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Scopri le Equazioni e Disequazioni Esponenziali e Logaritmiche: Teoria, Esercizi e Mappe!

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Rita Cornacchini

15/09/2022

Matematica

esponenziali e logaritmi

Scopri le Equazioni e Disequazioni Esponenziali e Logaritmiche: Teoria, Esercizi e Mappe!

Exponential and Logarithmic Functions: A Comprehensive Guide

This guide covers the essential concepts of exponential and logarithmic functions, including equations, properties, and graphical representations. It provides a thorough understanding of these mathematical concepts for students.

• Explores exponential equations and their solutions
• Examines logarithmic functions and their properties
• Discusses exponential and logarithmic inequalities
• Includes graphical representations and practical examples

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15/09/2022

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Eq. esponenziale
(elementare)
a* = b
RIASSUNTO MATE 1
ESPONEN2IALI
a>o
a#1
b>0
Sotto queste
ed è pari a
a
2 a f(x)
In generale le eq. espone

Vedi

Exponential Functions Graphical Representation

This page focuses on the graphical representation of exponential functions, which take the form y = a^x. The shape of the graph depends on the value of the base a.

For a > 1, the function is increasing, with the graph rising from left to right. For 0 < a < 1, the function is decreasing, with the graph falling from left to right. In both cases, the domain of the function is all real numbers RR.

Highlight: The y-axis x=0x = 0 is always an asymptote for exponential functions.

Example: The graph of y = 2^x is an increasing exponential function, while y = 1/21/2^x is a decreasing exponential function.

These graphical representations help visualize the behavior of exponential functions and their key properties.

Eq. esponenziale
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a* = b
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In generale le eq. espone

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Logarithms: Definition and Properties

This page introduces the concept of logarithms and their fundamental properties. Logarithms are defined as the inverse operation of exponentiation.

Definition: The logarithm of a number b with base a, written as log_a b, is the exponent to which a must be raised to produce b.

The page outlines the conditions for logarithms: a > 0, a ≠ 1, and b > 0. It also introduces special logarithms such as the natural logarithm baseebase e and the common logarithm base10base 10.

Highlight: A logarithm is positive when both the base and the argument are greater than 1 or when both are between 0 and 1.

The page concludes with important relationships between logarithms and exponents, such as a^logablog_a b = b and log_a axa^x = x.

Eq. esponenziale
(elementare)
a* = b
RIASSUNTO MATE 1
ESPONEN2IALI
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In generale le eq. espone

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Logarithm Theorems and Change of Base Formula

This page delves into the important theorems of logarithms and introduces the change of base formula. These properties are crucial for simplifying and solving logarithmic expressions and equations.

Highlight: Key logarithm properties include:

  1. log_a bcb·c = log_a b + log_a c
  2. log_a b/cb/c = log_a b - log_a c
  3. log_a bmb^m = m · log_a b

The change of base formula is presented as:

Formula: log_a b = logcblog_c b / logcalog_c a

This formula allows for the conversion between logarithms of different bases, which is particularly useful when working with calculators or when simplifying complex logarithmic expressions.

Example: log_2 8 can be calculated using the natural logarithm as ln 8 / ln 2.

These properties and the change of base formula are essential tools for manipulating and solving logarithmic functions and equations.

Eq. esponenziale
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Logarithmic Equations

This page focuses on logarithmic equations, which are equations where the unknown variable appears as the argument of a logarithm. The page begins by introducing the elementary logarithmic equation:

Definition: An elementary logarithmic equation has the form log_a x = b, with the solution x = a^b, where x > 0.

The page then outlines three general types of logarithmic equations and their solving methods:

  1. log_a fxx = k
  2. fxx = log_a gxx
  3. a_1 log_a x + a_2 log_a x + a_3 = 0

Example: To solve log_2 x = 3, we get x = 2^3 = 8.

The solving process often involves substitution and solving resulting quadratic equations. The page emphasizes the importance of checking solutions against the domain restrictions of logarithms.

Highlight: Always remember the condition x > 0 when solving logarithmic equations, as logarithms are only defined for positive arguments.

Eq. esponenziale
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a* = b
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Logarithmic Functions

This page explores logarithmic functions, which are the inverse of exponential functions. The general form of a logarithmic function is y = log_a x.

The graph of a logarithmic function depends on the base a:

  • For a > 1, the function is increasing.
  • For 0 < a < 1, the function is decreasing.

Highlight: The domain of all logarithmic functions is x > 0, and the y-axis x=1x = 1 is always an asymptote.

Example: The natural logarithm function y = ln x is an increasing logarithmic function with base e ≈ 2.718.

The page includes graphical representations of logarithmic functions, illustrating their key features such as the y-intercept at 1,01,0 and their behavior as x approaches 0 and positive infinity.

Eq. esponenziale
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Exponential and Logarithmic Inequalities

This final page covers exponential and logarithmic inequalities, which are crucial in solving many real-world problems involving growth and decay.

For exponential inequalities:

  • a^f(xf(x) > k becomes fxx > log_a k for a > 1
  • a^f(xf(x) < k becomes fxx < log_a k for 0 < a < 1

Example: Solve 2^x > 8. This becomes x > log_2 8 = 3.

For logarithmic inequalities:

  • log_a fxx > k becomes fxx > a^k for a > 1
  • log_a fxx < k becomes 0 < fxx < a^k for a > 1

Highlight: Always consider the domain restrictions when solving logarithmic inequalities: fxx > 0.

The page also includes compound inequalities and systems of inequalities involving exponential and logarithmic functions.

Vocabulary: A compound inequality involves two or more inequalities combined with "and" or "or" statements.

This comprehensive overview of exponential and logarithmic inequalities completes the guide, providing students with the tools to tackle a wide range of problems in this important area of mathematics.

Non c'è niente di adatto? Esplorare altre aree tematiche.

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Adoro questa applicazione [...] consiglio Knowunity a tutti!!! Sono passato da un 5 a una 8 con questa app

Stefano S, utente iOS

L'applicazione è molto semplice e ben progettata. Finora ho sempre trovato quello che stavo cercando

Susanna, utente iOS

Adoro questa app ❤️, la uso praticamente sempre quando studio.

 

Matematica

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15 set 2022

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Scopri le Equazioni e Disequazioni Esponenziali e Logaritmiche: Teoria, Esercizi e Mappe!

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Rita Cornacchini

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Exponential and Logarithmic Functions: A Comprehensive Guide

This guide covers the essential concepts of exponential and logarithmic functions, including equations, properties, and graphical representations. It provides a thorough understanding of these mathematical concepts for students.

• Explores exponential equationsand... Mostra di più

Eq. esponenziale
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a* = b
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Exponential Functions Graphical Representation

This page focuses on the graphical representation of exponential functions, which take the form y = a^x. The shape of the graph depends on the value of the base a.

For a > 1, the function is increasing, with the graph rising from left to right. For 0 < a < 1, the function is decreasing, with the graph falling from left to right. In both cases, the domain of the function is all real numbers RR.

Highlight: The y-axis x=0x = 0 is always an asymptote for exponential functions.

Example: The graph of y = 2^x is an increasing exponential function, while y = 1/21/2^x is a decreasing exponential function.

These graphical representations help visualize the behavior of exponential functions and their key properties.

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Logarithms: Definition and Properties

This page introduces the concept of logarithms and their fundamental properties. Logarithms are defined as the inverse operation of exponentiation.

Definition: The logarithm of a number b with base a, written as log_a b, is the exponent to which a must be raised to produce b.

The page outlines the conditions for logarithms: a > 0, a ≠ 1, and b > 0. It also introduces special logarithms such as the natural logarithm baseebase e and the common logarithm base10base 10.

Highlight: A logarithm is positive when both the base and the argument are greater than 1 or when both are between 0 and 1.

The page concludes with important relationships between logarithms and exponents, such as a^logablog_a b = b and log_a axa^x = x.

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Logarithm Theorems and Change of Base Formula

This page delves into the important theorems of logarithms and introduces the change of base formula. These properties are crucial for simplifying and solving logarithmic expressions and equations.

Highlight: Key logarithm properties include:

  1. log_a bcb·c = log_a b + log_a c
  2. log_a b/cb/c = log_a b - log_a c
  3. log_a bmb^m = m · log_a b

The change of base formula is presented as:

Formula: log_a b = logcblog_c b / logcalog_c a

This formula allows for the conversion between logarithms of different bases, which is particularly useful when working with calculators or when simplifying complex logarithmic expressions.

Example: log_2 8 can be calculated using the natural logarithm as ln 8 / ln 2.

These properties and the change of base formula are essential tools for manipulating and solving logarithmic functions and equations.

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Logarithmic Equations

This page focuses on logarithmic equations, which are equations where the unknown variable appears as the argument of a logarithm. The page begins by introducing the elementary logarithmic equation:

Definition: An elementary logarithmic equation has the form log_a x = b, with the solution x = a^b, where x > 0.

The page then outlines three general types of logarithmic equations and their solving methods:

  1. log_a fxx = k
  2. fxx = log_a gxx
  3. a_1 log_a x + a_2 log_a x + a_3 = 0

Example: To solve log_2 x = 3, we get x = 2^3 = 8.

The solving process often involves substitution and solving resulting quadratic equations. The page emphasizes the importance of checking solutions against the domain restrictions of logarithms.

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Logarithmic Functions

This page explores logarithmic functions, which are the inverse of exponential functions. The general form of a logarithmic function is y = log_a x.

The graph of a logarithmic function depends on the base a:

  • For a > 1, the function is increasing.
  • For 0 < a < 1, the function is decreasing.

Highlight: The domain of all logarithmic functions is x > 0, and the y-axis x=1x = 1 is always an asymptote.

Example: The natural logarithm function y = ln x is an increasing logarithmic function with base e ≈ 2.718.

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Exponential and Logarithmic Inequalities

This final page covers exponential and logarithmic inequalities, which are crucial in solving many real-world problems involving growth and decay.

For exponential inequalities:

  • a^f(xf(x) > k becomes fxx > log_a k for a > 1
  • a^f(xf(x) < k becomes fxx < log_a k for 0 < a < 1

Example: Solve 2^x > 8. This becomes x > log_2 8 = 3.

For logarithmic inequalities:

  • log_a fxx > k becomes fxx > a^k for a > 1
  • log_a fxx < k becomes 0 < fxx < a^k for a > 1

Highlight: Always consider the domain restrictions when solving logarithmic inequalities: fxx > 0.

The page also includes compound inequalities and systems of inequalities involving exponential and logarithmic functions.

Vocabulary: A compound inequality involves two or more inequalities combined with "and" or "or" statements.

This comprehensive overview of exponential and logarithmic inequalities completes the guide, providing students with the tools to tackle a wide range of problems in this important area of mathematics.

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Exponential Equations and Functions

Exponential equations are a fundamental concept in mathematics, particularly in the study of exponential functions. This page introduces the basic form of exponential equations and their solutions.

An elementary exponential equation takes the form a^x = b, where a > 0, a ≠ 1, and b > 0. Under these conditions, the solution is unique and equal to x = log_a b. The page also outlines three general types of exponential equations and their solving methods.

Definition: An exponential equation is an equation where the variable appears in the exponent.

Example: For the equation 2^x = 8, the solution is x = log_2 8 = 3.

The page concludes with a brief introduction to exponential functions, noting that their graphs depend on the base a.

Highlight: Exponential functions with a base greater than 1 are increasing functions, while those with a base between 0 and 1 are decreasing functions.

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Recensioni dei nostri utenti. Ci adorano - e anche tu, vedrai .

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L'applicazione è molto facile da usare e ben progettata. Finora ho trovato tutto quello che cercavo e ho potuto imparare molto dalle presentazioni! Utilizzerò sicuramente l'app per i compiti in classe! È molto utile anche come fonte di ispirazione.

Stefano S

utente iOS

Questa applicazione è davvero grande! Ci sono tantissimi appunti e aiuti con lo studio [...]. La mia materia problematica, per esempio, è il francese e l'app ha così tante opzioni per aiutarmi. Grazie a questa app ho migliorato il mio francese. La consiglio a tutti.

Samantha Klich

utente Android

Wow, sono davvero stupita. Ho appena provato l'app perché l'ho vista pubblicizzata molte volte e sono rimasta assolutamente sbalordita. Questa app è L'AIUTO che cercate per la scuola e soprattutto offre tantissime cose, come allenamenti e schede, che a me personalmente sono state MOLTO utili.

Anna

utente iOS

È bellissima questa app, la adoro. È utilissima per lo studio e mi aiuta molto, anzi moltissimo, ma soprattutto mi aiutano molto i quiz, per memorizzare anche quello che non sapevo

Anastasia

utente Android

Fantastica per qualsiasi materia avere gli appunti anche di altre persone è molto utile perchè posso confrontarmi e vedere come migliorarmi. con i quiz riesco ad apprendere al meglio.

Francesca

utente Android

moooolto utile,gli appunti sono belli e funzionanti,schoolGPT da dei consigli formidabili!!

Marianna

utente Android

L'applicazione è semplicemente fantastica! Tutto ciò che devo fare è inserire l'argomento nella barra di ricerca e ottengo la risposta molto velocemente. Non devo guardare 10 video di YouTube per capire qualcosa, quindi risparmio tempo. Consigliatissima!

Sudenaz Ocak

utente Android

A scuola andavo malissimo in matematica, ma grazie a questa applicazione ora vado meglio. Vi sono molto grato per aver creato questa app.

Greenlight Bonnie

utente Android

Knowunity è un applicazione fantastica,considerando che ha degli schemi veramente molto carini e sfiziosi e che ci sono dei quiz,oltre al fatto che questa cosa dell intelligenza artificiale "school gpt" è almeno per me molto utile, perché a differenza di Chatgpt ti da le spiegazioni, ti spiega ciò che non è chiaro! Posso studiare più velocemente tramite gli schemi e che posso pubblicare io stessa gli schemi è una funzione utilissima per gli altri studenti. Knowunity è PERFETTA

Aurora

utente Android

L’app funziona benissimo e puoi trovare qualsiasi tipo di informazione. Non ho l’abbonamento ma la parte gratuita è sufficiente per uno studio approfondito.

Martina

utente iOS

in questi ultimi mesi di scuola dove il tempo è ormai poco, mi sta aiutando molto perché piuttosto che farmi io gli schemi su quello che leggo sul libro guardo questi già fatti e li uso come ripasso piuttosto che rileggermi tutto il libro

Chiara

utente IOS

Questa app è una delle migliori, nient’altro da dire.

Andrea

utente iOS

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Stefano S

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Questa applicazione è davvero grande! Ci sono tantissimi appunti e aiuti con lo studio [...]. La mia materia problematica, per esempio, è il francese e l'app ha così tante opzioni per aiutarmi. Grazie a questa app ho migliorato il mio francese. La consiglio a tutti.

Samantha Klich

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Wow, sono davvero stupita. Ho appena provato l'app perché l'ho vista pubblicizzata molte volte e sono rimasta assolutamente sbalordita. Questa app è L'AIUTO che cercate per la scuola e soprattutto offre tantissime cose, come allenamenti e schede, che a me personalmente sono state MOLTO utili.

Anna

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È bellissima questa app, la adoro. È utilissima per lo studio e mi aiuta molto, anzi moltissimo, ma soprattutto mi aiutano molto i quiz, per memorizzare anche quello che non sapevo

Anastasia

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Fantastica per qualsiasi materia avere gli appunti anche di altre persone è molto utile perchè posso confrontarmi e vedere come migliorarmi. con i quiz riesco ad apprendere al meglio.

Francesca

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moooolto utile,gli appunti sono belli e funzionanti,schoolGPT da dei consigli formidabili!!

Marianna

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L'applicazione è semplicemente fantastica! Tutto ciò che devo fare è inserire l'argomento nella barra di ricerca e ottengo la risposta molto velocemente. Non devo guardare 10 video di YouTube per capire qualcosa, quindi risparmio tempo. Consigliatissima!

Sudenaz Ocak

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A scuola andavo malissimo in matematica, ma grazie a questa applicazione ora vado meglio. Vi sono molto grato per aver creato questa app.

Greenlight Bonnie

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Knowunity è un applicazione fantastica,considerando che ha degli schemi veramente molto carini e sfiziosi e che ci sono dei quiz,oltre al fatto che questa cosa dell intelligenza artificiale "school gpt" è almeno per me molto utile, perché a differenza di Chatgpt ti da le spiegazioni, ti spiega ciò che non è chiaro! Posso studiare più velocemente tramite gli schemi e che posso pubblicare io stessa gli schemi è una funzione utilissima per gli altri studenti. Knowunity è PERFETTA

Aurora

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L’app funziona benissimo e puoi trovare qualsiasi tipo di informazione. Non ho l’abbonamento ma la parte gratuita è sufficiente per uno studio approfondito.

Martina

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in questi ultimi mesi di scuola dove il tempo è ormai poco, mi sta aiutando molto perché piuttosto che farmi io gli schemi su quello che leggo sul libro guardo questi già fatti e li uso come ripasso piuttosto che rileggermi tutto il libro

Chiara

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Questa app è una delle migliori, nient’altro da dire.

Andrea

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