Matematica

Limiti di Funzione e Asintoti

Limiti all'Infinito

Matematica

27 nov 2025

4524

7 pagine

Capire i Limiti in Matematica: Guida Semplice con Esempi e PDF

Eleonora Loi @eleonora_notes

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Il limite di una funzione matematicadescrive il comportamento di una funzione quando l'argomento si avvicina a un... Mostra di più

$# I Limiti lem f(x) $X \rightarrow Xo$ Il buite di uwa funzione f(x), descrive l'ondormento della funzione quondo l'orgomento x tende od u$

Limiti all'infinito e asintoti

Questa pagina approfondisce il concetto di limiti all'infinito e introduce gli asintoti verticali.

Definizione Un asintoto verticale si verifica quando il limite della funzione tende all'infinito mentre x si avvicina a un valore specifico che non fa parte del dominio della funzione.

Si analizza il comportamento di funzioni quando x tende a valori sempre più grandi (positivi o negativi).

Esempio Per la funzione f(x) = $3x-2$ / $x-2$ , quando x tende all'infinito, il limite è 3.

Highlight È fondamentale distinguere tra funzioni che crescono indefinitamente e quelle che tendono a un valore finito all'infinito.

$# I Limiti lem f(x) $X \rightarrow Xo$ Il buite di uwa funzione f(x), descrive l'ondormento della funzione quondo l'orgomento x tende od u$

Funzioni crescenti e decrescenti all'infinito

Questa sezione si concentra sulle caratteristiche delle funzioni crescenti e decrescenti quando x tende all'infinito.

Per le funzioni crescenti

Deve esistere un punto x₀ tale che per ogni x > x₀, f(x) > M, dove M è una quota fissata sull'asse y.

Per le funzioni decrescenti

Il limite per x che tende a +∞ è -∞.

Esempio La funzione f(x) = e^x è un esempio di funzione crescente all'infinito.

Highlight Alcune funzioni, come sin(x), oscillano e non hanno un limite definito all'infinito.

$# I Limiti lem f(x) $X \rightarrow Xo$ Il buite di uwa funzione f(x), descrive l'ondormento della funzione quondo l'orgomento x tende od u$

Continuità e intorni

Questa pagina introduce i concetti di continuità e intorni, fondamentali per la comprensione dei limiti matematica.

Definizione Una funzione f A→R è continua in un punto x₀ ∈ A se lim(x→x₀) f(x) = f(x₀).

Si definiscono gli intorni di -∞ e +∞ come intervalli aperti illimitati.

Esempio La funzione f(x) = x² + 1 è continua in x = 1 poiché lim(x→1) $x² + 1$ = 2 = f(1).

Highlight La continuità di una funzione implica che il limite della funzione in un punto coincide con il valore della funzione in quel punto.

$# I Limiti lem f(x) $X \rightarrow Xo$ Il buite di uwa funzione f(x), descrive l'ondormento della funzione quondo l'orgomento x tende od u$

Discontinuità e tipi di discontinuità

Questa sezione esplora i diversi tipi di discontinuità che una funzione può presentare.

Definizione Una funzione è discontinua in un punto x₀ se non è continua in quel punto.

Si distinguono tre tipi principali di discontinuità

Discontinuità di prima specie Il limite sinistro e destro esistono ma sono diversi tra loro.
Discontinuità di seconda specie Almeno uno dei limiti laterali è infinito o non esiste.
Discontinuità di terza specie I limiti laterali esistono ma almeno uno di essi è diverso dal valore della funzione in quel punto.

Esempio La funzione f(x) = 1/x ha una discontinuità di seconda specie in x = 0.

$# I Limiti lem f(x) $X \rightarrow Xo$ Il buite di uwa funzione f(x), descrive l'ondormento della funzione quondo l'orgomento x tende od u$

Funzioni continue e loro proprietà

Questa pagina approfondisce le proprietà delle funzioni continue e fornisce esempi di funzioni elementari continue.

Highlight Le funzioni polinomiali, esponenziali, logaritmiche e goniometriche sono continue su tutto il loro dominio.

Si analizzano i limiti di queste funzioni per x che tende a +∞ e -∞.

Esempio Per f(x) = x^n, con n pari, lim $x→+∞$ f(x) = +∞ e lim $x→-∞$ f(x) = +∞.

Vocabulary Asintoto orizzontale una retta orizzontale a cui la funzione si avvicina indefinitamente quando x tende all'infinito.

$# I Limiti lem f(x) $X \rightarrow Xo$ Il buite di uwa funzione f(x), descrive l'ondormento della funzione quondo l'orgomento x tende od u$

Limiti di funzioni elementari

L'ultima pagina riassume i limiti delle principali funzioni elementari, fornendo una guida rapida per la lettura grafici funzioni.

Per le funzioni esponenziali $f(x) = a^x, con a > 1$

lim $x→+∞$ f(x) = +∞
lim $x→-∞$ f(x) = 0

Per le funzioni logaritmiche $f(x) = log_a(x), con a > 1$

lim $x→+∞$ f(x) = +∞
lim(x→0⁺) f(x) = -∞

Highlight È importante notare che alcune funzioni non sono definite per certi valori di x, come log(x) per x ≤ 0.

Example Per f(x) = a^x con 0 < a < 1, lim $x→+∞$ f(x) = 0 e lim $x→-∞$ f(x) = +∞.

Questi concetti sono fondamentali per la comprensione dei limiti dal grafico e per la risoluzione di esercizi limiti dal grafico pdf.

$# I Limiti lem f(x) $X \rightarrow Xo$ Il buite di uwa funzione f(x), descrive l'ondormento della funzione quondo l'orgomento x tende od u$

Introduzione ai limiti di funzione

Questa pagina introduce il concetto di limite di una funzione. Il limite descrive il comportamento di una funzione f(x) quando l'argomento x si avvicina a un valore specifico x₀, che può essere un numero reale o infinito.

Definizione Un punto x₀ è un punto di accumulazione di A se ogni intorno completo di x₀ contiene almeno un elemento di A diverso da x₀.

Si esaminano due casi principali

Quando x tende a un valore finito x₀
Quando x tende a infinito

Esempio Per la funzione y = x + 1, il limite per x che tende a 1 è 2, ovvero lim(x→1) $x+1$ = 2.

Highlight È importante notare che non si può sostituire direttamente il valore di x nel caso di funzioni che presentano discontinuità o asintoti verticali.

Pensavamo che non l'avreste mai chiesto....

Che cos'è l'assistente AI di Knowunity?

Il nostro assistente AI è costruito specificamente per le esigenze degli studenti. Sulla base dei milioni di contenuti presenti sulla piattaforma, possiamo fornire agli studenti risposte davvero significative e pertinenti. Ma non si tratta solo di risposte, l'assistente è in grado di guidare gli studenti attraverso le loro sfide quotidiane di studio, con piani di studio personalizzati, quiz o contenuti nella chat e una personalizzazione al 100% basata sulle competenze e sugli sviluppi degli studenti.

Dove posso scaricare l'applicazione Knowunity?

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L'applicazione è molto facile da usare e ben progettata. Finora ho trovato tutto quello che cercavo e ho potuto imparare molto dalle presentazioni! Utilizzerò sicuramente l'app per i compiti in classe! È molto utile anche come fonte di ispirazione.

Stefano S

utente iOS

Questa applicazione è davvero grande! Ci sono tantissimi appunti e aiuti con lo studio [...]. La mia materia problematica, per esempio, è il francese e l'app ha così tante opzioni per aiutarmi. Grazie a questa app ho migliorato il mio francese. La consiglio a tutti.

Samantha Klich

utente Android

Wow, sono davvero stupita. Ho appena provato l'app perché l'ho vista pubblicizzata molte volte e sono rimasta assolutamente sbalordita. Questa app è L'AIUTO che cercate per la scuola e soprattutto offre tantissime cose, come allenamenti e schede, che a me personalmente sono state MOLTO utili.

Anna

utente iOS

È bellissima questa app, la adoro. È utilissima per lo studio e mi aiuta molto, anzi moltissimo, ma soprattutto mi aiutano molto i quiz, per memorizzare anche quello che non sapevo

Anastasia

utente Android

Fantastica per qualsiasi materia avere gli appunti anche di altre persone è molto utile perchè posso confrontarmi e vedere come migliorarmi. con i quiz riesco ad apprendere al meglio.

Francesca

utente Android

moooolto utile,gli appunti sono belli e funzionanti,schoolGPT da dei consigli formidabili!!

Marianna

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L'applicazione è semplicemente fantastica! Tutto ciò che devo fare è inserire l'argomento nella barra di ricerca e ottengo la risposta molto velocemente. Non devo guardare 10 video di YouTube per capire qualcosa, quindi risparmio tempo. Consigliatissima!

Sudenaz Ocak

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A scuola andavo malissimo in matematica, ma grazie a questa applicazione ora vado meglio. Vi sono molto grato per aver creato questa app.

Greenlight Bonnie

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Knowunity è un applicazione fantastica,considerando che ha degli schemi veramente molto carini e sfiziosi e che ci sono dei quiz,oltre al fatto che questa cosa dell intelligenza artificiale "school gpt" è almeno per me molto utile, perché a differenza di Chatgpt ti da le spiegazioni, ti spiega ciò che non è chiaro! Posso studiare più velocemente tramite gli schemi e che posso pubblicare io stessa gli schemi è una funzione utilissima per gli altri studenti. Knowunity è PERFETTA

Aurora

utente Android

L’app funziona benissimo e puoi trovare qualsiasi tipo di informazione. Non ho l’abbonamento ma la parte gratuita è sufficiente per uno studio approfondito.

Martina

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in questi ultimi mesi di scuola dove il tempo è ormai poco, mi sta aiutando molto perché piuttosto che farmi io gli schemi su quello che leggo sul libro guardo questi già fatti e li uso come ripasso piuttosto che rileggermi tutto il libro

Chiara

utente IOS

Questa app è una delle migliori, nient’altro da dire.

Andrea

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Il limite di una funzione matematica descrive il comportamento di una funzione quando l'argomento si avvicina a un valore specifico. Questo concetto è fondamentale per comprendere la continuità e i punti di discontinuità di una funzione.

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Definizione: Un asintoto verticale si verifica quando il limite della funzione tende all'infinito mentre x si avvicina a un valore specifico che non fa parte del dominio della funzione.

Si analizza il comportamento di funzioni quando x tende a valori sempre più grandi (positivi o negativi).

Esempio: Per la funzione f(x) = $3x-2$ / $x-2$ , quando x tende all'infinito, il limite è 3.

Highlight: È fondamentale distinguere tra funzioni che crescono indefinitamente e quelle che tendono a un valore finito all'infinito.

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Per le funzioni crescenti:

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Il limite per x che tende a +∞ è -∞.

Esempio: La funzione f(x) = e^x è un esempio di funzione crescente all'infinito.

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Esempio: La funzione f(x) = x² + 1 è continua in x = 1 poiché lim(x→1) $x² + 1$ = 2 = f(1).

Highlight: La continuità di una funzione implica che il limite della funzione in un punto coincide con il valore della funzione in quel punto.

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Definizione: Una funzione è discontinua in un punto x₀ se non è continua in quel punto.

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Discontinuità di prima specie: Il limite sinistro e destro esistono ma sono diversi tra loro.
Discontinuità di seconda specie: Almeno uno dei limiti laterali è infinito o non esiste.
Discontinuità di terza specie: I limiti laterali esistono ma almeno uno di essi è diverso dal valore della funzione in quel punto.

Esempio: La funzione f(x) = 1/x ha una discontinuità di seconda specie in x = 0.

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Si analizzano i limiti di queste funzioni per x che tende a +∞ e -∞.

Esempio: Per f(x) = x^n, con n pari, lim $x→+∞$ f(x) = +∞ e lim $x→-∞$ f(x) = +∞.

Vocabulary: Asintoto orizzontale: una retta orizzontale a cui la funzione si avvicina indefinitamente quando x tende all'infinito.

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Per le funzioni esponenziali $f(x) = a^x, con a > 1$ :

lim $x→+∞$ f(x) = +∞
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Per le funzioni logaritmiche $f(x) = log_a(x), con a > 1$ :

lim $x→+∞$ f(x) = +∞
lim(x→0⁺) f(x) = -∞

Highlight: È importante notare che alcune funzioni non sono definite per certi valori di x, come log(x) per x ≤ 0.

Example: Per f(x) = a^x con 0 < a < 1, lim $x→+∞$ f(x) = 0 e lim $x→-∞$ f(x) = +∞.

Questi concetti sono fondamentali per la comprensione dei limiti dal grafico e per la risoluzione di esercizi limiti dal grafico pdf.

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Si esaminano due casi principali:

Quando x tende a un valore finito x₀
Quando x tende a infinito

Esempio: Per la funzione y = x + 1, il limite per x che tende a 1 è 2, ovvero lim(x→1) $x+1$ = 2.

Highlight: È importante notare che non si può sostituire direttamente il valore di x nel caso di funzioni che presentano discontinuità o asintoti verticali.

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