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Aggiornato Mar 22, 2026
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Kotne Funkcije: Pravokotni Trikotnik in Enotska Krožnica
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Kotne funkcije v pravokotnem trikotniku - osnove
Vse se začne s pravokotnim trikotnikom in razmerji med njegovimi stranicami. To je temelj, ki ga moraš obvladati, ker se na to navezuje vse ostalo.
V pravokotnem trikotniku imaš tri stranice: nasprotno kateto (nasproti kotu α), priležno kateto (ob kotu α) in hipotenuzo (najdaljša stranica). Kotne funkcije so preprosto razmerja med tema stranicama.
Zapomni si kratico SOH-CAH-TOA: Sinus = nasprotna/hipotenuza, Kosinus = priležna/hipotenuza, Tangens = nasprotna/priležna. To ti bo pomagalo pri vseh izračunih.
Pozor! Te definicije delujejo samo za ostre kote (med 0° in 90°). Za večje kote potrebuješ enotsko krožnico.
Definicije kotnih funkcij
Tukaj so štiri glavne kotne funkcije za ostri kot α, ki jih moraš znati na pamet:
Sinus: sin α = nasprotna kateta/hipotenuza = a/c
Kosinus: cos α = priležna kateta/hipotenuza = b/c
Tangens: tan α = nasprotna kateta/priležna kateta = a/b
Kotangens: cot α = priležna kateta/nasprotna kateta = b/a
Te formule uporabljaj pri vseh nalogah s pravokotnimi trikotniki. Če imaš podan kot in eno stranico, lahko izračunaš vse ostale.
Problem nastane, ko hočeš izračunati kotne funkcije za kote, večje od 90°. Tu ti pomaga enotska krožnica - krožnica s polmerom 1 in središčem v koordinatnem izhodišču.
Prehod na enotsko krožnico
Enotska krožnica ti omogoča, da definiraš kotne funkcije za katerikoli kot, ne samo za ostre. Njena enačba je x² + y² = 1.
Postopek je enostaven: nariši kot α od pozitivne osi x (v nasprotni smeri urinega kazalca). Kjer premični krak seka krožnico, je točka T(x,y).
Tukaj pride genialnost: koordinati te točke sta kar vrednosti kotnih funkcij! Kosinus je x-koordinata, sinus pa y-koordinata točke T.
Ključno spoznanje: cos α = x in sin α = y. Iz tega lahko izpelješ tudi tan α = y/x in cot α = x/y (če niso nič).
Formule na enotski krožnici in predznaki
Na enotski krožnici velja: cos α = x, sin α = y, tan α = sin α/cos α in cot α = cos α/sin α.
Najpomembnejša formula v trigonometriji je temeljna trigonometrična identiteta: cos² α + sin² α = 1. To moraš znati na pamet!
Predznaki po kvadrantih so ključni za pravilne rezultate:
- I. kvadrant (0°-90°): vse funkcije pozitivne
- II. kvadrant (90°-180°): samo sinus pozitiven
- III. kvadrant (180°-270°): samo tangens in kotangens pozitivna
- IV. kvadrant (270°-360°): samo kosinus pozitiven
Pomnjalni trik: "Vsi Študentje Trigonometrije Cenijo" - V prvem so Vse pozitivne, v drugem Sinus, v tretjem Tangens, v četrtem Cosinus.
Vrednosti za pomembne kote
Te vrednosti moraš znati popolnoma na pamet - brez njih ne moreš rešiti nobene naloge na maturi:
0°: sin = 0, cos = 1, tan = 0
30°: sin = 1/2, cos = √3/2, tan = √3/3
45°: sin = √2/2, cos = √2/2, tan = 1
60°: sin = √3/2, cos = 1/2, tan = √3
90°: sin = 1, cos = 0, tan = nedefiniran
Opomni si, da tan 90° ni definiran, ker bi delil z nič . Enako velja za cot 0° in cot 180°.
Učni nasvet: Naredi si kartonček in se vsak dan sprašuj te vrednosti, dokler jih ne znaš avtomatsko. To ti bo prihranilo ogromno časa na testih.
Rešeni primeri - pravokotni trikotnik in enotska krožnica
Primer iz pravokotnega trikotnika: Če je hipotenuza = 10 cm in kot α = 30°, potem a = 10 × sin 30° = 10 × 1/2 = 5 cm in b = 10 × cos 30° = 10 × √3/2 = 5√3 cm.
Primer z enotsko krožnico: Za sin 210° najprej ugotoviš, da je 210° v III. kvadrantu (med 180° in 270°). Tu je sinus negativen.
Referenčni kot je 210° - 180° = 30°. Torej sin 210° = -sin 30° = -1/2. Podobno cos 210° = -cos 30° = -√3/2, tan 210° = √3/3 (pozitiven v III. kvadrantu).
Strategija: Pri kotih izven I. kvadranta vedno find referenčni kot in nato pravilno določi predznak glede na kvadrant.
Primer z osnovno zvezo
Naloga: Če je sin α = 4/5 in je α v II. kvadrantu, izračunaj cos α in tan α.
Uporabiš temeljno zvezo: sin² α + cos² α = 1 (4/5)² + cos² α = 1 16/25 + cos² α = 1 cos² α = 9/25 cos α = ±3/5
Ker je α v II. kvadrantu, je kosinus negativen, torej cos α = -3/5.
Za tangens: tan α = sin α/cos α = (4/5)/(-3/5) = -4/3 (negativen, ker smo v II. kvadrantu).
Pomembno: Vedno preveri, ali se predznak ujema s kvadrantom, v katerem se nahaja kot!
Hiter pregled za test
Osnove: SOH-CAH-TOA za pravokotne trikotnike. Enotska krožnica: cos α = x, sin α = y, kjer je T(x,y) presečišče.
Temeljna zveza: sin² α + cos² α = 1 (to moraš znati!)
Predznaki: I-vse pozitivne, II-samo sin, III-samo tan/cot, IV-samo cos.
Ključne vrednosti: 0°, 30°, 45°, 60°, 90° - naučiti se na pamet!
Prevedba na I. kvadrant: II.kv: 180°-α, III.kv: α-180°, IV.kv: 360°-α.
Zadnji nasvet: Periodičnost - sin in cos se ponavljata vsake 360°, tan in cot pa vsake 180°. To ti pomaga pri večjih kotih.
Pensavamo che non l'avreste mai chiesto....
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L'applicazione è molto facile da usare e ben progettata. Finora ho trovato tutto quello che cercavo e ho potuto imparare molto dalle presentazioni! Utilizzerò sicuramente l'app per i compiti in classe! È molto utile anche come fonte di ispirazione.
Stefano S
utente iOS
Questa applicazione è davvero grande! Ci sono tantissimi appunti e aiuti con lo studio [...]. La mia materia problematica, per esempio, è il francese e l'app ha così tante opzioni per aiutarmi. Grazie a questa app ho migliorato il mio francese. La consiglio a tutti.
Samantha Klich
utente Android
Wow, sono davvero stupita. Ho appena provato l'app perché l'ho vista pubblicizzata molte volte e sono rimasta assolutamente sbalordita. Questa app è L'AIUTO che cercate per la scuola e soprattutto offre tantissime cose, come allenamenti e schede, che a me personalmente sono state MOLTO utili.
Anna
utente iOS
È bellissima questa app, la adoro. È utilissima per lo studio e mi aiuta molto, anzi moltissimo, ma soprattutto mi aiutano molto i quiz, per memorizzare anche quello che non sapevo
Anastasia
utente Android
Fantastica per qualsiasi materia avere gli appunti anche di altre persone è molto utile perchè posso confrontarmi e vedere come migliorarmi. con i quiz riesco ad apprendere al meglio.
Francesca
utente Android
moooolto utile,gli appunti sono belli e funzionanti,schoolGPT da dei consigli formidabili!!
Marianna
utente Android
L'applicazione è semplicemente fantastica! Tutto ciò che devo fare è inserire l'argomento nella barra di ricerca e ottengo la risposta molto velocemente. Non devo guardare 10 video di YouTube per capire qualcosa, quindi risparmio tempo. Consigliatissima!
Sudenaz Ocak
utente Android
A scuola andavo malissimo in matematica, ma grazie a questa applicazione ora vado meglio. Vi sono molto grato per aver creato questa app.
Greenlight Bonnie
utente Android
Knowunity è un applicazione fantastica,considerando che ha degli schemi veramente molto carini e sfiziosi e che ci sono dei quiz,oltre al fatto che questa cosa dell intelligenza artificiale "school gpt" è almeno per me molto utile, perché a differenza di Chatgpt ti da le spiegazioni, ti spiega ciò che non è chiaro! Posso studiare più velocemente tramite gli schemi e che posso pubblicare io stessa gli schemi è una funzione utilissima per gli altri studenti. Knowunity è PERFETTA
Aurora
utente Android
L’app funziona benissimo e puoi trovare qualsiasi tipo di informazione. Non ho l’abbonamento ma la parte gratuita è sufficiente per uno studio approfondito.
Martina
utente iOS
I quiz E LE flashcard SONO COSÌ UTILI E ADORO Knowunity IA. È ANCHE LETTERALMENTE COME CHATGPT MA PIÙ INTELLIGENTE!! MI HA AIUTATO ANCHE COI MIEI PROBLEMI DI MASCARA!! E ANCHE CON LE MIE VERE MATERIE! OVVIO 😍😁😲🤑💗✨🎀😮
Chiara
utente IOS
Questa app è una delle migliori, nient’altro da dire.
Andrea
utente iOS
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Questa applicazione è davvero grande! Ci sono tantissimi appunti e aiuti con lo studio [...]. La mia materia problematica, per esempio, è il francese e l'app ha così tante opzioni per aiutarmi. Grazie a questa app ho migliorato il mio francese. La consiglio a tutti.
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Anna
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È bellissima questa app, la adoro. È utilissima per lo studio e mi aiuta molto, anzi moltissimo, ma soprattutto mi aiutano molto i quiz, per memorizzare anche quello che non sapevo
Anastasia
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Francesca
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Sudenaz Ocak
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A scuola andavo malissimo in matematica, ma grazie a questa applicazione ora vado meglio. Vi sono molto grato per aver creato questa app.
Greenlight Bonnie
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Aurora
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Chiara
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Andrea
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Kotne Funkcije: Pravokotni Trikotnik in Enotska Krožnica
Kotne funkcije so temelj trigonometrije in jih boš potreboval pri maturiteti ter v nadaljnjem študiju. Začnejo se z enostavnimi razmerji v pravokotnem trikotniku, nato pa se razširijo na enotsko krožnico, kjer lahko rešuješ probleme z vsemi koti.
Kotne funkcije v pravokotnem trikotniku - osnove
Vse se začne s pravokotnim trikotnikom in razmerji med njegovimi stranicami. To je temelj, ki ga moraš obvladati, ker se na to navezuje vse ostalo.
V pravokotnem trikotniku imaš tri stranice: nasprotno kateto (nasproti kotu α), priležno kateto (ob kotu α) in hipotenuzo (najdaljša stranica). Kotne funkcije so preprosto razmerja med tema stranicama.
Zapomni si kratico SOH-CAH-TOA: Sinus = nasprotna/hipotenuza, Kosinus = priležna/hipotenuza, Tangens = nasprotna/priležna. To ti bo pomagalo pri vseh izračunih.
Pozor! Te definicije delujejo samo za ostre kote (med 0° in 90°). Za večje kote potrebuješ enotsko krožnico.
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Definicije kotnih funkcij
Tukaj so štiri glavne kotne funkcije za ostri kot α, ki jih moraš znati na pamet:
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Kosinus: cos α = priležna kateta/hipotenuza = b/c
Tangens: tan α = nasprotna kateta/priležna kateta = a/b
Kotangens: cot α = priležna kateta/nasprotna kateta = b/a
Te formule uporabljaj pri vseh nalogah s pravokotnimi trikotniki. Če imaš podan kot in eno stranico, lahko izračunaš vse ostale.
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Prehod na enotsko krožnico
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Postopek je enostaven: nariši kot α od pozitivne osi x (v nasprotni smeri urinega kazalca). Kjer premični krak seka krožnico, je točka T(x,y).
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Formule na enotski krožnici in predznaki
Na enotski krožnici velja: cos α = x, sin α = y, tan α = sin α/cos α in cot α = cos α/sin α.
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Predznaki po kvadrantih so ključni za pravilne rezultate:
- I. kvadrant (0°-90°): vse funkcije pozitivne
- II. kvadrant (90°-180°): samo sinus pozitiven
- III. kvadrant (180°-270°): samo tangens in kotangens pozitivna
- IV. kvadrant (270°-360°): samo kosinus pozitiven
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30°: sin = 1/2, cos = √3/2, tan = √3/3
45°: sin = √2/2, cos = √2/2, tan = 1
60°: sin = √3/2, cos = 1/2, tan = √3
90°: sin = 1, cos = 0, tan = nedefiniran
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Primer iz pravokotnega trikotnika: Če je hipotenuza = 10 cm in kot α = 30°, potem a = 10 × sin 30° = 10 × 1/2 = 5 cm in b = 10 × cos 30° = 10 × √3/2 = 5√3 cm.
Primer z enotsko krožnico: Za sin 210° najprej ugotoviš, da je 210° v III. kvadrantu (med 180° in 270°). Tu je sinus negativen.
Referenčni kot je 210° - 180° = 30°. Torej sin 210° = -sin 30° = -1/2. Podobno cos 210° = -cos 30° = -√3/2, tan 210° = √3/3 (pozitiven v III. kvadrantu).
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Naloga: Če je sin α = 4/5 in je α v II. kvadrantu, izračunaj cos α in tan α.
Uporabiš temeljno zvezo: sin² α + cos² α = 1 (4/5)² + cos² α = 1 16/25 + cos² α = 1 cos² α = 9/25 cos α = ±3/5
Ker je α v II. kvadrantu, je kosinus negativen, torej cos α = -3/5.
Za tangens: tan α = sin α/cos α = (4/5)/(-3/5) = -4/3 (negativen, ker smo v II. kvadrantu).
Pomembno: Vedno preveri, ali se predznak ujema s kvadrantom, v katerem se nahaja kot!
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Osnove: SOH-CAH-TOA za pravokotne trikotnike. Enotska krožnica: cos α = x, sin α = y, kjer je T(x,y) presečišče.
Temeljna zveza: sin² α + cos² α = 1 (to moraš znati!)
Predznaki: I-vse pozitivne, II-samo sin, III-samo tan/cot, IV-samo cos.
Ključne vrednosti: 0°, 30°, 45°, 60°, 90° - naučiti se na pamet!
Prevedba na I. kvadrant: II.kv: 180°-α, III.kv: α-180°, IV.kv: 360°-α.
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