Limiti all'infinito e asintoti

Questa pagina approfondisce il concetto di limiti all'infinito e introduce gli asintoti verticali.

Definizione: Un asintoto verticale si verifica quando il limite della funzione tende all'infinito mentre x si avvicina a un valore specifico che non fa parte del dominio della funzione.

Si analizza il comportamento di funzioni quando x tende a valori sempre più grandi (positivi o negativi).

Esempio: Per la funzione f(x) = (3x-2)/(x-2), quando x tende all'infinito, il limite è 3.

Highlight: È fondamentale distinguere tra funzioni che crescono indefinitamente e quelle che tendono a un valore finito all'infinito.

Funzioni crescenti e decrescenti all'infinito

Questa sezione si concentra sulle caratteristiche delle funzioni crescenti e decrescenti quando x tende all'infinito.

Per le funzioni crescenti:

• Deve esistere un punto x₀ tale che per ogni x > x₀, f(x) > M, dove M è una quota fissata sull'asse y.

Per le funzioni decrescenti:

• Il limite per x che tende a +∞ è -∞.

Esempio: La funzione f(x) = e^x è un esempio di funzione crescente all'infinito.

Highlight: Alcune funzioni, come sin(x), oscillano e non hanno un limite definito all'infinito.

Introduzione ai limiti di funzione

Questa pagina introduce il concetto di limite di una funzione. Il limite descrive il comportamento di una funzione f(x) quando l'argomento x si avvicina a un valore specifico x₀, che può essere un numero reale o infinito.

Definizione: Un punto x₀ è un punto di accumulazione di A se ogni intorno completo di x₀ contiene almeno un elemento di A diverso da x₀.

Si esaminano due casi principali:

1. Quando x tende a un valore finito x₀
2. Quando x tende a infinito

Esempio: Per la funzione y = x + 1, il limite per x che tende a 1 è 2, ovvero lim(x→1) (x+1) = 2.

Highlight: È importante notare che non si può sostituire direttamente il valore di x nel caso di funzioni che presentano discontinuità o asintoti verticali.