Capire i Limiti in Matematica: Guida Semplice con Esempi e PDF

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Eleonora Loi

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Introduzione ai Limiti

Materie

Matematica

Relazioni e funzioni

Limiti e calcolo

Capire i Limiti in Matematica: Guida Semplice con Esempi e PDF

Il limite di una funzione matematica descrive il comportamento di una funzione quando l'argomento si avvicina a un valore specifico. Questo concetto è fondamentale per comprendere la continuità e i punti di discontinuità di una funzione.

Il limite può esistere anche se la funzione non è definita nel punto di interesse
Esistono diversi tipi di limiti, inclusi limiti finiti, infiniti e unilaterali
La continuità di una funzione è strettamente legata al concetto di limite
I punti di discontinuità possono essere classificati in tre specie

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Introduzione ai Limiti

Limiti all'infinito e asintoti

Questa pagina approfondisce il concetto di limiti all'infinito e introduce gli asintoti verticali.

Definizione: Un asintoto verticale si verifica quando il limite della funzione tende all'infinito mentre x si avvicina a un valore specifico che non fa parte del dominio della funzione.

Si analizza il comportamento di funzioni quando x tende a valori sempre più grandi (positivi o negativi).

Esempio: Per la funzione f(x) = (3x-2)/(x-2), quando x tende all'infinito, il limite è 3.

Highlight: È fondamentale distinguere tra funzioni che crescono indefinitamente e quelle che tendono a un valore finito all'infinito.

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Funzioni crescenti e decrescenti all'infinito

Questa sezione si concentra sulle caratteristiche delle funzioni crescenti e decrescenti quando x tende all'infinito.

Per le funzioni crescenti:

Deve esistere un punto x₀ tale che per ogni x > x₀, f(x) > M, dove M è una quota fissata sull'asse y.

Per le funzioni decrescenti:

Il limite per x che tende a +∞ è -∞.

Esempio: La funzione f(x) = e^x è un esempio di funzione crescente all'infinito.

Highlight: Alcune funzioni, come sin(x), oscillano e non hanno un limite definito all'infinito.

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Continuità e intorni

Questa pagina introduce i concetti di continuità e intorni, fondamentali per la comprensione dei limiti matematica.

Definizione: Una funzione f: A→R è continua in un punto x₀ ∈ A se lim(x→x₀) f(x) = f(x₀).

Si definiscono gli intorni di -∞ e +∞ come intervalli aperti illimitati.

Esempio: La funzione f(x) = x² + 1 è continua in x = 1 poiché lim(x→1) (x² + 1) = 2 = f(1).

Highlight: La continuità di una funzione implica che il limite della funzione in un punto coincide con il valore della funzione in quel punto.

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Discontinuità e tipi di discontinuità

Questa sezione esplora i diversi tipi di discontinuità che una funzione può presentare.

Definizione: Una funzione è discontinua in un punto x₀ se non è continua in quel punto.

Si distinguono tre tipi principali di discontinuità:

Discontinuità di prima specie: Il limite sinistro e destro esistono ma sono diversi tra loro.
Discontinuità di seconda specie: Almeno uno dei limiti laterali è infinito o non esiste.
Discontinuità di terza specie: I limiti laterali esistono ma almeno uno di essi è diverso dal valore della funzione in quel punto.

Esempio: La funzione f(x) = 1/x ha una discontinuità di seconda specie in x = 0.

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Funzioni continue e loro proprietà

Questa pagina approfondisce le proprietà delle funzioni continue e fornisce esempi di funzioni elementari continue.

Highlight: Le funzioni polinomiali, esponenziali, logaritmiche e goniometriche sono continue su tutto il loro dominio.

Si analizzano i limiti di queste funzioni per x che tende a +∞ e -∞.

Esempio: Per f(x) = x^n, con n pari, lim(x→+∞) f(x) = +∞ e lim(x→-∞) f(x) = +∞.

Vocabulary: Asintoto orizzontale: una retta orizzontale a cui la funzione si avvicina indefinitamente quando x tende all'infinito.

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Limiti di funzioni elementari

L'ultima pagina riassume i limiti delle principali funzioni elementari, fornendo una guida rapida per la lettura grafici funzioni.

Per le funzioni esponenziali (f(x) = a^x, con a > 1):

lim(x→+∞) f(x) = +∞
lim(x→-∞) f(x) = 0

Per le funzioni logaritmiche (f(x) = log_a(x), con a > 1):

lim(x→+∞) f(x) = +∞
lim(x→0⁺) f(x) = -∞

Highlight: È importante notare che alcune funzioni non sono definite per certi valori di x, come log(x) per x ≤ 0.

Example: Per f(x) = a^x con 0 < a < 1, lim(x→+∞) f(x) = 0 e lim(x→-∞) f(x) = +∞.

Questi concetti sono fondamentali per la comprensione dei limiti dal grafico e per la risoluzione di esercizi limiti dal grafico pdf.

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Limiti all'infinito e asintoti

Questa pagina approfondisce il concetto di limiti all'infinito e introduce gli asintoti verticali.

Definizione: Un asintoto verticale si verifica quando il limite della funzione tende all'infinito mentre x si avvicina a un valore specifico che non fa parte del dominio della funzione.

Si analizza il comportamento di funzioni quando x tende a valori sempre più grandi (positivi o negativi).

Esempio: Per la funzione f(x) = (3x-2)/(x-2), quando x tende all'infinito, il limite è 3.

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Definizione: Una funzione f: A→R è continua in un punto x₀ ∈ A se lim(x→x₀) f(x) = f(x₀).

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Esempio: La funzione f(x) = x² + 1 è continua in x = 1 poiché lim(x→1) (x² + 1) = 2 = f(1).

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Definizione: Una funzione è discontinua in un punto x₀ se non è continua in quel punto.

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Esempio: La funzione f(x) = 1/x ha una discontinuità di seconda specie in x = 0.

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Limiti di funzioni elementari

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Per le funzioni esponenziali (f(x) = a^x, con a > 1):

lim(x→+∞) f(x) = +∞
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Per le funzioni logaritmiche (f(x) = log_a(x), con a > 1):

lim(x→+∞) f(x) = +∞
lim(x→0⁺) f(x) = -∞

Highlight: È importante notare che alcune funzioni non sono definite per certi valori di x, come log(x) per x ≤ 0.

Example: Per f(x) = a^x con 0 < a < 1, lim(x→+∞) f(x) = 0 e lim(x→-∞) f(x) = +∞.

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Introduzione ai limiti di funzione

Questa pagina introduce il concetto di limite di una funzione. Il limite descrive il comportamento di una funzione f(x) quando l'argomento x si avvicina a un valore specifico x₀, che può essere un numero reale o infinito.

Definizione: Un punto x₀ è un punto di accumulazione di A se ogni intorno completo di x₀ contiene almeno un elemento di A diverso da x₀.

Si esaminano due casi principali:

Quando x tende a un valore finito x₀
Quando x tende a infinito

Esempio: Per la funzione y = x + 1, il limite per x che tende a 1 è 2, ovvero lim(x→1) (x+1) = 2.

Highlight: È importante notare che non si può sostituire direttamente il valore di x nel caso di funzioni che presentano discontinuità o asintoti verticali.

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