Materie

Matematica

Relazioni e funzioni

Funzioni lineari

Come Calcolare la Distanza tra Due Punti sul Piano Cartesiano

Name: Knowunity
Brand: Knowunity

Vedi

Come Calcolare la Distanza tra Due Punti sul Piano Cartesiano

VALERIO

@valerio.dn

841 Follower

Segui

Il piano cartesiano è uno strumento fondamentale per rappresentare punti e figure geometriche in matematica. Permette di localizzare precisamente elementi nello spazio bidimensionale utilizzando coordinate numeriche.

• Il piano cartesiano è formato da due assi perpendicolari che si intersecano nell'origine
• Ogni punto è identificato da una coppia di coordinate (x,y)
• È possibile calcolare distanze tra punti e trovare punti medi di segmenti
• Le rette possono essere rappresentate tramite equazioni nel piano cartesiano
• Il piano cartesiano è alla base della geometria analitica

18/2/2023

11096

GEOMETRIA ANALITICA
PIANO CARTESIANO
Si considerano due rette perpendicolari aventi in comune un punto indicato con
O (origine). Le due rett

Vedi

La Retta Passante per l'Origine

La retta passante per l'origine è un caso particolare di retta nel piano cartesiano, caratterizzata dall'equazione y = mx, dove m è il coefficiente angolare.

Definizione: L'equazione della retta passante per due punti, in questo caso l'origine (0,0) e un altro punto generico, si riduce a y = mx quando passa per l'origine.

Caratteristiche principali:

x è la variabile indipendente (valori assegnati arbitrariamente)
y è la variabile dipendente (calcolata in base ai valori di x)
m è il coefficiente angolare, che determina l'inclinazione della retta

Esempio: Per la retta y = 2x (m = 2):

Se x = 0, y = 2(0) = 0
Se x = 5, y = 2(5) = 10
Se x = -3, y = 2(-3) = -6

Highlight: Il segno di m determina in quali quadranti passa la retta:

Se m > 0, la retta passa per il I e III quadrante
Se m < 0, la retta passa per il II e IV quadrante

Questa forma semplificata dell'equazione della retta è fondamentale per comprendere il concetto di pendenza e per introdurre lo studio di funzioni lineari nel piano cartesiano. È anche un punto di partenza per esplorare equazioni della retta più complesse.

Vedi

Rette Particolari

Nel piano cartesiano esistono alcune rette con caratteristiche speciali, che sono fondamentali per la comprensione della geometria analitica:

Asse delle ascisse: y = 0 Questa è la retta orizzontale che coincide con l'asse x.
Asse delle ordinate: x = 0 Questa è la retta verticale che coincide con l'asse y.
Retta parallela all'asse delle ascisse: y = k (costante) Queste rette sono orizzontali e intersecano l'asse y nel punto (0, k).
Retta parallela all'asse delle ordinate: x = k (costante) Queste rette sono verticali e intersecano l'asse x nel punto (k, 0).
Bisettrice del I e III quadrante: y = x Questa retta ha coefficiente angolare m = 1 e passa per l'origine.
Bisettrice del II e IV quadrante: y = -x Questa retta ha coefficiente angolare m = -1 e passa per l'origine.

Highlight: Le bisettrici formano angoli di 45° con gli assi cartesiani.

Queste rette particolari sono spesso utilizzate come riferimento in problemi di geometria analitica e sono essenziali per comprendere concetti come simmetria e trasformazioni nel piano. La loro conoscenza facilita la risoluzione di molti esercizi sulla retta nel piano cartesiano.

Vedi

Il Piano Cartesiano

Il piano cartesiano è la base della geometria analitica. Esso è costituito da due rette perpendicolari chiamate assi cartesiani ortogonali, che si intersecano in un punto chiamato origine (O). Questi assi dividono il piano in quattro quadranti, numerati in senso antiorario.

Definizione: Il piano cartesiano è un sistema di riferimento bidimensionale che permette di rappresentare punti e figure geometriche utilizzando coordinate numeriche.

L'asse orizzontale è chiamato asse delle ascisse (x), mentre quello verticale è l'asse delle ordinate (y). I punti su questi assi hanno caratteristiche particolari:

I punti sull'asse x hanno ordinata nulla (y=0)
I punti sull'asse y hanno ascissa nulla (x=0)
L'origine ha entrambe le coordinate nulle: O(0,0)

Highlight: Quando l'unità di misura è la stessa per entrambi gli assi, il piano cartesiano si definisce monometrico.

Questa rappresentazione permette di visualizzare e analizzare relazioni matematiche in modo intuitivo e preciso, costituendo la base per lo studio di funzioni e curve nel piano cartesiano.

Vedi

Distanza tra Due Punti: Segmenti Paralleli agli Assi

Il calcolo della distanza tra due punti è un'operazione fondamentale nella geometria analitica. Quando i punti formano un segmento parallelo a uno degli assi cartesiani, il calcolo si semplifica notevolmente.

Per un segmento parallelo all'asse delle ascisse: La distanza tra due punti A(x₁, y) e B(x₂, y) si calcola come il valore assoluto della differenza tra le ascisse:

Formula: AB = |x₁ - x₂| o |x₂ - x₁|

Esempio: Per i punti A(-4, 5) e B(2, 5), la distanza è: AB = |-4 - 2| = |-6| = 6 unità

Per un segmento parallelo all'asse delle ordinate: La distanza tra due punti A(x, y₁) e B(x, y₂) si calcola come il valore assoluto della differenza tra le ordinate:

Formula: AB = |y₁ - y₂| o |y₂ - y₁|

Queste formule semplici sono casi particolari della formula generale per la distanza tra due punti nel piano cartesiano, e sono particolarmente utili per calcoli rapidi e per comprendere il concetto di distanza in geometria analitica.

Vedi

La Retta Generica nel Piano

L'equazione della retta generica nel piano cartesiano è fondamentale per la geometria analitica. La forma più comune è y = mx + q, dove:

x è la variabile indipendente
y è la variabile dipendente
m è il coefficiente angolare (pendenza della retta)
q è il termine noto (ordinata all'origine)

Definizione: Il termine noto q rappresenta il valore dell'ordinata nel punto in cui la retta interseca l'asse y (quando x = 0).

Esempio: Per la retta y = 2x + 1 (m = 2, q = 1):

Se x = 0, y = 2(0) + 1 = 1
Se x = 5, y = 2(5) + 1 = 11
Se x = -3, y = 2(-3) + 1 = -5

L'equazione della retta può essere scritta in due forme principali:

Forma esplicita: y = mx + q
Forma implicita: ax + by + c = 0

Highlight: La forma esplicita è particolarmente utile per tracciare la retta e per calcolare rapidamente le coordinate dei punti.

Comprendere l'equazione della retta implicita e saper passare da una forma all'altra è essenziale per risolvere problemi complessi di geometria analitica e per studiare le relazioni tra rette nel piano cartesiano.

Vedi

Coordinate Cartesiane

Le coordinate cartesiane sono lo strumento che permette di identificare univocamente la posizione di un punto sul piano cartesiano. Ogni punto è rappresentato da una coppia di numeri reali (x,y), dove:

x è l'ascissa, che indica la distanza del punto dall'asse y
y è l'ordinata, che indica la distanza del punto dall'asse x

Esempio: Il punto P(3,5) ha ascissa 3 e ordinata 5, e si trova 3 unità a destra dell'asse y e 5 unità sopra l'asse x.

La relazione tra punti e coordinate è biunivoca, il che significa che:

Ad ogni punto del piano corrisponde una e una sola coppia di numeri
Ad ogni coppia di numeri corrisponde uno e un solo punto del piano

Highlight: La notazione P(x,y) si legge "il punto P di coordinate x e y".

Questa corrispondenza biunivoca è fondamentale per la geometria analitica, permettendo di tradurre problemi geometrici in equazioni algebriche e viceversa. Le coordinate cartesiane sono alla base di molti concetti avanzati, come la rappresentazione di funzioni e lo studio di curve nel piano.

Vedi

Punto Medio di un Segmento

Il punto medio di un segmento è un concetto fondamentale in geometria, e la sua determinazione nel piano cartesiano è un'applicazione diretta delle coordinate. Il punto medio M di un segmento AB è quel punto che divide il segmento in due parti uguali.

Formula: Per un segmento con estremi A(x₁, y₁) e B(x₂, y₂), le coordinate del punto medio M(x, y) sono: x = (x₁ + x₂) / 2 y = (y₁ + y₂) / 2

Esempio: Dato il segmento con estremi A(-3, 1) e B(5, 7), il punto medio M ha coordinate: x = (-3 + 5) / 2 = 1 y = (1 + 7) / 2 = 4 Quindi, M(1, 4)

Questa formula per il punto medio tra due punti ha diverse applicazioni pratiche:

Trovare il centro di un segmento o di una figura geometrica
Calcolare le coordinate di punti che dividono un segmento in proporzioni specifiche
Risolvere problemi di equilibrio in fisica

Highlight: Il punto medio è equidistante dagli estremi del segmento, proprietà che può essere verificata usando la formula della distanza.

La capacità di calcolare il punto medio è essenziale per molti problemi di geometria analitica e fornisce un collegamento tra concetti algebrici e geometrici nel piano cartesiano.

Vedi

Distanza tra Due Punti: Segmento Obliquo

Quando i due punti non formano un segmento parallelo a uno degli assi cartesiani, si utilizza una formula più generale per calcolare la loro distanza. Questa formula è basata sul teorema di Pitagora e si applica a qualsiasi coppia di punti nel piano cartesiano.

Formula: Per due punti A(x₁, y₁) e B(x₂, y₂), la distanza AB è data da: AB = √[(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²]

Esempio: Per i punti A(1, 3) e B(5, 6), la distanza si calcola così: AB = √[(5 - 1)² + (6 - 3)²] = √[4² + 3²] = √(16 + 9) = √25 = 5 unità

Questa formula, nota come formula della distanza tra due punti, è fondamentale in geometria analitica e ha numerose applicazioni, tra cui:

Calcolo della lunghezza di segmenti
Determinazione del perimetro di figure geometriche
Verifica della collinearità di punti

Highlight: La formula della distanza è invariante rispetto all'ordine dei punti, cioè la distanza da A a B è uguale alla distanza da B ad A.

Comprendere e saper applicare questa formula è essenziale per risolvere problemi più complessi in geometria analitica e in altre aree della matematica che coinvolgono il piano cartesiano.

Vedi

Contenuti simili

144

5121

1ªm/2ªm

Le percentuali

le percentuali, frazioni, matematica, proporzioni, sconto, aumento

Know introduzione alle disequazioni thumbnail

790

14818

1ªl/2ªl

introduzione alle disequazioni

teoria con esempi e principi di uguaglianza

Know PROPORZIONI e PERCENTUALI thumbnail

229

10430

1ªl/3ªl

PROPORZIONI e PERCENTUALI

Teoria proporzioni e percentuali con esercizi esempio

Non c'è niente di adatto? Esplorare altre aree tematiche.

Knowunity è l'app per l'istruzione numero 1 in cinque paesi europei

Knowunity è stata inserita in un articolo di Apple ed è costantemente in cima alle classifiche degli app store nella categoria istruzione in Germania, Italia, Polonia, Svizzera e Regno Unito. Unisciti a Knowunity oggi stesso e aiuta milioni di studenti in tutto il mondo.

Scarica

Google Play

Scarica

App Store

Knowunity è l'app per l'istruzione numero 1 in cinque paesi europei

4.9+

Valutazione media dell'app

13 M

Studenti che usano Knowunity

#1

Nelle classifiche delle app per l'istruzione in 12 Paesi

950 K+

Studenti che hanno caricato appunti

Non siete ancora sicuri? Guarda cosa dicono gli altri studenti...

Utente iOS

Adoro questa applicazione [...] consiglio Knowunity a tutti!!! Sono passato da un 5 a una 8 con questa app

Stefano S, utente iOS

L'applicazione è molto semplice e ben progettata. Finora ho sempre trovato quello che stavo cercando

Susanna, utente iOS

Adoro questa app ❤️, la uso praticamente sempre quando studio.

Materie

Matematica

Relazioni e funzioni

Funzioni lineari

Come Calcolare la Distanza tra Due Punti sul Piano Cartesiano

VALERIO

@valerio.dn

841 Follower

Segui

18/2/2023

11096

1ªl/2ªl

Matematica

508

Appunti gratuiti dei migliori studenti - Sbloccali ora!

[Appunti gratuiti per ogni materia, realizzati dai migliori studenti

[Migliori voti con il supporto dell'intelligenza artificiale

Studia in modo più efficace, stressarsi meno - sempre e ovunque

Iscriviti con l'e-mail

Iscrivendosi si accettano i Termini di servizio e la Informativa sulla privacy.

La Retta Passante per l'Origine

La retta passante per l'origine è un caso particolare di retta nel piano cartesiano, caratterizzata dall'equazione y = mx, dove m è il coefficiente angolare.

Definizione: L'equazione della retta passante per due punti, in questo caso l'origine (0,0) e un altro punto generico, si riduce a y = mx quando passa per l'origine.

Caratteristiche principali:

x è la variabile indipendente (valori assegnati arbitrariamente)
y è la variabile dipendente (calcolata in base ai valori di x)
m è il coefficiente angolare, che determina l'inclinazione della retta

Esempio: Per la retta y = 2x (m = 2):

Se x = 0, y = 2(0) = 0
Se x = 5, y = 2(5) = 10
Se x = -3, y = 2(-3) = -6

Highlight: Il segno di m determina in quali quadranti passa la retta:

Se m > 0, la retta passa per il I e III quadrante
Se m < 0, la retta passa per il II e IV quadrante

Appunti gratuiti dei migliori studenti - Sbloccali ora!

[Appunti gratuiti per ogni materia, realizzati dai migliori studenti

[Migliori voti con il supporto dell'intelligenza artificiale

Studia in modo più efficace, stressarsi meno - sempre e ovunque

Iscriviti con l'e-mail

Iscrivendosi si accettano i Termini di servizio e la Informativa sulla privacy.

Rette Particolari

Nel piano cartesiano esistono alcune rette con caratteristiche speciali, che sono fondamentali per la comprensione della geometria analitica:

Asse delle ascisse: y = 0 Questa è la retta orizzontale che coincide con l'asse x.
Asse delle ordinate: x = 0 Questa è la retta verticale che coincide con l'asse y.
Retta parallela all'asse delle ascisse: y = k (costante) Queste rette sono orizzontali e intersecano l'asse y nel punto (0, k).
Retta parallela all'asse delle ordinate: x = k (costante) Queste rette sono verticali e intersecano l'asse x nel punto (k, 0).
Bisettrice del I e III quadrante: y = x Questa retta ha coefficiente angolare m = 1 e passa per l'origine.
Bisettrice del II e IV quadrante: y = -x Questa retta ha coefficiente angolare m = -1 e passa per l'origine.

Highlight: Le bisettrici formano angoli di 45° con gli assi cartesiani.

Appunti gratuiti dei migliori studenti - Sbloccali ora!

[Appunti gratuiti per ogni materia, realizzati dai migliori studenti

[Migliori voti con il supporto dell'intelligenza artificiale

Studia in modo più efficace, stressarsi meno - sempre e ovunque

Iscriviti con l'e-mail

Iscrivendosi si accettano i Termini di servizio e la Informativa sulla privacy.

Il Piano Cartesiano

Definizione: Il piano cartesiano è un sistema di riferimento bidimensionale che permette di rappresentare punti e figure geometriche utilizzando coordinate numeriche.

L'asse orizzontale è chiamato asse delle ascisse (x), mentre quello verticale è l'asse delle ordinate (y). I punti su questi assi hanno caratteristiche particolari:

I punti sull'asse x hanno ordinata nulla (y=0)
I punti sull'asse y hanno ascissa nulla (x=0)
L'origine ha entrambe le coordinate nulle: O(0,0)

Highlight: Quando l'unità di misura è la stessa per entrambi gli assi, il piano cartesiano si definisce monometrico.

Questa rappresentazione permette di visualizzare e analizzare relazioni matematiche in modo intuitivo e preciso, costituendo la base per lo studio di funzioni e curve nel piano cartesiano.

Appunti gratuiti dei migliori studenti - Sbloccali ora!

[Appunti gratuiti per ogni materia, realizzati dai migliori studenti

[Migliori voti con il supporto dell'intelligenza artificiale

Studia in modo più efficace, stressarsi meno - sempre e ovunque

Iscriviti con l'e-mail

Iscrivendosi si accettano i Termini di servizio e la Informativa sulla privacy.

Distanza tra Due Punti: Segmenti Paralleli agli Assi

Per un segmento parallelo all'asse delle ascisse: La distanza tra due punti A(x₁, y) e B(x₂, y) si calcola come il valore assoluto della differenza tra le ascisse:

Formula: AB = |x₁ - x₂| o |x₂ - x₁|

Esempio: Per i punti A(-4, 5) e B(2, 5), la distanza è: AB = |-4 - 2| = |-6| = 6 unità

Per un segmento parallelo all'asse delle ordinate: La distanza tra due punti A(x, y₁) e B(x, y₂) si calcola come il valore assoluto della differenza tra le ordinate:

Formula: AB = |y₁ - y₂| o |y₂ - y₁|

Appunti gratuiti dei migliori studenti - Sbloccali ora!

[Appunti gratuiti per ogni materia, realizzati dai migliori studenti

[Migliori voti con il supporto dell'intelligenza artificiale

Studia in modo più efficace, stressarsi meno - sempre e ovunque

Iscriviti con l'e-mail

Iscrivendosi si accettano i Termini di servizio e la Informativa sulla privacy.

La Retta Generica nel Piano

L'equazione della retta generica nel piano cartesiano è fondamentale per la geometria analitica. La forma più comune è y = mx + q, dove:

x è la variabile indipendente
y è la variabile dipendente
m è il coefficiente angolare (pendenza della retta)
q è il termine noto (ordinata all'origine)

Definizione: Il termine noto q rappresenta il valore dell'ordinata nel punto in cui la retta interseca l'asse y (quando x = 0).

Esempio: Per la retta y = 2x + 1 (m = 2, q = 1):

Se x = 0, y = 2(0) + 1 = 1
Se x = 5, y = 2(5) + 1 = 11
Se x = -3, y = 2(-3) + 1 = -5

L'equazione della retta può essere scritta in due forme principali:

Forma esplicita: y = mx + q
Forma implicita: ax + by + c = 0

Highlight: La forma esplicita è particolarmente utile per tracciare la retta e per calcolare rapidamente le coordinate dei punti.

Appunti gratuiti dei migliori studenti - Sbloccali ora!

[Appunti gratuiti per ogni materia, realizzati dai migliori studenti

[Migliori voti con il supporto dell'intelligenza artificiale

Studia in modo più efficace, stressarsi meno - sempre e ovunque

Iscriviti con l'e-mail

Iscrivendosi si accettano i Termini di servizio e la Informativa sulla privacy.

Coordinate Cartesiane

x è l'ascissa, che indica la distanza del punto dall'asse y
y è l'ordinata, che indica la distanza del punto dall'asse x

Esempio: Il punto P(3,5) ha ascissa 3 e ordinata 5, e si trova 3 unità a destra dell'asse y e 5 unità sopra l'asse x.

La relazione tra punti e coordinate è biunivoca, il che significa che:

Ad ogni punto del piano corrisponde una e una sola coppia di numeri
Ad ogni coppia di numeri corrisponde uno e un solo punto del piano

Highlight: La notazione P(x,y) si legge "il punto P di coordinate x e y".

Appunti gratuiti dei migliori studenti - Sbloccali ora!

[Appunti gratuiti per ogni materia, realizzati dai migliori studenti

[Migliori voti con il supporto dell'intelligenza artificiale

Studia in modo più efficace, stressarsi meno - sempre e ovunque

Iscriviti con l'e-mail

Iscrivendosi si accettano i Termini di servizio e la Informativa sulla privacy.

Punto Medio di un Segmento

Formula: Per un segmento con estremi A(x₁, y₁) e B(x₂, y₂), le coordinate del punto medio M(x, y) sono: x = (x₁ + x₂) / 2 y = (y₁ + y₂) / 2

Esempio: Dato il segmento con estremi A(-3, 1) e B(5, 7), il punto medio M ha coordinate: x = (-3 + 5) / 2 = 1 y = (1 + 7) / 2 = 4 Quindi, M(1, 4)

Questa formula per il punto medio tra due punti ha diverse applicazioni pratiche:

Trovare il centro di un segmento o di una figura geometrica
Calcolare le coordinate di punti che dividono un segmento in proporzioni specifiche
Risolvere problemi di equilibrio in fisica

Highlight: Il punto medio è equidistante dagli estremi del segmento, proprietà che può essere verificata usando la formula della distanza.

La capacità di calcolare il punto medio è essenziale per molti problemi di geometria analitica e fornisce un collegamento tra concetti algebrici e geometrici nel piano cartesiano.

Appunti gratuiti dei migliori studenti - Sbloccali ora!

[Appunti gratuiti per ogni materia, realizzati dai migliori studenti

[Migliori voti con il supporto dell'intelligenza artificiale

Studia in modo più efficace, stressarsi meno - sempre e ovunque

Iscriviti con l'e-mail

Iscrivendosi si accettano i Termini di servizio e la Informativa sulla privacy.

Distanza tra Due Punti: Segmento Obliquo

Formula: Per due punti A(x₁, y₁) e B(x₂, y₂), la distanza AB è data da: AB = √[(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²]

Esempio: Per i punti A(1, 3) e B(5, 6), la distanza si calcola così: AB = √[(5 - 1)² + (6 - 3)²] = √[4² + 3²] = √(16 + 9) = √25 = 5 unità

Questa formula, nota come formula della distanza tra due punti, è fondamentale in geometria analitica e ha numerose applicazioni, tra cui:

Calcolo della lunghezza di segmenti
Determinazione del perimetro di figure geometriche
Verifica della collinearità di punti

Highlight: La formula della distanza è invariante rispetto all'ordine dei punti, cioè la distanza da A a B è uguale alla distanza da B ad A.

Comprendere e saper applicare questa formula è essenziale per risolvere problemi più complessi in geometria analitica e in altre aree della matematica che coinvolgono il piano cartesiano.

Appunti gratuiti dei migliori studenti - Sbloccali ora!

[Appunti gratuiti per ogni materia, realizzati dai migliori studenti

[Migliori voti con il supporto dell'intelligenza artificiale

Studia in modo più efficace, stressarsi meno - sempre e ovunque

Iscriviti con l'e-mail

Iscrivendosi si accettano i Termini di servizio e la Informativa sulla privacy.

Appunti gratuiti dei migliori studenti - Sbloccali ora!

[Appunti gratuiti per ogni materia, realizzati dai migliori studenti

[Migliori voti con il supporto dell'intelligenza artificiale

Studia in modo più efficace, stressarsi meno - sempre e ovunque

Iscriviti con l'e-mail

Iscrivendosi si accettano i Termini di servizio e la Informativa sulla privacy.

Contenuti simili

Matematica - Le percentuali

le percentuali, frazioni, matematica, proporzioni, sconto, aumento

144

5121

Matematica - introduzione alle disequazioni

teoria con esempi e principi di uguaglianza

790

14818

Matematica - PROPORZIONI e PERCENTUALI

Teoria proporzioni e percentuali con esercizi esempio

229

10430

Non c'è niente di adatto? Esplorare altre aree tematiche.

Knowunity è l'app per l'istruzione numero 1 in cinque paesi europei

Knowunity è stata inserita in un articolo di Apple ed è costantemente in cima alle classifiche degli app store nella categoria istruzione in Germania, Italia, Polonia, Svizzera e Regno Unito. Unisciti a Knowunity oggi stesso e aiuta milioni di studenti in tutto il mondo.

Scarica

Google Play

Scarica

App Store

4.9+

Valutazione media dell'app

13 M

Studenti che usano Knowunity

#1

Nelle classifiche delle app per l'istruzione in 12 Paesi

950 K+

Studenti che hanno caricato appunti

Non siete ancora sicuri? Guarda cosa dicono gli altri studenti...

Utente iOS

Adoro questa applicazione [...] consiglio Knowunity a tutti!!! Sono passato da un 5 a una 8 con questa app

Stefano S, utente iOS

L'applicazione è molto semplice e ben progettata. Finora ho sempre trovato quello che stavo cercando

Susanna, utente iOS