ∞ f.I M CO exm exm 0 lim g (x) O 20 = f.I m 10-00 f (x) g(x) lim g(x) O - +∞ f.I Forme indeterminate f.I O 0 f. I • ∞ Hoo ∞ ∞ lim pas OF. I F.I +∞ 6 = ∞0 € - 0 € 1 0 ∞ +∞ f. I + ∞ live g(x) O F.I. → + ∞ +∞ - ∞ = ∞ O F.I f. I line (f(x) + :goo) • line (foo. g(x) = l m F.I T +∞ - + +∞- +∞ F.I -∞ Divisione : 010 MOLTIPLICAFIONE f. I-D 1 8. 8 +2 + T + + 818 +∞.0 ∞+∞ = lim f(x) + lim g(x) = l + m lim f(x) lime g(x) = l.m +∞-∞-∞+∞ 0.(+∞o) 0.(-∞) too. (o) 1. t + ∞ 8/8 élő 0₁ + 1.+ 818 • live ● x--> +∞ live X> +∞ • lim X-> +∞ live k + X x = n et log k = + 8 (x) = + ∞ live = +∞ X->-∞ x" liw x->0+ lie X-7 = ∞ log + ∞ X X e =0 ∞ == in Generale, con Riferimento al COLCOLO Quando l'argomento f (x) tende a + ∞, il LOGARITMO tende a +∞; Quando l'argomento f (x) TenDe a Quando l'argomento f (x) Tende AD on Dende a loge se se ∞ IMORTANTEI h PaRi n DISPARI LOGARITTI DEL Limite Della funzione log f(x) il LOGARITMO Tende a -∞; numero exo, il LOGARIMO ESPONENTIALE " In Generale con Riferimento al calcolo Del umitе Quando l'esponente f f (x) Tende a +∞, la funzione Quando l'esponente f (x) TenDe a -∞, la funzione esponentiale Tende a o Quando l'esponente f (x) TenDe aD un numero e, La funzione esponenziale ee Tende a 8(x) Della funzione e esponentiaLe Tende a + ∞; I PRIMI CALCOLI DI LIMITI : LIMITE DI una funzione costante LIMITE DI UNA FUNAIone LIMITE DI una funzione Polinomiale LIMITE DI LIMITE DI Una funzione LOGARITMIca: lim es: 2.4.1 → 2.4.3 2.4.2 1) live ▷ lime ▷ live X-> ▷ live ∞ + 4X 2.4.4. a) lime una funzione polinomiale FRATTA lim ∞-4x 2) live b) lime 3) lime X+∞ live X-7 + ∞ x →-∞ 8 X --> +∞ x +∞ Potenza → X-7 +∞ x+∞ lun x-> 0+ In generale, con riferimento al calcolo del limite della funzione & cx), quando l'argomento Cx) Tende a + ∞, il logaritmo tende a +∞ : quando l'argomento & c) tende a of ‚il logaritmo tende a-∞; quando l'argomento £cx)tende ad un numero è>o, il logaritmo tende a loge. LIMITE DI Una funzione esponentiaLe → →Sina che 5x+2 3 x ³-4x log 2x²³² + 5x + 8 -x³ − x² + x + 1 2x² + 5x - 7 2x²-3x² (5x³ + x² ) = live 3x² + x4 - 2x² + 9x + 10 X X+1 f(x) + ∞, In generale, con riferimento al calcolo del limite della funzione eª quando l'esponente fx Tende a la funzione esponenziale tende a quando l'esponente g(x) Tende a -∞, la funzione esponenziale tende ao : quando l'esponente. Tende ad un numero La funzione esponenziale tende a ее 8+个X lime (-2x² + 3x² + 5) 8+个X =7 liv log x - log (x+1) × lim = x (5+ x ³(₁-x²) = lim X->±∞ lim X-> +∞ 8-48 = X->-∞ 20 log X-> log x Intera→ x live lim -xxx x->+002x* 1+X X +1 X = +∞ k=k 88- x=+∞ X-> +∞ (3+1 *²1-263 tot 8 SX = 5 x32 +00 live X-> +∞ n-i aox" + a₁x + X e* log 15 F.I 3 xec tế sẽ tạo + = = -2x² -8 x²³ ( ₁² + √²+3 = 2x² - - x² 3 = = / & 18 _*(1 + (1²) lim 2 ∞-4-x X log X+1 X ∞+= --³-3-4 live n-1 n m-1 aox" + a₁x + box + b₁x log x X = x+∞ 811 A 11 n x = olx 11 + An-₁ X + an = live + 80-2-x 810 8] દ x³(2 = +∞ 음.. е –8 8 oll •s.. = sen pari sen DISPARI lim X-→=∞ + An X + an + bm-1x +bm ZERO SU INFINITO FA ZERO!! = 3 2x = Doxn aoxn boxm +∞ Doccorre den' OR GOmeo del logaritmo X→+∞ STUDIORE 11 comportamenta Poiché il numeramoRe TenDe a O ed il denominaTORe Tende a +∞0. il rapporto теndea а эего / 2.4.5 ➤ live 2x+5= -0 → e 2x+5 2.4.6 X->-∞ x a) live b) lime x--7-∞ c) lim ∞-<-x ∞ + 4x d) live X→+∞ 2.4.7. a) lim live b) live 81个X live 2.4.3 X +∞ b) live = = 2.2.4 X→+∞ ↓ 8-4x f(x) = √√4x²+3 8+X 14x² +3 2x ex x+2 1-X -1. a) lim [ f(x) + g(x)] = live lieve X +∞ 4x²+3-4x²² √4x²+3+2x x². X440 a) lim 88 O O b) live [ f(x) = g(x)] = √√4x²+3 live e²x+s × X->+∞ c) lieu X--> +∞ 2 4x² +3 = X+2 ∞+4x X-> +∞ = log x =40 = log +∞ = 2x-3 0 too lim X +∞ +∞ (√√4x²+3 -2x)= live 8 log X→ +∞ = = = g(x) = 2x x²log x x²_4 X-3 log ∞ 2 x²-3x - 2 3x²+x-4 = SI osservi che l'esponente Dena funzione esponentiale Temple a a 0, mentre il denominatore i numeratore √x² (4+ 3₂) 2x 3 √4x²+3 + 2x 0 –8 √√4x²+3 + 2x => Poiche TUTTI GLi appendi Tendono a + ∞ lim x → +∞ = x ²² (₁- 1- 8+个X X(₁+ + ∞ 2x = +∞ S + ∞ *( *² (3 x-2 = live 3x² +8 вод o =18 २४ 1-X live X-> + ∞∞ X->> +∞ Calcola Re: " TenDe -X√ (4+1 = 1 (√4x²+3 -2x) (√4x43 +2x) (√4x²+3 + 2x) · +∞ = +∞ x-2 3x+8 live 2 4 X X-3 = 8+个X 2x = +∞ 1-X = 1- (+∞0) = = f.I -رس = ∞ [gcx)+ gcx] x²/(1- ko- XC₁. x ²(34 - = xاد l ܝܙ 3x O = +∞ ∞+= 8 U 8/8 TenDe a Per superare la forma InDeterminata si OPERA NEL MODO seguente: F.I -∞ e quindi ∞ RISULTA che. √√√x²= |x|=-X si na che 2x =+=(1 海