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I punti di discontinuità
I punti di discontinuità
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Schema Ellisse
Schema generale sull'ellisse con raffigurazioni
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Le derivate
Appunti sulle derivate.se avete domande chiedete pure 🥀
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Circonferenza, ellisse e iperbole
formule ed esempi
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funzioni in 2 variabili
disequazioni, sistemi, dominio, curve di livello, intorni, derivate parziali, teorema di schwarz, massimi e minimi (relativi, vincolati e assoluti), determinante matrice (hessiano)
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FUNZIONI GONIOMETRICHE: SECANTE, COSECANTE, ARCOSENO E ARCOCOSENO
Grafico e dimostrazione della secante, cosecante, arcoseno e arcocoseno
A DOMINIO. o(8) funzioni ES FUNZIONI INTERE RATIONALI 1 y=x 4x² جنبي 1² 3- 5 : DEF Siano A e B due insiemi non woti. Si dice funzione una relazione che associa ad ogni elemento di A un solo elemento di B X X D ALGEBRICHE ( + '; - ; * ; : , X",√x) 2 Ju 1) y=x4-x3 (2) y = 1 x4-X2 x = controimmagini IRRATIONALI B →B →y = 2x → insieme di partenza CODOMINIO y=√x²+3x immagine di g D=R X VARIABILE INDIPENDENTE = VARIABILE DIPENDENTE y = FUNTION! PATIONALI FRATIONARIE & R R Im (8) ≤B A e B Sono DR SOTTOINSIEMI FUNCIONI REAU DI VARIABILE REAUE = DOMINIO TRASCENDENTI (senx; l, log*) х4-х2 =0 x2(x²-1)=0 D= [R - {0₁ + 1} = y=immagini у= хиха у √x²+3x DOMINIO DI UNA FUNCIONE REALE DI VARIABILE REAE vedi def. 86 Es. IRRATIONALI insieme di valore che si associan ad inax affinche sia possibile legarla ad und y 23/09/21 XIO x=+1 { × € ³R } ׇ0^× #11 3) y = √x²+3x (4) y=+ √x+1 5) y = √x + √5-x 6) y = √x=2 x²+x+1 x²+3x20 D:x≤-3√x 20 X₁ X+1 #0 XF-1 D: FR {-1} {X²0 0 20 {X²6 X-220 x²+x+10 → + ZERIXX, VX=X₂ X²2 VER D: 0≤x≤5 [0;5] x <1 ]-00:11 (-∞0; 1) se 0 < x < 5 ]0;5] => D: x²2 ZERI DI UNA FUNTIONE Som le XER/ 8(x)=0 ASCISSE dei punti di intersezione della funzione con l'asse delle x [2₁+∞ [ es y=x²³³ (x²-4). TERI 7 x ³(x²-4)=O x=OVX=t? appunti Co che contraddistingue il grafico di un funtione e'il fatto che nessuno retto verticale può intersecore il grafico in più ou punto se dovesse succedere vohrebbe to definizione di funzione. per esempio: n'1881 n²1891 Y₂ DR- y₁ 1 -X R- {-3; 2} = { × €¹³R / ×#2^ ER × 73} Imse = {YEAR} 7. Y₁ 0²190 D: DR =...
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{XER } Im(z) {YER /y²2} B вуг non non è une funzione. puo Succeolere 7 y = CODOMINIO DR- D: IR - {05 = {XER/x+0} Лх1 CERI = X-^ 2 = 1 im (g) { y = [R/y> -1} CARATTERISTICHE DELLE FUNZIONI Caratteristiche delle funzioni 1) DOMINIO 2) SEGNO DAL Determinare le segno di uno funtione significe stabilire per quali valori x du polmonio risulto fix ≤0 (NEGATIVA ) (POSITIVA) (TERI) ES. f(x) 70 f DAL PUNTO DI VISTA GRAFICO (X) =D y ä -4 3 X f(x) >0 20 -7 -4 < x < 1 √ x > 3 fixico -> x <-4 √ 14x43 f(x) = 0 -> x= -4 √x=1 √x=3 PUNTO DI VISTA ALGEBRICO = x²(x²³-4) D= 12 perche rational intere f(x) >₁ x ³ (x²-4) >0 x>0 хаки x = ±2 X<-2√x>2 f(x) > 0 →>-2<x<0 f(x) <0->x<-2 √X> 2 f(x)=0 - x = -2 √ x = 0 ✓ X = 2 y = f(x) f(x) 70 8(x)=0 2 28/09/21 f(x) < 0 SDS -202 HOU 1+ b+|+ + 7 + RAPPRESENTATIONE DELLE REGIONI DEL PIANO CARTESIANO A CUI APPARTIENE IL GRAFICO 11 3) SIMMETRIE ES. -2 -X zix_ 9 F FUNTIONI PARI FUNCIONI DISPARI FUNCIONI PARI Une funtione y = f(x) si ouce pari se per ognix oppartenente al dominio. olella funzione anche -x wi appartiene e risulto f(x) = 8(-x) IN TAL CASO IL GRAFICO DELLA FUNZIONE È` `SIMMETRICA RISPETTO ALL'ASSEY y=x² ५ X fi-x) P FUNZIONE DISPARI Une funzione y = f(x) si dice dispari je per ogni x opportenente al dominio dilla funzione anche-x un appartiene e risulta. f(-x) = -f(x) IN TAL CASO IL GRAFICO DELLA FUNCIONE È SIMMETRICO RISPETTO ALL ORIGINE. y=x³ 2 P' y=0x²+c P f(-x) = g(x) 7 x³ t 00 11 -11-1 28 -2-8 r (x)) Es (a) y = 1x1 f(x) = 1x1 f(-x) = |-x1=1×| b) y = √x c). f(x)=√x f(-x) = √-x = 7 y = x 3 x²+1 D= x²0 8 (-x) = (-x) ³ (-x)²+1 = g(x) d) x²-1 = g(x) Dj(x) = f(x)=x²-1 = x 4-1 x²+1 - => PARI g(x) = f(-x) => NE PARI NE DISPARI f (`x) = (- x ) ³-₁ = -x³-1 DF = DR Do = R = (x²+x) (x²-₁) x2x1 -x 3 x²+1 TU + Dg=Dg x3 x²+1 x²-1 FUNTIONI UGUALI Due funtioni f = g son igual se Dg=Dg (se HANNO LO STESSO DOMINIO E RISULTA f(x) = g(x) At of /= pg) Es = -(x 5+1) f = ↑ f(x) = -f(-x) =g => 7 DISPARI => NE PARI NE DISPARI CONE TROVARE IL CODOMINIO il codominis TROVARE b°1671 g=x-5 3 ESPUCITARE LA FUNTIONE RISPETTO ALLA VARIABILE X у= n° 1691 IL CODOMINIO O INSIEME IMMAGINE 3y=x-u 3y +4=x x = 4+ 3y X 2x-1 y (2x-1)=x 2xy-y-x=0 x (241) = ५ (25-1) (24-11 24-1 n 1681 y=√1-x² уго 1 y² = 1-x² possiamo attribuire adly tutto R n° 166 + YE { 24-170 y # 1/1/2/2 2 920 +/+ 1 √A(X) = B(y) х2=1-уг y=x²-4x+2 x ²-ux + 2-y = 0 a b A = u-2 +y = 2+y X₁₁2 = 2 ± √√2+y y2-2 √ y=0 { ut Syzo 1²x (1 x = ± √₁-9² 1-y²20 y² ≤1 y=+1 C -1<x< 1 30109121 Img: 0≤x≤1 crescenti e decrescenti funzioni decrescente 0 X, DEFINITIONE STRETTAMENTE CRESCENTE Sia i un sottoinsieme all dominio alle funzione y = f(x), f si dice strette x ₁² x ₂ => f(x₁) = f(x₂) per ogni x ₁₁ x ₂ € i mente crescente in i se decrescente f(x₂) - F SLXD) 1 м 3(x₂) crescente X2 DEFINITIONE STRETTAMENTE DECRESCENTE Sia i un sottoinsieme del dominio della funzione y = f(x), & si dice strettamente decrescente in i se x₁ < x₂ => 8(x√x f(x) per ogni x₁, x₂ E i Wnfronto suiley 8(x₁) X₁ < x₂ = 7 f(xx) < 8 (X₂) = DEFINITIONE STRETTAMENTE COSTANTE Sia i un sottoinsieme del dominio delle funzione y = f(x), 8 si dice costonte in i se f(x₁) = f(x₂) per ogni X₁, X₂ € i 3(x₂)] 3 (x2) X₁ x2 DEF. DI CRESCENTE IN SENSO LATO x₁ < x₂ = 7 f(x₁) = f(x₂)" per ogni X₁₁ X ₂ € i DEF. DI X₁ < x₂ => f(x₁) = f(x₂) per ogni x₁, x₂ El DEF. MONOTONA DECRESCENTE IN SENSO LATO Une funzione crescente O DECRESCENTE (in sense stretto o I si dice MONOTONA. x+0 26 A lato) in un insieme Y= 1 E MONOTONA STRETTAMEN X TE DECRESCENTE in BR-{0} funzioni iniettive e suriettive funtione fix→y é iniettivo se ogni elemento duy ha al massimo contwimmagine in x. y INIETTIVE Uno UDO 00 0 SI NO X SI SURIETTIVE Une funtione fix-y & suriettile controimmagine di x x y=√x SI ។ se ogni elemento diy ha almeno NO 00 00 si No Ju si NO una l'essere suriety va é iguale a dire che il suo insieme immagine deve coinciolere con l' insieme d'arriwy. J 7 DATA y=f(x) PER DIMOSTRARE CHEE INIETTIVA BASTA VERIFICARE VX₁X₂ € Df SE g(x₁) = f(x₂) => x₁ = x ₂ =7 х OPPURE VX₁X₂ € DS SE X₁ #X₂ => 8(x1) + 8(x₂) ділг). ES. 1) y = 2x+3 appunti 2) y=x²-5 VX1X₂ ER D215 y=1-x y= n216 SINONE INIETTIVA) ES pog 115 n° 215-216-217-219-221 1/²x₁=X-X₂ 1 2X 1 2x1 n°217 3 y=x² XX1, X₂ € DR n°219 3 X ²³₁1 = X ²³²2 9 = 1 x+2 2x2 D=R 11 AX DIMOSTRA CHE E INLETTIVA 2x₁+3=2x₂+3 -7 2×₁=2x₂ => x₁ = x₂ (parabola none iniettva) X₁²-$=x₂² -8 → √X₁² = √x² + x₁ = [X₂ -X1--X2 X² Xx₂ = 2x₁ 1 X₁t2 04/10/21 = ? X212 () n° 221 y = x² - 6x × ²₁² - 6x = × ²³₁ -6X 2 2 x ²₁ = x ² / NON = INIETTIVA. X(xx-8)= X(X2-61) X₂+2=X₁+2² x2x1 P 7 FUNZIONI TROVATE ALGEBRICAMENTE DETERMINARE L'INSIEME IMMAGINE Im (g) CONTROLLO SE COINCIDE CON L'INSIEME DI ARRIVO (IR) Es. y=x²-2x x²-2x-y=0 APPUNTI FUNTIONI ^= 1+y ૫ хліг Es. 4= √x² - 2x SURIETTIVA 2 + √TTY 2 INLEITIVA E SURIENTION? NONE SUPIETTIVA (PARABO(4) 1+y Q O Img = { y = 0} = R₁ funzioni 4 ℗ f: R → R 8-1 x = y²-1 imf #1² Trow il codominio e vedo se coincide con quello delle consegna D & NON & SURIETTIVA 8: D funzioni inverge A B t RT Y 70 + 8:D - RT E SURIEITIVA SE IL DOMINIO e Ro R y20 y≤0 ys y=mx+q 05/10/21 BIETTIVE + funtioni iniettive e suriettive. -1 f: B-7A NONE INERTIBILE PERCHE HA 2 FRECCIE NONE INERTIBILE PERCHE * S NON PARTONO & FRECCIE LSE ELIMINO QUESTI ELEMENT, DIVENTANO INVERTIBIL 7 A a O u X₁+2 0 0 ENVERTIBILE DEFINITIONE DI FUNCIONE INVERTIBILE Une funtione f si dice invertibile se o solo se è INIETTIVA, in tal caso si chiama funtione inversa di f e si indica con il simbolo f¹la funzione che associa a ciascun elemento dell'insieme immagine di f la sua unica contro immagine Funtion; monotone strettamente sono invertibl lo a) f e invertibile SE E solo b) y = 4 O x2=X1 x12 x2+2 E INIETTIVA B a) e invertibile? b) se sitrove f-1 SE BIONIVICA (x2+x)= x²(X₁78) p(y; x) ie grafico di 8-1 è il simmetrico due gratico di f rispetto alla bisettrice del 1° e del 3° quadrante (y=x) Es. y = 4+2 8-₁ y=x i ove decom essere simmetrici rispetto delo bisettice fCINIETTIVA ріх, у) д QUINDLE INVERTIBILE ·1 P(x, y) € 8 P(Y;x) € 8 -74(x+²) = 4 -> xy +²y = 4 ху - и-гу y si pw fore anche il reciproco 11+8 -X2TZ a x yy=4-2 y → x 1 f x1=X₂ ats T P APPUNTI 2 30x² - 8× +4 - 36x ² tax-1 >0 f: A B д: в-с 4x23 4 a funzioni composte B QUD f(x) gaf Es. f(x)= x-1 g(x) = √x+3 go f ( x ) = ? FUNZIONI COMPOSTE (gof)(x) = 0₁ [ f(x)) Date owe funzioni fe g si dice funzione composto di fe gof definite de (gof)(x) = g(f(x))! Ims) ≤ Dg contenute ES. F(x)=x-1 g(x)=√x+3 fog = ? DF = [R Do=x²-3 D fog= x 23 Dg = Drog Df= R Dg=? A x 2-3 Dgof=? ×? - 2 OSSERVATIONE "DOMINIO Di gof si può determinare anche senza trovare l'espressione analitica di gof Dgof = x-12-3 X2-2 07/10/21 1 g (f(x) combie questo gof)(x) = g(f(x)) = g(x-1) = √(x1)+3 =√x+2 sottopongo f(x) conie dominio di g(x) (fog)(x) = f(g(x)) = f (√x+3)=√x+3-1 la funzione LA gof fog + 01 PUN LLONI NON È DI C 9 f COO g(x) √x+3 UN' OPERATIONE COMMUTATION f(g(x)) 1m (g) CD f 7 2) b) Foç ₁ = P f(x)=2x+3 a) E INVERTIBILE? se lo è traa f-1 b) Determine to funzione composte fof/ 2x₁ + 3 = 2x₂+3 2x₁ = 2x₂ n'281 n°282 وسلم y= 2x+3 x = 2y+3 → S(x)=2x13 f(x) 1= x-3 2 (fog- 1)(x) f(x) = 2-x g(x)=3x+2 dore. questo f(x)=3x²-2x g(x)=x-3 e questa valore SE INIETTLUA gog = al ( +´ôƒ ) ( ^) > 8 ^^ ( f(x)) = g−1 (2x+3) = 2x+8-3 − ײ > 2 poo) 120 - n°282 DE DR Do₂ = DR quindu invertibile x - 3=2y - y = x-3 2 = · f ( ƒ˜ ^( x)) = f ( x − ³ ) = a (x-2) + 3 = f prendole numero lo reddoppie e sommo 3 D&= DR Dg = BR =ZF3XFZ 9 (²-x) = g (fx) X-3+3=X 4 prendore numero to diuidoper 2 e sottraggo 3 3x²-2x-3 3(2-x)+2 ty F. IDENTITA gof= x=3 g (3x²2x) = 3 (3X²-2x) - 2 (3 x² -2x) 3x²-3- C