Capire i Limiti in Matematica: Guida Semplice con Esempi e PDF

156

Eleonora Loi

17/07/2025

Matematica

Introduzione ai Limiti

Materie

Matematica

Relazioni e funzioni

Limiti e calcolo

Continuità e derivabilità di una funzione in un punto e in un intervallo

4496

•

17 lug 2025

•

7 pagine

Capire i Limiti in Matematica: Guida Semplice con Esempi e PDF

Name: Knowunity
Brand: Knowunity

Eleonora Loi

@eleonora_notes

Il limite di una funzione matematicadescrive il comportamento di... Mostra di più

I limite
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-Xo
1° CASO
Liketi Di FUNZIONE:
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2
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ogni intocno completo di Xo, contiene
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Limiti all'infinito e asintoti

Questa pagina approfondisce il concetto di limiti all'infinito e introduce gli asintoti verticali.

Definizione: Un asintoto verticale si verifica quando il limite della funzione tende all'infinito mentre x si avvicina a un valore specifico che non fa parte del dominio della funzione.

Si analizza il comportamento di funzioni quando x tende a valori sempre più grandi $positivi o negativi$ .

Esempio: Per la funzione f $x$ = $3x-2$ / $x-2$ , quando x tende all'infinito, il limite è 3.

Highlight: È fondamentale distinguere tra funzioni che crescono indefinitamente e quelle che tendono a un valore finito all'infinito.

Funzioni crescenti e decrescenti all'infinito

Questa sezione si concentra sulle caratteristiche delle funzioni crescenti e decrescenti quando x tende all'infinito.

Per le funzioni crescenti:

Deve esistere un punto x₀ tale che per ogni x > x₀, f $x$ > M, dove M è una quota fissata sull'asse y.

Per le funzioni decrescenti:

Il limite per x che tende a +∞ è -∞.

Esempio: La funzione f $x$ = e^x è un esempio di funzione crescente all'infinito.

Highlight: Alcune funzioni, come sin $x$ , oscillano e non hanno un limite definito all'infinito.

Continuità e intorni

Questa pagina introduce i concetti di continuità e intorni, fondamentali per la comprensione dei limiti matematica.

Definizione: Una funzione f: A→R è continua in un punto x₀ ∈ A se lim $x→x₀$ f $x$ = f $x₀$ .

Si definiscono gli intorni di -∞ e +∞ come intervalli aperti illimitati.

Esempio: La funzione f $x$ = x² + 1 è continua in x = 1 poiché lim $x→1$ $x² + 1$ = 2 = f $1$ .

Highlight: La continuità di una funzione implica che il limite della funzione in un punto coincide con il valore della funzione in quel punto.

Discontinuità e tipi di discontinuità

Questa sezione esplora i diversi tipi di discontinuità che una funzione può presentare.

Definizione: Una funzione è discontinua in un punto x₀ se non è continua in quel punto.

Si distinguono tre tipi principali di discontinuità:

Discontinuità di prima specie: Il limite sinistro e destro esistono ma sono diversi tra loro.
Discontinuità di seconda specie: Almeno uno dei limiti laterali è infinito o non esiste.
Discontinuità di terza specie: I limiti laterali esistono ma almeno uno di essi è diverso dal valore della funzione in quel punto.

Esempio: La funzione f $x$ = 1/x ha una discontinuità di seconda specie in x = 0.

Funzioni continue e loro proprietà

Questa pagina approfondisce le proprietà delle funzioni continue e fornisce esempi di funzioni elementari continue.

Highlight: Le funzioni polinomiali, esponenziali, logaritmiche e goniometriche sono continue su tutto il loro dominio.

Si analizzano i limiti di queste funzioni per x che tende a +∞ e -∞.

Esempio: Per f $x$ = x^n, con n pari, lim $x→+∞$ f $x$ = +∞ e lim $x→-∞$ f $x$ = +∞.

Vocabulary: Asintoto orizzontale: una retta orizzontale a cui la funzione si avvicina indefinitamente quando x tende all'infinito.

Limiti di funzioni elementari

L'ultima pagina riassume i limiti delle principali funzioni elementari, fornendo una guida rapida per la lettura grafici funzioni.

Per le funzioni esponenziali $f(x$ = a^x, con a > 1):

lim $x→+∞$ f $x$ = +∞
lim $x→-∞$ f $x$ = 0

Per le funzioni logaritmiche $f(x$ = log_a $x$ , con a > 1):

lim $x→+∞$ f $x$ = +∞
lim $x→0⁺$ f $x$ = -∞

Highlight: È importante notare che alcune funzioni non sono definite per certi valori di x, come log $x$ per x ≤ 0.

Example: Per f $x$ = a^x con 0 < a < 1, lim $x→+∞$ f $x$ = 0 e lim $x→-∞$ f $x$ = +∞.

Questi concetti sono fondamentali per la comprensione dei limiti dal grafico e per la risoluzione di esercizi limiti dal grafico pdf.

Introduzione ai limiti di funzione

Questa pagina introduce il concetto di limite di una funzione. Il limite descrive il comportamento di una funzione f $x$ quando l'argomento x si avvicina a un valore specifico x₀, che può essere un numero reale o infinito.

Definizione: Un punto x₀ è un punto di accumulazione di A se ogni intorno completo di x₀ contiene almeno un elemento di A diverso da x₀.

Si esaminano due casi principali:

Quando x tende a un valore finito x₀
Quando x tende a infinito

Esempio: Per la funzione y = x + 1, il limite per x che tende a 1 è 2, ovvero lim $x→1$ $x+1$ = 2.

Highlight: È importante notare che non si può sostituire direttamente il valore di x nel caso di funzioni che presentano discontinuità o asintoti verticali.

Pensavamo che non l'avreste mai chiesto....

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Il nostro assistente AI è costruito specificamente per le esigenze degli studenti. Sulla base dei milioni di contenuti presenti sulla piattaforma, possiamo fornire agli studenti risposte davvero significative e pertinenti. Ma non si tratta solo di risposte, l'assistente è in grado di guidare gli studenti attraverso le loro sfide quotidiane di studio, con piani di studio personalizzati, quiz o contenuti nella chat e una personalizzazione al 100% basata sulle competenze e sugli sviluppi degli studenti.

Dove posso scaricare l'applicazione Knowunity?

È possibile scaricare l'applicazione dal Google Play Store e dall'Apple App Store.

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Recensioni dei nostri utenti. Ci adorano - e anche tu, vedrai .

4.9/5

App Store

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L'applicazione è molto facile da usare e ben progettata. Finora ho trovato tutto quello che cercavo e ho potuto imparare molto dalle presentazioni! Utilizzerò sicuramente l'app per i compiti in classe! È molto utile anche come fonte di ispirazione.

Stefano S

utente iOS

Questa applicazione è davvero grande! Ci sono tantissimi appunti e aiuti con lo studio [...]. La mia materia problematica, per esempio, è il francese e l'app ha così tante opzioni per aiutarmi. Grazie a questa app ho migliorato il mio francese. La consiglio a tutti.

Samantha Klich

utente Android

Wow, sono davvero stupita. Ho appena provato l'app perché l'ho vista pubblicizzata molte volte e sono rimasta assolutamente sbalordita. Questa app è L'AIUTO che cercate per la scuola e soprattutto offre tantissime cose, come allenamenti e schede, che a me personalmente sono state MOLTO utili.

Anna

utente iOS

È bellissima questa app, la adoro. È utilissima per lo studio e mi aiuta molto, anzi moltissimo, ma soprattutto mi aiutano molto i quiz, per memorizzare anche quello che non sapevo

Anastasia

utente Android

Fantastica per qualsiasi materia avere gli appunti anche di altre persone è molto utile perchè posso confrontarmi e vedere come migliorarmi. con i quiz riesco ad apprendere al meglio.

Francesca

utente Android

moooolto utile,gli appunti sono belli e funzionanti,schoolGPT da dei consigli formidabili!!

Marianna

utente Android

L'applicazione è semplicemente fantastica! Tutto ciò che devo fare è inserire l'argomento nella barra di ricerca e ottengo la risposta molto velocemente. Non devo guardare 10 video di YouTube per capire qualcosa, quindi risparmio tempo. Consigliatissima!

Sudenaz Ocak

utente Android

A scuola andavo malissimo in matematica, ma grazie a questa applicazione ora vado meglio. Vi sono molto grato per aver creato questa app.

Greenlight Bonnie

utente Android

Knowunity è un applicazione fantastica,considerando che ha degli schemi veramente molto carini e sfiziosi e che ci sono dei quiz,oltre al fatto che questa cosa dell intelligenza artificiale "school gpt" è almeno per me molto utile, perché a differenza di Chatgpt ti da le spiegazioni, ti spiega ciò che non è chiaro! Posso studiare più velocemente tramite gli schemi e che posso pubblicare io stessa gli schemi è una funzione utilissima per gli altri studenti. Knowunity è PERFETTA

Aurora

utente Android

L’app funziona benissimo e puoi trovare qualsiasi tipo di informazione. Non ho l’abbonamento ma la parte gratuita è sufficiente per uno studio approfondito.

Martina

utente iOS

in questi ultimi mesi di scuola dove il tempo è ormai poco, mi sta aiutando molto perché piuttosto che farmi io gli schemi su quello che leggo sul libro guardo questi già fatti e li uso come ripasso piuttosto che rileggermi tutto il libro

Chiara

utente IOS

Questa app è una delle migliori, nient’altro da dire.

Andrea

utente iOS

Stefano S

utente iOS

Samantha Klich

utente Android

Anna

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Greenlight Bonnie

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Andrea

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Il limite di una funzione matematica descrive il comportamento di una funzione quando l'argomento si avvicina a un valore specifico. Questo concetto è fondamentale per comprendere la continuità e i punti di discontinuità di una funzione.

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Limiti all'infinito e asintoti

Questa pagina approfondisce il concetto di limiti all'infinito e introduce gli asintoti verticali.

Definizione: Un asintoto verticale si verifica quando il limite della funzione tende all'infinito mentre x si avvicina a un valore specifico che non fa parte del dominio della funzione.

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Funzioni crescenti e decrescenti all'infinito

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Per le funzioni crescenti:

Deve esistere un punto x₀ tale che per ogni x > x₀, f $x$ > M, dove M è una quota fissata sull'asse y.

Per le funzioni decrescenti:

Il limite per x che tende a +∞ è -∞.

Esempio: La funzione f $x$ = e^x è un esempio di funzione crescente all'infinito.

Highlight: Alcune funzioni, come sin $x$ , oscillano e non hanno un limite definito all'infinito.

Continuità e intorni

Questa pagina introduce i concetti di continuità e intorni, fondamentali per la comprensione dei limiti matematica.

Definizione: Una funzione f: A→R è continua in un punto x₀ ∈ A se lim $x→x₀$ f $x$ = f $x₀$ .

Si definiscono gli intorni di -∞ e +∞ come intervalli aperti illimitati.

Esempio: La funzione f $x$ = x² + 1 è continua in x = 1 poiché lim $x→1$ $x² + 1$ = 2 = f $1$ .

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Discontinuità e tipi di discontinuità

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Si distinguono tre tipi principali di discontinuità:

Discontinuità di prima specie: Il limite sinistro e destro esistono ma sono diversi tra loro.
Discontinuità di seconda specie: Almeno uno dei limiti laterali è infinito o non esiste.
Discontinuità di terza specie: I limiti laterali esistono ma almeno uno di essi è diverso dal valore della funzione in quel punto.

Esempio: La funzione f $x$ = 1/x ha una discontinuità di seconda specie in x = 0.

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Limiti di funzioni elementari

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Per le funzioni esponenziali $f(x$ = a^x, con a > 1):

lim $x→+∞$ f $x$ = +∞
lim $x→-∞$ f $x$ = 0

Per le funzioni logaritmiche $f(x$ = log_a $x$ , con a > 1):

lim $x→+∞$ f $x$ = +∞
lim $x→0⁺$ f $x$ = -∞

Highlight: È importante notare che alcune funzioni non sono definite per certi valori di x, come log $x$ per x ≤ 0.

Example: Per f $x$ = a^x con 0 < a < 1, lim $x→+∞$ f $x$ = 0 e lim $x→-∞$ f $x$ = +∞.

Questi concetti sono fondamentali per la comprensione dei limiti dal grafico e per la risoluzione di esercizi limiti dal grafico pdf.

Introduzione ai limiti di funzione

Definizione: Un punto x₀ è un punto di accumulazione di A se ogni intorno completo di x₀ contiene almeno un elemento di A diverso da x₀.

Si esaminano due casi principali:

Quando x tende a un valore finito x₀
Quando x tende a infinito

Esempio: Per la funzione y = x + 1, il limite per x che tende a 1 è 2, ovvero lim $x→1$ $x+1$ = 2.

Highlight: È importante notare che non si può sostituire direttamente il valore di x nel caso di funzioni che presentano discontinuità o asintoti verticali.

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Anna

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