Funzioni

Didascalia alternativa:

{XER } Im(z) {YER /y²2} B вуг non non è une funzione. puo Succeolere 7 y = CODOMINIO DR- D: IR - {05 = {XER/x+0} Лх1 CERI = X-^ 2 = 1 im (g) { y = [R/y> -1} CARATTERISTICHE DELLE FUNZIONI Caratteristiche delle funzioni 1) DOMINIO 2) SEGNO DAL Determinare le segno di uno funtione significe stabilire per quali valori x du polmonio risulto fix ≤0 (NEGATIVA ) (POSITIVA) (TERI) ES. f(x) 70 f DAL PUNTO DI VISTA GRAFICO (X) =D y ä -4 3 X f(x) >0 20 -7 -4 < x < 1 √ x > 3 fixico -> x <-4 √ 14x43 f(x) = 0 -> x= -4 √x=1 √x=3 PUNTO DI VISTA ALGEBRICO = x²(x²³-4) D= 12 perche rational intere f(x) >₁ x ³ (x²-4) >0 x>0 хаки x = ±2 X<-2√x>2 f(x) > 0 →>-2<x<0 f(x) <0->x<-2 √X> 2 f(x)=0 - x = -2 √ x = 0 ✓ X = 2 y = f(x) f(x) 70 8(x)=0 2 28/09/21 f(x) < 0 SDS -202 HOU 1+ b+|+ + 7 + RAPPRESENTATIONE DELLE REGIONI DEL PIANO CARTESIANO A CUI APPARTIENE IL GRAFICO 11 3) SIMMETRIE ES. -2 -X zix_ 9 F FUNTIONI PARI FUNCIONI DISPARI FUNCIONI PARI Une funtione y = f(x) si ouce pari se per ognix oppartenente al dominio. olella funzione anche -x wi appartiene e risulto f(x) = 8(-x) IN TAL CASO IL GRAFICO DELLA FUNZIONE È` `SIMMETRICA RISPETTO ALL'ASSEY y=x² ५ X fi-x) P FUNZIONE DISPARI Une funzione y = f(x) si dice dispari je per ogni x opportenente al dominio dilla funzione anche-x un appartiene e risulta. f(-x) = -f(x) IN TAL CASO IL GRAFICO DELLA FUNCIONE È SIMMETRICO RISPETTO ALL ORIGINE. y=x³ 2 P' y=0x²+c P f(-x) = g(x) 7 x³ t 00 11 -11-1 28 -2-8 r (x)) Es (a) y = 1x1 f(x) = 1x1 f(-x) = |-x1=1×| b) y = √x c). f(x)=√x f(-x) = √-x = 7 y = x 3 x²+1 D= x²0 8 (-x) = (-x) ³ (-x)²+1 = g(x) d) x²-1 = g(x) Dj(x) = f(x)=x²-1 = x 4-1 x²+1 - => PARI g(x) = f(-x) => NE PARI NE DISPARI f (`x) = (- x ) ³-₁ = -x³-1 DF = DR Do = R = (x²+x) (x²-₁) x2x1 -x 3 x²+1 TU + Dg=Dg x3 x²+1 x²-1 FUNTIONI UGUALI Due funtioni f = g son igual se Dg=Dg (se HANNO LO STESSO DOMINIO E RISULTA f(x) = g(x) At of /= pg) Es = -(x 5+1) f = ↑ f(x) = -f(-x) =g => 7 DISPARI => NE PARI NE DISPARI CONE TROVARE IL CODOMINIO il codominis TROVARE b°1671 g=x-5 3 ESPUCITARE LA FUNTIONE RISPETTO ALLA VARIABILE X у= n° 1691 IL CODOMINIO O INSIEME IMMAGINE 3y=x-u 3y +4=x x = 4+ 3y X 2x-1 y (2x-1)=x 2xy-y-x=0 x (241) = ५ (25-1) (24-11 24-1 n 1681 y=√1-x² уго 1 y² = 1-x² possiamo attribuire adly tutto R n° 166 + YE { 24-170 y # 1/1/2/2 2 920 +/+ 1 √A(X) = B(y) х2=1-уг y=x²-4x+2 x ²-ux + 2-y = 0 a b A = u-2 +y = 2+y X₁₁2 = 2 ± √√2+y y2-2 √ y=0 { ut Syzo 1²x (1 x = ± √₁-9² 1-y²20 y² ≤1 y=+1 C -1<x< 1 30109121 Img: 0≤x≤1 crescenti e decrescenti funzioni decrescente 0 X, DEFINITIONE STRETTAMENTE CRESCENTE Sia i un sottoinsieme all dominio alle funzione y = f(x), f si dice strette x ₁² x ₂ => f(x₁) = f(x₂) per ogni x ₁₁ x ₂ € i mente crescente in i se decrescente f(x₂) - F SLXD) 1 м 3(x₂) crescente X2 DEFINITIONE STRETTAMENTE DECRESCENTE Sia i un sottoinsieme del dominio della funzione y = f(x), & si dice strettamente decrescente in i se x₁ < x₂ => 8(x√x f(x) per ogni x₁, x₂ E i Wnfronto suiley 8(x₁) X₁ < x₂ = 7 f(xx) < 8 (X₂) = DEFINITIONE STRETTAMENTE COSTANTE Sia i un sottoinsieme del dominio delle funzione y = f(x), 8 si dice costonte in i se f(x₁) = f(x₂) per ogni X₁, X₂ € i 3(x₂)] 3 (x2) X₁ x2 DEF. DI CRESCENTE IN SENSO LATO x₁ < x₂ = 7 f(x₁) = f(x₂)" per ogni X₁₁ X ₂ € i DEF. DI X₁ < x₂ => f(x₁) = f(x₂) per ogni x₁, x₂ El DEF. MONOTONA DECRESCENTE IN SENSO LATO Une funzione crescente O DECRESCENTE (in sense stretto o I si dice MONOTONA. x+0 26 A lato) in un insieme Y= 1 E MONOTONA STRETTAMEN X TE DECRESCENTE in BR-{0} funzioni iniettive e suriettive funtione fix→y é iniettivo se ogni elemento duy ha al massimo contwimmagine in x. y INIETTIVE Uno UDO 00 0 SI NO X SI SURIETTIVE Une funtione fix-y & suriettile controimmagine di x x y=√x SI ។ se ogni elemento diy ha almeno NO 00 00 si No Ju si NO una l'essere suriety va é iguale a dire che il suo insieme immagine deve coinciolere con l' insieme d'arriwy. J 7 DATA y=f(x) PER DIMOSTRARE CHEE INIETTIVA BASTA VERIFICARE VX₁X₂ € Df SE g(x₁) = f(x₂) => x₁ = x ₂ =7 х OPPURE VX₁X₂ € DS SE X₁ #X₂ => 8(x1) + 8(x₂) ділг). ES. 1) y = 2x+3 appunti 2) y=x²-5 VX1X₂ ER D215 y=1-x y= n216 SINONE INIETTIVA) ES pog 115 n° 215-216-217-219-221 1/²x₁=X-X₂ 1 2X 1 2x1 n°217 3 y=x² XX1, X₂ € DR n°219 3 X ²³₁1 = X ²³²2 9 = 1 x+2 2x2 D=R 11 AX DIMOSTRA CHE E INLETTIVA 2x₁+3=2x₂+3 -7 2×₁=2x₂ => x₁ = x₂ (parabola none iniettva) X₁²-$=x₂² -8 → √X₁² = √x² + x₁ = [X₂ -X1--X2 X² Xx₂ = 2x₁ 1 X₁t2 04/10/21 = ? X212 () n° 221 y = x² - 6x × ²₁² - 6x = × ²³₁ -6X 2 2 x ²₁ = x ² / NON = INIETTIVA. X(xx-8)= X(X2-61) X₂+2=X₁+2² x2x1 P 7 FUNZIONI TROVATE ALGEBRICAMENTE DETERMINARE L'INSIEME IMMAGINE Im (g) CONTROLLO SE COINCIDE CON L'INSIEME DI ARRIVO (IR) Es. y=x²-2x x²-2x-y=0 APPUNTI FUNTIONI ^= 1+y ૫ хліг Es. 4= √x² - 2x SURIETTIVA 2 + √TTY 2 INLEITIVA E SURIENTION? NONE SUPIETTIVA (PARABO(4) 1+y Q O Img = { y = 0} = R₁ funzioni 4 ℗ f: R → R 8-1 x = y²-1 imf #1² Trow il codominio e vedo se coincide con quello delle consegna D & NON & SURIETTIVA 8: D funzioni inverge A B t RT Y 70 + 8:D - RT E SURIEITIVA SE IL DOMINIO e Ro R y20 y≤0 ys y=mx+q 05/10/21 BIETTIVE + funtioni iniettive e suriettive. -1 f: B-7A NONE INERTIBILE PERCHE HA 2 FRECCIE NONE INERTIBILE PERCHE * S NON PARTONO & FRECCIE LSE ELIMINO QUESTI ELEMENT, DIVENTANO INVERTIBIL 7 A a O u X₁+2 0 0 ENVERTIBILE DEFINITIONE DI FUNCIONE INVERTIBILE Une funtione f si dice invertibile se o solo se è INIETTIVA, in tal caso si chiama funtione inversa di f e si indica con il simbolo f¹la funzione che associa a ciascun elemento dell'insieme immagine di f la sua unica contro immagine Funtion; monotone strettamente sono invertibl lo a) f e invertibile SE E solo b) y = 4 O x2=X1 x12 x2+2 E INIETTIVA B a) e invertibile? b) se sitrove f-1 SE BIONIVICA (x2+x)= x²(X₁78) p(y; x) ie grafico di 8-1 è il simmetrico due gratico di f rispetto alla bisettrice del 1° e del 3° quadrante (y=x) Es. y = 4+2 8-₁ y=x i ove decom essere simmetrici rispetto delo bisettice fCINIETTIVA ріх, у) д QUINDLE INVERTIBILE ·1 P(x, y) € 8 P(Y;x) € 8 -74(x+²) = 4 -> xy +²y = 4 ху - и-гу y si pw fore anche il reciproco 11+8 -X2TZ a x yy=4-2 y → x 1 f x1=X₂ ats T P APPUNTI 2 30x² - 8× +4 - 36x ² tax-1 >0 f: A B д: в-с 4x23 4 a funzioni composte B QUD f(x) gaf Es. f(x)= x-1 g(x) = √x+3 go f ( x ) = ? FUNZIONI COMPOSTE (gof)(x) = 0₁ [ f(x)) Date owe funzioni fe g si dice funzione composto di fe gof definite de (gof)(x) = g(f(x))! Ims) ≤ Dg contenute ES. F(x)=x-1 g(x)=√x+3 fog = ? DF = [R Do=x²-3 D fog= x 23 Dg = Drog Df= R Dg=? A x 2-3 Dgof=? ×? - 2 OSSERVATIONE "DOMINIO Di gof si può determinare anche senza trovare l'espressione analitica di gof Dgof = x-12-3 X2-2 07/10/21 1 g (f(x) combie questo gof)(x) = g(f(x)) = g(x-1) = √(x1)+3 =√x+2 sottopongo f(x) conie dominio di g(x) (fog)(x) = f(g(x)) = f (√x+3)=√x+3-1 la funzione LA gof fog + 01 PUN LLONI NON È DI C 9 f COO g(x) √x+3 UN' OPERATIONE COMMUTATION f(g(x)) 1m (g) CD f 7 2) b) Foç ₁ = P f(x)=2x+3 a) E INVERTIBILE? se lo è traa f-1 b) Determine to funzione composte fof/ 2x₁ + 3 = 2x₂+3 2x₁ = 2x₂ n'281 n°282 وسلم y= 2x+3 x = 2y+3 → S(x)=2x13 f(x) 1= x-3 2 (fog- 1)(x) f(x) = 2-x g(x)=3x+2 dore. questo f(x)=3x²-2x g(x)=x-3 e questa valore SE INIETTLUA gog = al ( +´ôƒ ) ( ^) > 8 ^^ ( f(x)) = g−1 (2x+3) = 2x+8-3 − ײ > 2 poo) 120 - n°282 DE DR Do₂ = DR quindu invertibile x - 3=2y - y = x-3 2 = · f ( ƒ˜ ^( x)) = f ( x − ³ ) = a (x-2) + 3 = f prendole numero lo reddoppie e sommo 3 D&= DR Dg = BR =ZF3XFZ 9 (²-x) = g (fx) X-3+3=X 4 prendore numero to diuidoper 2 e sottraggo 3 3x²-2x-3 3(2-x)+2 ty F. IDENTITA gof= x=3 g (3x²2x) = 3 (3X²-2x) - 2 (3 x² -2x) 3x²-3- C