Introduzione allo studio della Fisica Analisi degli errori

Didascalia alternativa:

scienza è chiamato Metodo Scientifico ed è stato definito e applicato, per la prima volta da Galileo Galilei, quest'ultimo introdusse anche l'utilizzo di strumenti di misura per rendere le osservazioni il più possibile accurate. Misura diretta: confronto numerico con un riferimento detto campione unitario; deve godere delle proprietà di: Riproducibilità Misura indiretta: quantificazione di una grandezza legata a quelle misurate tramite una relazione matematica. Sistemi di unità di misura Le leggi della fisica ci permettono di minimizzare il numero di unità di misura necessarie. ● ● Le grandezze fisiche ottenute dalle fondamentali tramite le leggi della fisica si dicono derivate. La scelta delle grandezze fondamentali e delle loro unità di misura definisce il "Sistema di unità di misura". La scelta del sistema di unità di misura è completamente arbitraria. Un'unità di misura deve restare costante nel tempo e dev'essere facilmente riproducibile. Due grandezze hanno le stesse dimensioni fisiche se sono omogenee tra loro, cioè possono essere misurate in rapporto alla stessa unità di misura. Queste grandezze omogenee possono essere sommate e confrontate tra di loro. (Non è possibile sommare due grandezze non omogenee come il tempo e la lunghezza). I numeri puri come , 2 o √3 ovvero quei numeri privi di unità di misura, vengono detti Adimensionali. ● Le grandezze fisiche per cui è necessario definire una unità arbitraria (tramite campione) si dicono fondamentali. ● grandezze fisiche non omogenee possono moltiplicarsi o dividersi Le funzioni trascendenti (non sono algebriche, cioè in cui non compaiono solo operazioni di tipo algebrico: addizione, sottrazione, moltiplicazione, divisione, potenza) possono applicarsi solo a grandezze adimensionali. Il Sistema Internazionale (SI) GRANDEZZA Lunghezza Massa Intervallo di tempo Intensità di corrente elettrica Temperatura termodinamica Quantità di materia Intensità luminosa UNITA' Metro Kilogrammo Secondo Ampere Gradi Kelvin Mole Candela SIMBOLO m Kg S A K mol cd L'esigenza di un sistema di misura universale nacque nel diciottesimo secolo, con il pieno affermarsi del metodo sperimentale. l'enorme numero di unità di misura in uso nei diversi paesi rendeva difficile qualsiasi confronto tra i risultati ottenuti dai ricercatore nell'osservazione dello stesso fenomeno fisico. nel corso degli anni si sono andati sviluppando diversi sistemi di misura come quello assoluto di Gauss, ed infine nel 1960 venne adottato il sistema internazionale di unità indicato con la sigla SI. Da questo sistema sono state escluse varie unità di misura come il litro, la tonnellata o il quintale. Multipli e sottomultipli 10 Prefisso Simbolo 1024 yotta Y 1021 zetta Z 1018 exa E 1015 peta P 1012 tera 109 106 103 10² 101 10⁰ 10-1 deci 10-2 centi 10-3 milli 10-6 micro 10-9 nano 10-12 pico 10-15 femto 10-18 atto 10-21 10-24 ● T giga G mega M chilo k hecto h da ● ● eca d C V= m a= P n Р f zepto yocto y Equazioni dimensionali → Vengono considerate solo le unità di misura Area: [S]=[Lunghezza]x[Lunghezza]=[1²] Volume: [V]=[1³] Velocità: [v]=[Lunghezza]/[Tempo] = [1]/[t]=[lt-¹] Densità: [p]=[Massa]/[Volume]=[m 1-³] Una qualsiasi grandezza meccanica: [G]=[ma 1³tv] a Z In tutte le leggi della fisica la dimensione della grandezza che sta a sinistra dell'uguale è identica a quella della grandezza che sta a destra dell'uguale. Formula Fisica Significato Analisi dimensionale [L] velocità S t Nome Equivalente decimale Quadrilione 1 000 000 000 000 000 000 000 000 Triliardo 1 000 000 000 000 000 000 000 Trilione 1 000 000 000 000 000 000 Biliardo 1 000 000 000 000 000 Bilione 1 000 000 000 000 Miliardo 1 000 000 000 Milione 1 000 000 Mille 1 000 Cento 100 Dieci 10 Uno 1 Decimo 0,1 Centesimo 0,01 0,001 Millesimo Milionesimo 0,000 001 Miliardesimo 0,000 000 001 Bilionesimo 0,000 000 000 001 Biliardesimo 0,000 000 000 000 001 Trilionesimo 0,000 000 000 000 000 001 Triliardesimo 0,000 000 000 000 000 000 001 Quadrilionesimo 0,000 000 000 000 000 000 000 001 V F = ma L = Fs accelerazione [a] forza lavoro T² [F] = [M][L][T¹] [L] = [M] [L²][T¹] Concetto di Misura Misurare consiste nello stabile una corrispondenza fra certe proprietà dei numeri e certe proprietà degli oggetti. Il risultato di una operazione effettuata sui numeri è riferita ad una analoga operazione effettuata sugli oggetti. Misure dirette: si confronta la grandezza da misurare con uno strumento (sensore-trasduttore- amplificatore). (il confronto di una grandezza con un campione omogeneo assunto come unità di misura, es. la misura della massa di un corpo effettuata con una bilancia a bracci) Misure indirette: calcolo del valore della grandezza tramite una relazione matematica. (misurare indirettamente una grandezza significa ricavarne il valore attraverso una relazione matematica che la lega ad altre grandezze, dopo aver eseguito la misura di queste ultime) L'area si può misurare direttamente per confronto con un campione di superficie, oppure indirettamente utilizzando la formula matematica. Strumento di misura Non è possibile svolgere correttamente una misura se non si conosce nei minimi dettagli lo strumento che si utilizza. Lo umento è parte integrante dell'operazione di misura. Caratteristiche: Prontezza ● Intervallo d'uso, portata Range di linearità ● ● ● Sensibilità ● Precisione Accuratezza Precisione ed Accuratezza L'accuratezza di misura è legata alla presenza di errori sistematici: una misura e tanto più accurata quanto più la media XM dei valori ottenuti si approssima al valore assunto come vero Xv. il valore vero il valore teoricamente ottenibile con una misurazione perfetta. Diverso è il concetto di precisione di una misura, una misura è precisa quando, essendo ripetuto più volte nelle stesse condizioni, fornisce valori molto vicini l'uno all'altro, cioè concentrati intorno al valore medio Stima corretta Stima distorta Stima precisa ✿ Stima imprecisa La prontezza di uno strumento indica la rapidità con cui esso risponde a una variazione della quantità da misurare. Per esempio, una bilancia da cucina è uno strumento molto pronto: risponde subito a una variazione della massa da misurare. La portata di uno strumento è il più grande valore della grandezza che lo strumento può misurare. La linearità è la proprietà di uno strumento di misura di dare in uscita (lettura) valori che possano mettersi in relazione lineare con il segnale d'ingresso (misurando). La sensibilità di uno strumento è il più piccolo valore della grandezza che lo strumento può distinguere. Più è piccolo il valore della grandezza che si riesce a distinguere, maggiore è la sensibilità dello strumento. È impossibile fare una misura esatta: a ogni misura è associata un'incertezza, che può essere più o meno grande. Questa impossibilità è dovuta a due ragioni: gli strumenti hanno una sensibilità limitata, per cui non sono in grado di distinguere grandezze che differiscono per meno di una certa quantità; nel fare una misura, si compiono inevitabilmente degli errori. Principio base: Non è possibile misurare il valore "vero" di una grandezza fisica. Soluzione: bisogna stimare l'errore connesso inevitabilmente al valore misurato Distinguiamo: ● Errori Sistematici ● Errori Causali Errori sistematici Sono errori difficilmente identificabili perché non emergono con misure ripetute. Possono essere causati da: Difetti dello strumento (es. errore di taratura). Uso dello strumento in condizioni errate (es. sovraccarico, erronea alimentazione, temperatura di esercizio, ecc.). Errore di stima dello sperimentatore (es. errore di parallasse). Perturbazioni esterne (es. presenza di polveri o campi elettromagnetici). Perturbazione della grandezza da misurare a causa l'operazione di misura stessa. Uso di formule errate o approssimate nella misura indiretta. ● ● ● ● ● Riduzione degli errori sistematici ● Misurare la stessa grandezza con strumenti indipendenti ● Effettuare una nuova calibrazione lo strumento Utilizzare un Logbook delle prove in cui sono contenute tutte le informazioni ● Errori casuali Gli errori casuali causano la fluttuazione del valore misurato nel caso di misure ripetute della stessa grandezza fisica nelle medesime condizioni. ● Sono riducibili migliorando l'operazione di misura ● Non sono completamente eliminabili La presenza di errori casuali è accertabile con qualsiasi strumento sufficientemente sensibile Sono casuali e non prevedibili. Sono comunque trattabili da punto di vista statistico. ● ● Studiare sempre ed accuratamente il manuale dello strumento L'errore casuale è un'incertezza sulla misura che dipende da fattori imprevedibili. Questi possono alterare sia per difetto che per eccesso il valore della grandezza misurata. In una serie di N misure ripetute, il valore più attendibile della grandezza è la media aritmetica dei valori misurati. Si dicono cifre significative di una misura le cifre note con certezza più la prima cifra incerta Cifre significative Per rappresentare l'errore (8x) si utilizzano una, o al più due cifre significative. Di conseguenza la misura x viene rappresentata con lo stesso numero di cifre significative. La rappresentazione della misura viene indicata con x ± 6x δχ X è detto errore relativo L'errore relativo è il rapporto fra l'errore assoluto di una misura e il valore x della misura stessa Esempio: Misurando l'accelerazione di gravità ottengo g = 9.81829382 con un errore 8g = 0.0323451. La mia miglior stima è g = 9.818 ± 0.032 con un errore relativo 0.003, cioè dello 0.3%. Errori nella lettura di strumenti digitali Uno strumento digitale fornisce direttamente il valore della misura in cifre. Bisogna però considerare che non conosciamo il valore della cifra meno significativa. Per esempio, se la mia bilancia misura 10.6 g, non so se la massa è 10.58 g oppure 10.62 g. Posso dire che la mia massa ha un valore di 10.60 g con un errore di 0.05 g (10.60 ± 0.05 g o 10.55 ÷ 10.65 g). Devo però considerare anche l'errore associato allo zero della scala, quindi l'errore totale è ±0.1 g. La corretta rappresentazione delle misura è m = 10.6 ± 0.1 g L'errore associato alla lettura digitale è quindi pari all'ultima cifra significativa. NB: Devo considerare anche l'errore percentuale dello strumento, che è in genere dominante. Errori nella lettura di strumenti con scale graduate δχ 0.2 q= q=x+...u-... →8q X...Z U... W 100 è detto errore percentuale -0.2 è posto esattamente davanti ai nostri occhi, la lettura del valore risulta falsata. Misure indirette: propagazione degli errori massimi AP= -0.025±0.005 bar Più conservativo: Quando utilizziamo una equazione, dobbiamo valutare come gli errori massimi sulle misure si propagano sulla quantità calcolata. q=x" → Intervallo: 0.1/5 = 0.02 bar AP = -0.03±0.01 bar dq q Quando si usano strumenti dotati di un indice mobile, è frequente incorre nel cosiddetto errore di parallasse, dovuto al fatto che l'indice non giace sullo stesso piano su cui tracciata la scala graduata. l'indice appare proiettato su punti diversi della scala seconda della direzione di osservazione. Così, se lo strumento non dz du +...+ + Z u = √x +...+ du +... dq dx q X q = Kx → &q= |K|8x dx = n- X + + Sw W La propagazione degli errori è un problema che si presenta ogni volta che viene eseguita una misura indiretta. Misure indirette: propagazione degli errori indipendenti Quando utilizziamo una equazione, dobbiamo valutare come le incertezze indipendenti sulle misure si propagano sulla quantità calcolata. Si effettua quindi una somma in quadratura degli errori. q = x + ... − u − ... → dq = √√(6x)² + ... + (du)² + q= X. Z U... W SV = 2 √(**) ²³. Esempio di propagazione degli errori бр P = +...+ q=x" → q= Kx → dq = |K|6x dq q dz Z = n 2 m = 53.5±0.2 mg a = 2.72 ± 0.01 mm b=2.06±0.01 mm c = 2.11 +0.01 mm 2 2 (√( m ) ² + (SV) ²) m 1.080 ± 0.035 g/cm³ Misura della densità media di un acino d'uva Greco di Tufo. dx + X 2 δυ (SU) ². 2 2 2 da ( ² √ (²9) ² + (6) ²³ + (6) ²) b +...+ V = πabc = 49.523 mm³ p== 1.0803 g/cm³ V = 1.6 mm³ p = 0.035 g/cm³ dw W 2 Analisi degli errori e statistica Supponiamo ora di effettuare misure ripetute di una quantità e di ottenere risultati che fluttuano a causa di errori sperimentali non quantificabili. Possiamo considerare le variazioni i una grandezza fisica dovute agli errori sperimentali come se la grandezza non sia affetta da errori ma Misura con errore → Misura di una variabile casuale senza errore sia una variabile casuale. ⇓ Utilizzo dei metodi della statistica descrittiva errore casuale • il valore più probabile è la media aritmetica x = • calcoliamo lo scarto quadratico medio N x1 + x2 + + XN Σk=1Xk N N 2k_1(xk - x)2 V N-1 • dx = s/√N, per un intervallo di confidenza del 68% • 6x = 3s/√N per un intervallo di confidenza del 99.7% (praticamente coincidente con il significato di 6x come errore massimo). • dx = zas/√N per un intervalli di confidenza del (1 - a) × 100% Dobbiamo utilizzare una sola di queste convenzioni comunicata e in fase di presentazione dei risultati. Esempio ● Si misura la velocità del suono come u = Xf, dove f è la frequenza mostrata sul quadrante di un oscillatore audio con incertezza strumentale del 1% (errore massimo) e λ è misurata con misure ripetute di massimi in una colonna d'aria risonante. I dati sono f = 2000 ± 20 Hz e λ = ñs/√N = 0.112 ± 0.005 m. Il valore di u è 224 m/s. Per l'errore dobbiamo valutare S= 2 · ( √ ( ² ) ² + ( + ) ²) Quindi, la miglior stima per u è u = 224 ± 30 m/s (stima a 30). du = u = 30 m/s L'equazione di propagazione degli errori permette anche una valutazione di quale grandezza influisce maggiormente sulla stima dell'errore finale. È quindi possibile valutare anche quale parte del processo di misura deve essere migliorato e se uno degli strumenti utilizzati risulta essere troppo sensibile rispetto agli altri. Per esempio, se consideriamo i due errori relativi abbiamo of /f = 0.01 e 382/2 = 0.0135, quindi entrambi gli errori concorrono nella stessa misura alla valutazione dell'incertezza finale sulla quantità calcolata. Formula generale per la propagazione dell'errore Data una generica funzione q(x,..., z), noti x ±8x,..., z±dz. 2 əq ¹8x 280 Esempio: modello di popolazione di Malthus N(t) = Noe(x-μ)t 260 240 220 200 Considero una popolazione di No 100 cellule con tasso di natalità λ = 0.32 ± 0.02 h¹ e tasso di mortalità μ = 0.18±0.04 h-¹. Quanti individui mi aspetto dopo t = 5 h? 180 160 140 dq= 120 1004 0 Vax 0.5 +...+ 1 Conversione Ora-Minuti-Secondi N(5) = 100e(0.32-0.18)5 = 201 SN= (aN(t) 8x)² + (aN(t) Sµ)² 2 2 Valore atteso Low 95% IC High 95% IC 1.5 əq ¹8z 2 əz 2.5 3 3.5 =? 4 4.5 5 t=230s: 60= 3,83 minuti → 3m e 0,83 secondi 3m e 0,83*60= 3m e 50s t=136h:24h= 5,675g e 0,67h*24= 5g e 16,08h5g e 16h e 0,08*60= 5g 16h 4,8m*60= 5g 16h 4m 0,8s*605g 16h 4m 48s