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Derivata di una funzione
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CAP. DERIVATE Problema: di retta Tangente: per coniche qualsiasi dueña impossibile Def: ● f=> y = f(x), definite in un f'(x) = lim f (xo + h) = f (x) - h derivata prima ON derivata La punto di viata dinamico, considerace seconte possore per P(xo; yo) e consideriamo posizione limite ~ Pu->0, e de seconte a Tangente ein maq Pu-20 = * f (xo+hu) - f (xo) - se esrate finito é mdr) Pu di V istantanea: posizione appeño in funzione di t-> s (to+h) - a (to) : f. elementari: P(x) = K k -> f (x) = f (x)=x" = X n incremento di x me xo+lu deve P(x) -g(+)_ -> di uns f (x) = a* > f'(x) = a*. lua f (x) = log₂ + -> = D della f. reciproca -> calcolando f'(x) di deriuato prime -> derivate seconda f"(x) f'(x) di derivata n-esima -> derivata n-esima for (x) non derivabile: P. derivabile in to se esiste am. finito, £. no quindi deve esistère tangente al grafico dif be accade una delle 2 allora siano in punto di non demivabilità Lx Continuità in Xo non garantiace denivabilita' ma se fé derivabile in to allora fé continue in to derivabile a dx o ax: • derivata dx di f(x) = lum + f(x+fu)-f(x) ~ fr²(x₂) + f(x) derivabile a dr se lim existe finito di f(x) = Cim f (xo+h)-f(xo) ~ f (xo) + f(x) derivabile a sx se lim...
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Stefano S, utente iOS
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Susanna, utente iOS
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Didascalia alternativa:
esiste finito Pu derivata ax Pu-30- Pu P²(x)=0 f²(x) = 1 f'(x) = n. x^-1 x² Algebra delle derivate: D[ f(x) + g(x)] = D[K. P(x)] = f'(x) + g'(x) k· P²(x) • D[ f(x) · g(x)] = f'(x) · g(x) + f(x). g² (x) D f³(x) · g(x) − f (x). g'(x) daresin x = s √1-x² darccos x = - √1-x² darctaux = 1 f. inverso: 1+x² rapporto incrementale lui (-15-1) intorno completo di g² (y) = 1 f (x) = + 1 =D lux->f²cl ㅗ = X lu a darccot x = - 0 [1/(²] = P²(x²) f² (x) a (to+h)-a(to) s(to+h)- a(To) -> tol se lim esiste finito. Pu f'(x) 1+x² arcsin - sun -> arccos - cas esiste • D o di una f. comporta-> D (fog) = D[ f(g(x))] = f'(g(x)) + g² (x) › generalizzazione: D ( f ( x )) ² = 2. (f(x))^²². f³ (+) Dat D loga f(x) = f(x) хо ed è finito una suu si dice derivabile X udm di derivata D[ f(x) = g(x)] = f'(x) - g²(x) 1 Cua é ● con vecchi metodi (P; 1; £...) Q(xoth; ...) fé denvabile 2, 3, n-volte in to se sono f'(x) f(x) f'(x). af(x) Cua. in Xo udm Y udm X f(x) = sinx f(x) = coax -> f(x) = Taux -> se: p'(x), f"(x), f"(x). derivabili in xo (! dimostrazioni sul q.) in Tempo: [To; Tot Ru] ~ z in xo, ma non deve essere verticale, ->Cum finiti e coincidenti oltre a continuita ->> f'(x) = coa x f'(x) = -sin x f'(x) = 1 + Tau ³² x = s coa x -=D operazione di derivazione. é lineare ・f(x) = f'(x). cos f(x) se f -> continue e invertibile in intervallo I -> dervabile in x EI e {² (x) 0 allora g=f¹ é denu. nel punto y = f(x) -> derivata di Tutto x derivate dell'argomento. Classificazione punti: 1. Punto angoloso : d(dx) e d(ax) sono 2 Сандейі жахо 2. Curapide: d (dx) ed (ax) sono infinite I> Tangente xo é verticale In Q I MA se xo annulla. arg. limite della denvete - fé finite ma # di 3. Flesso a Tangente verticale: d (dx) e d(ax) sono infinite ц Тогдайте nxo é verticale . modulo /aro. radice / è un жезпо 7 oppure une finite 8 punto di reccordo tra 2 Tratti: · Tangenza Tra 2 curve →> tan nello studio del moto -> segno continua in Xo se esistono finiti/inf. ( f'(x) = e₁ allora noutta: f_'(x0) = C₁ @ f²+ (x0) = @₂ Applicazionis-reta Tangente -> y = f(x₂) = f'(xo). (x-xo) - e denivabile in intorno di xo me non in xo, sie f' le sue Cimiti : f'(x) = ₂ lui x-xo in Xo Umecha= Vist= (V;) -relia normale →> y - f (xo) = -__1_. (x-x₂) f'(x₂) a l'aure inf. se lin Ot-o -> Differenziale. y=f(x) ~ f. dervabile in x 1 By ~ f'(x). Ox differenziale di f(x) ~ querdo diff differenziale di f(x) e f(x) = g(x₂) f'(x) = 3² (xo) a(test) - a(t) Piur X-3x+ se G₁ = ₂ allora f é derivabile in xo e At s(t+st) - a(t) At in x dy = f'(x) dx رنا ~ rapp. Incrementale s(t) = Dy subiTa da y quando derivata ; am = f'(x) = ₁ = P₂ - Vi (t + Ot) - V₁ (t) x subiace Ax ai(t)= lin Vi (t+Dr) - V₂ (+) seso ot = v₁' (t) = a"(t) si può approssimore: é moto piccolo (incremento infinitesimale) incremento infinitesima