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Matematica /
LJR Un’introduzione all’algebra
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Luce Ruffato
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3ªm
Sintesi
UN'INTRODUZIONE ALL'ALGEBRA Luce Joan Ruffato MC |MR|M- % N lu 8 AC M+÷ ON LS 10 N 6 m + 3ªE 0 01 03 DEFINIZIONE Cosa significa algebra? I NUMERI RELATIVI Cosa sono i numeri relativi e come si rappresentano? INDICE ♡ 02 04 DIFFERENZE CON LA MATEMATICA Che differenze ci sono tra algebra e matematica? CONCLUSIONE Una breve conclusione della presentazione ♡ 01 DEFINIZIONE Cosa significa la parola algebra? ♡ ♡ EGITTO DOV'È NATA L'ALGEBRA? ANTICA GRECIA ARABIA I I I DEFINIZIONE La parola "algebra", deriva dall'arabo, che significa, 'completamento' (questo termine venne usato per la prima volta in un libro scritto da un matematico arabo che spiegò come risolvere equazioni di primo e secondo grado), ed è una branca della matematica che tratta lo studio di strutture algebriche, relazioni e quantità. Ci sono testimonianze antichissime su problemi algebrici semplici! Addirittura alcune risalenti all'Antico Egitto, alla Grecia arcaica e alla Mesopotamia, di matematici che fecero uso di proprietà attinenti all'algebra elementare. 0 ♡ ممممممم DEFINIZIONI E CONCETTI I NUMERI NATURALI Un numero è un oggetto astratto, usato per misurare una quantità. I numeri più utilizzati sono i numeri naturali (1, 2, 3, 4, 5, 6...) I NUMERI RAZIONALI Aggiungendo a questi le frazioni si ottengono tutti i numeri razionali. 123 CRE Fr e I NUMERI INTERI Aggiungendo a questi i numeri negativi, tramite il segno meno, si ottengono tutti i numeri interi: (-6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6...) I NUMERI REALI Infine, i numeri reali contengono molti altri numeri che non possono essere espressi come frazioni, come ad esempio √2 ~MATH ² 4+6=10 5+2= 02 DIFFERENZE Che differenze ci sono tra algebra e matematica? ♡ FUT ARITMETICA E ALGEBRA L'aritmetica (dal greco...
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Didascalia alternativa:
apieμóc = numero) è la più antica branca della matematica, quella che studia le proprietà elementari delle operazioni aritmetiche sui numeri, specialmente i numeri naturali, mentre l'algebra riguarda in particolare i calcoli con i numeri relativi. ♡ 0 03 I NUMERI RELATIVI Cosa sono i numeri relativi e come si rappresentano? ♡ e UL C O A XII 00 B Talvolta si possono incontrare situazioni che non possono essere descritte solo da numeri maggiori o uguali a zero e quindi ci sono due diverse distinzioni tra i numeri... $ xr ♡ {*} NUMERI POSITIVI Sono i numeri dopo lo 0 e sono preceduti dal segno +. X+Y NUMERI NEGATIVI Sono i numeri prima dello 0 e sono preceduti dal segno -. E LO ZERO? Il numero 0 non viene classificato né come numero positivo né come numero negativo perché rappresenta il valore di riferimento. ♡ -5 -4 -3 -2 -1 0 +1 +2 STEP 01 Disegniamo una retta RAPPRESENTAZIONE GRAFICA STEP 02 Fissiamo su di essa un punto O a cui facciamo corrispondere lo 0 STEP 03 +3 Consideriamo i due possibili versi di percorrenza, a sinistra il verso negativo e a destra il verso positivo. +4 +5 +6 STEP 04 Questa retta prende il nome di "retta orientata", in cui si possono rappresentare tutti i numeri interi 0 ESERCIZIO ESERCITAZIONE Esprimi con un numero relativo ciascuna delle seguenti situazioni Il Corno Grande è il rilievo più alto del Gran Sasso, raggiunge i 2912 m Le temperature massima e minima registrate finora sono 58°C e 15°C Tra i coralli il genere Lophelia vive sino a 3000 m di profondità SOLUZIONE +2912 m E +58°C -15°C -3000 m e ♡ IL VALORE ASSOLUTO CONCORDI Due numeri relativi con lo stesso segno IL VALORE ASSOLUTO Il valore assoluto di un numero rappresenta la sua distanza dallo 0 π √9 (X+Y) DISCORDI Due numeri relativi con segno diverso OPPOSTI Due numeri relativi discordi con lo stesso valore assoluto C 01 Lo 0 è maggiore di ogni numero negativo e minore di ogni numero positivo 03 Tra due numeri positivi è maggiore quello con il valore assoluto maggiore REGOLE BASE + X8 000 e 02 Tra due numeri discordi è maggiore quello positivo 04 Tra due numeri negativi è maggiore quello con il valore assoluto minore 0 до ADDIZIONI E SOTTRAZIONI SOMMA CON NUMERI CONCORDI La somma di due numeri concordi è il numero che è concorde agli addendi e ha come valore assoluto la somma dei loro valori assoluti. 2/3 SOMMA CON NUMERI DISCORDI La somma di due numeri discordi è il numero che concorde all'addendo con valore assoluto maggiore e ha come valore assoluto la differenza dei valori assoluti degli addendi ε (21 X+y DIFFERENZA La differenza tra due numeri relativi è uguale alla somma del primo termine con l'opposto del secondo. a-b=a+(-b) ♡ L'ADDIZIONE ALGEBRICA La sottrazione tra numeri relativi puo' essere ricondotta ad un'addizione, dunque entrambe possono essere riconosciute come un'unica operazione detta addizione algebrica (interna all'insieme R), il cui risultato prende il nome di "somma algebrica". Per calcolarla si puo' procedere in due modi differenti: MODO 1 (+5)+(-8)-(+2)-(-6)-(+10)+(+1)= Riconduciamo le sottrazioni ad addizioni: =(+5)+(-8)+(+2)+(-6)+(+10)+(+1)= Sommiamo gli addendi nell'ordine in cui sono scritti: MODO 2 (+5)+(-8)-(+2)-(-6)-(+10)+(+1)= Riconduciamo le sottrazioni ad addizioni: =(+5)+(-8)+(+2)+(-6)+(+10)+(+1)= Applichiamo la proprietà commutativa e associativa: =(-3)+(-2)+(+6)+(-10)+(+1)= =(-5)+(+6)+(-10)+(+1)= =(+1)+(-10)+(+1)= =(-9)+(+1)= =-8 =(+12)+(-20)= Sommiamo gli addendi discordi ottenuti: =-8 LA MOLTIPLICAZIONE Si considerano vari casi in base al segno dei fattori, Infatti possono essere: ENTRAMBI POSITIVI Se i due fattori sono positivi, il prodotto è positivo e il suo valore assoluto è uguale al prodotto dei valori assoluti. ENTRAMBI NEGATIVI Se i due fattori sono negativi, il prodotto è positivo e il suo valore assoluto è uguale al prodotto dei valori assoluti. 01 03 02 04 1 NEGATIVO 1 POSITIVO Se uno dei due fattori è positivo e l'altro è negativo il prodotto è negativo e il suo valore assoluto è uguale al prodotto dei valori assoluti. IN GENERALE Il prodotto di due numeri relativi è il numero che ha come valore assoluto il prodotto dei valori assoluti ed è positivo se i fattori sono concordi, negativo se sono discordi. X + E + + LA REGOLA DEI SEGNI + Nel caso in cui ci siano più di due fattori, il prodotto ha come valore assoluto il prodotto dei valori assoluti e come segno: + se il numero dei fattori negativi è pari se il numero di fattori negativi è dispari o ♡ LA DIVISIONE Si considerano vari casi in base al segno del dividendo e del divisore, infatti possono essere: ENTRAMBI POSITIVI Il quoziente di due termini positivi è un numero positivo che ha per valore assoluto il quoziente dei valori assoluti. ENTRAMBI NEGATIVI Il quoziente di due termini negativi è un numero positivo che ha per valore assoluto il quoziente dei valori assoluti. 01 02 03 04 1 NEGATIVO 1 POSITIVO Il quoziente tra un dividendo positivo e un divisore negativo è un numero negativo che ha per valore assoluto il quoziente dei valori assoluti. IN GENERALE Il quoziente tra due numeri relativi, il secondo dei quali non è nullo, è il numero che ha come valore assoluto il quoziente dei valori assoluti ed è positivo se i due numeri sono concordi, mentre è negativo se sono discordi. ♡ L'ELEVAMENTO A POTENZA Le potenze Risultato con segno + Risultato con segno - Esempi Esponente pari Base * o - Esponente dispari Base - Segno + Segno - { (-4)²=+16 (+4)²=+16 (-4)=-64 25% COSA ABBIAMO APPENA STUDIATO? I NUMERI RELATIVI Ciò che abbiamo appena studiato sono le basi per poi poter studiare e approfondire argomenti più difficili come le equazioni di primo e secondo grado, rappresenta all'incirca il 25% delle informazioni che complessivamente formano una conoscenza dell'algebra media. o ♡ HELENE H 04 CONCLUSIONE Una breve conclusione della presentazione 0 ♡ ♡ Cosa sono? Tutti i numeri interi, razionali e irrazionali che hanno un segno positivo (+) o negativo (-) SCHEMA COMPLESSIVO I numeri relativi Il loro simbolo Z Addizione Esempio: (+3)+(+9)=+12 Oppure: (+3)+(-9)=-6 Sottrazione Esempio: (-3)-(-9)=-12 Oppure: (-3)-(+9)=+6 Operazioni Moltiplicazione Regola dei segni +X+=+ +X-=- -X+=- -X-=+ Divisione (+3):(-2)= (+3)x(-1/2) = -3/2 Segno + Potenza Esponente pari Base + 0- Segno Esponente dispari Base - E "La matematica pura è, a suo modo, la poesia delle idee logiche". -ALBERT EINSTEIN 0 3 Foto: 0 https://www.freepik.com/free-photo/student-with -problems-mathematics_1194334.htm/?utm_sourc e=slidesgo_template&utm_medium=referral-link& utm_campaign=sg_resources&utm_content=freepi k https://www.freepik.com/free-photo/friends-posin g-maths-class_1194331.htm/?utm_source=slidesgo _template&utm_medium=referral-link&utm_camp CREDITI aign=sg_resources&utm_content=freepik/?utm_so urce=slidesgo_template&utm_medium=referral-lin k&utm_campaign=sg_resources&utm_content=fre epik Icone: https://www.flaticon.com/packs/maths-25?word= math/?utm_source=slidesgo_template&utm_medi um=referral-link&utm_campaign=sg_resources&ut m_content=flaticon/?utm_source=slidesgo_templa te&utm_medium=referral-link&utm_campaign=sg_ resources&utm_content=flaticon Illustrazioni: https://storyset.com/illustration/calculator/bro/?u tm_source=slidesgo_template&utm_medium=refer ral-link&utm_campaign=sg_resources&utm_conte nt=storyset#e0a3c9 https://storyset.com/illustration/teaching/bro/?ut m_source=slidesgo_template&utm_medium=referr al-link&utm_campaign=sg_resources&utm_conten t=storyset#e0a3c9 3 https://storyset.com/illustration/mathematics/bro /?utm_source=slidesgo_template&utm_medium=r eferral-link&utm_campaign=sg_resources&utm_co https://storyset.com/illustration/notes/bro#e0a3c https://www.freepik.com/free-vector/school-stuff- notebook-sheet-teacher-s-day_1259007.htm/?utm_ source=slidesgo_template&utm_medium=referral- link&utm_campaign=sg_resources&utm_content=f ntent=storyset#e0a3c9 9 reepik Foto secondarie: ● ● https://www.freepik.com/free-photo/cup-with-colourful-stationery-near-glasses-apple-table_4924236.htm/? utm_source=slidesgo_template&utm_medium=referral-link&utm_campaign=sg_resources&utm_content=fre epik ALTRE RISORSE https://www.freepik.com/free-photo/multiethnic-teenage-students-studying-grass_4912214.htm/?utm_sour ce=slidesgo_template&utm_medium=referral-link&utm_campaign=sg_resources&utm_content=freepik https://www.freepik.com/free-photo/teenagers-studying-together-stairs-street_4912229.htm/?utm_source= slidesgo_template&utm_medium=referral-link&utm_campaign=sg_resources&utm_content=freepik https://www.freepik.com/free-photo/teenagers-learning-together-stairs_4912230.htm/?utm_source=slidesg o_template&utm_medium=referral-link&utm_campaign=sg_resources&utm_content=freepik Icone secondarie: https://storyset.com/illustration/deconstructed/bro/?utm_source=slidesgo_template&utm_medium=referra l-link&utm_campaign=sg_resources&utm_content=storyset#E0A3C9 https://storyset.com/illustration/exams/bro/?utm_source=slidesgo_template&utm_medium=referral-link&u tm_campaign=sg_resources&utm_content=storyset#E0A3C9 ♡
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Il numero 0 non viene classificato né come numero positivo né come numero negativo perché rappresenta il valore di riferimento. ♡ -5 -4 -3 -2 -1 0 +1 +2 STEP 01 Disegniamo una retta RAPPRESENTAZIONE GRAFICA STEP 02 Fissiamo su di essa un punto O a cui facciamo corrispondere lo 0 STEP 03 +3 Consideriamo i due possibili versi di percorrenza, a sinistra il verso negativo e a destra il verso positivo. +4 +5 +6 STEP 04 Questa retta prende il nome di "retta orientata", in cui si possono rappresentare tutti i numeri interi 0 ESERCIZIO ESERCITAZIONE Esprimi con un numero relativo ciascuna delle seguenti situazioni Il Corno Grande è il rilievo più alto del Gran Sasso, raggiunge i 2912 m Le temperature massima e minima registrate finora sono 58°C e 15°C Tra i coralli il genere Lophelia vive sino a 3000 m di profondità SOLUZIONE +2912 m E +58°C -15°C -3000 m e ♡ IL VALORE ASSOLUTO CONCORDI Due numeri relativi con lo stesso segno IL VALORE ASSOLUTO Il valore assoluto di un numero rappresenta la sua distanza dallo 0 π √9 (X+Y) DISCORDI Due numeri relativi con segno diverso OPPOSTI Due numeri relativi discordi con lo stesso valore assoluto C 01 Lo 0 è maggiore di ogni numero negativo e minore di ogni numero positivo 03 Tra due numeri positivi è maggiore quello con il valore assoluto maggiore REGOLE BASE + X8 000 e 02 Tra due numeri discordi è maggiore quello positivo 04 Tra due numeri negativi è maggiore quello con il valore assoluto minore 0 до ADDIZIONI E SOTTRAZIONI SOMMA CON NUMERI CONCORDI La somma di due numeri concordi è il numero che è concorde agli addendi e ha come valore assoluto la somma dei loro valori assoluti. 2/3 SOMMA CON NUMERI DISCORDI La somma di due numeri discordi è il numero che concorde all'addendo con valore assoluto maggiore e ha come valore assoluto la differenza dei valori assoluti degli addendi ε (21 X+y DIFFERENZA La differenza tra due numeri relativi è uguale alla somma del primo termine con l'opposto del secondo. a-b=a+(-b) ♡ L'ADDIZIONE ALGEBRICA La sottrazione tra numeri relativi puo' essere ricondotta ad un'addizione, dunque entrambe possono essere riconosciute come un'unica operazione detta addizione algebrica (interna all'insieme R), il cui risultato prende il nome di "somma algebrica". 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ENTRAMBI NEGATIVI Se i due fattori sono negativi, il prodotto è positivo e il suo valore assoluto è uguale al prodotto dei valori assoluti. 01 03 02 04 1 NEGATIVO 1 POSITIVO Se uno dei due fattori è positivo e l'altro è negativo il prodotto è negativo e il suo valore assoluto è uguale al prodotto dei valori assoluti. IN GENERALE Il prodotto di due numeri relativi è il numero che ha come valore assoluto il prodotto dei valori assoluti ed è positivo se i fattori sono concordi, negativo se sono discordi. X + E + + LA REGOLA DEI SEGNI + Nel caso in cui ci siano più di due fattori, il prodotto ha come valore assoluto il prodotto dei valori assoluti e come segno: + se il numero dei fattori negativi è pari se il numero di fattori negativi è dispari o ♡ LA DIVISIONE Si considerano vari casi in base al segno del dividendo e del divisore, infatti possono essere: ENTRAMBI POSITIVI Il quoziente di due termini positivi è un numero positivo che ha per valore assoluto il quoziente dei valori assoluti. ENTRAMBI NEGATIVI Il quoziente di due termini negativi è un numero positivo che ha per valore assoluto il quoziente dei valori assoluti. 01 02 03 04 1 NEGATIVO 1 POSITIVO Il quoziente tra un dividendo positivo e un divisore negativo è un numero negativo che ha per valore assoluto il quoziente dei valori assoluti. IN GENERALE Il quoziente tra due numeri relativi, il secondo dei quali non è nullo, è il numero che ha come valore assoluto il quoziente dei valori assoluti ed è positivo se i due numeri sono concordi, mentre è negativo se sono discordi. ♡ L'ELEVAMENTO A POTENZA Le potenze Risultato con segno + Risultato con segno - Esempi Esponente pari Base * o - Esponente dispari Base - Segno + Segno - { (-4)²=+16 (+4)²=+16 (-4)=-64 25% COSA ABBIAMO APPENA STUDIATO? I NUMERI RELATIVI Ciò che abbiamo appena studiato sono le basi per poi poter studiare e approfondire argomenti più difficili come le equazioni di primo e secondo grado, rappresenta all'incirca il 25% delle informazioni che complessivamente formano una conoscenza dell'algebra media. o ♡ HELENE H 04 CONCLUSIONE Una breve conclusione della presentazione 0 ♡ ♡ Cosa sono? Tutti i numeri interi, razionali e irrazionali che hanno un segno positivo (+) o negativo (-) SCHEMA COMPLESSIVO I numeri relativi Il loro simbolo Z Addizione Esempio: (+3)+(+9)=+12 Oppure: (+3)+(-9)=-6 Sottrazione Esempio: (-3)-(-9)=-12 Oppure: (-3)-(+9)=+6 Operazioni Moltiplicazione Regola dei segni +X+=+ +X-=- -X+=- -X-=+ Divisione (+3):(-2)= (+3)x(-1/2) = -3/2 Segno + Potenza Esponente pari Base + 0- Segno Esponente dispari Base - E "La matematica pura è, a suo modo, la poesia delle idee logiche". -ALBERT EINSTEIN 0 3 Foto: 0 https://www.freepik.com/free-photo/student-with -problems-mathematics_1194334.htm/?utm_sourc e=slidesgo_template&utm_medium=referral-link& utm_campaign=sg_resources&utm_content=freepi k https://www.freepik.com/free-photo/friends-posin g-maths-class_1194331.htm/?utm_source=slidesgo _template&utm_medium=referral-link&utm_camp CREDITI aign=sg_resources&utm_content=freepik/?utm_so urce=slidesgo_template&utm_medium=referral-lin k&utm_campaign=sg_resources&utm_content=fre epik Icone: https://www.flaticon.com/packs/maths-25?word= math/?utm_source=slidesgo_template&utm_medi um=referral-link&utm_campaign=sg_resources&ut m_content=flaticon/?utm_source=slidesgo_templa te&utm_medium=referral-link&utm_campaign=sg_ resources&utm_content=flaticon Illustrazioni: https://storyset.com/illustration/calculator/bro/?u tm_source=slidesgo_template&utm_medium=refer ral-link&utm_campaign=sg_resources&utm_conte nt=storyset#e0a3c9 https://storyset.com/illustration/teaching/bro/?ut m_source=slidesgo_template&utm_medium=referr al-link&utm_campaign=sg_resources&utm_conten t=storyset#e0a3c9 3 https://storyset.com/illustration/mathematics/bro /?utm_source=slidesgo_template&utm_medium=r eferral-link&utm_campaign=sg_resources&utm_co https://storyset.com/illustration/notes/bro#e0a3c https://www.freepik.com/free-vector/school-stuff- notebook-sheet-teacher-s-day_1259007.htm/?utm_ source=slidesgo_template&utm_medium=referral- link&utm_campaign=sg_resources&utm_content=f ntent=storyset#e0a3c9 9 reepik Foto secondarie: ● ● https://www.freepik.com/free-photo/cup-with-colourful-stationery-near-glasses-apple-table_4924236.htm/? utm_source=slidesgo_template&utm_medium=referral-link&utm_campaign=sg_resources&utm_content=fre epik ALTRE RISORSE https://www.freepik.com/free-photo/multiethnic-teenage-students-studying-grass_4912214.htm/?utm_sour ce=slidesgo_template&utm_medium=referral-link&utm_campaign=sg_resources&utm_content=freepik https://www.freepik.com/free-photo/teenagers-studying-together-stairs-street_4912229.htm/?utm_source= slidesgo_template&utm_medium=referral-link&utm_campaign=sg_resources&utm_content=freepik https://www.freepik.com/free-photo/teenagers-learning-together-stairs_4912230.htm/?utm_source=slidesg o_template&utm_medium=referral-link&utm_campaign=sg_resources&utm_content=freepik Icone secondarie: https://storyset.com/illustration/deconstructed/bro/?utm_source=slidesgo_template&utm_medium=referra l-link&utm_campaign=sg_resources&utm_content=storyset#E0A3C9 https://storyset.com/illustration/exams/bro/?utm_source=slidesgo_template&utm_medium=referral-link&u tm_campaign=sg_resources&utm_content=storyset#E0A3C9 ♡