Matematica

Funzioni Logaritmiche ed Esponenziali

Funzione Esponenziale

Matematica

2 dic 2025

1136

4 pagine

Equazioni Esponenziali: Definizione e Metodi di Risoluzione

mimì🌺 @mimiii7

Segui

Le equazioni esponenziali sono equazioni dove l'incognita x appare nell'esponente di una o più potenze. Capire come risolverle... Mostra di più

$# equazione esponen ziale è un'equazione in cui l'incognita x compare come esponente di una o + potenze es. $2^x-2=0$ $3^{x^2} + 3^{2x}-2=0$

Equazioni Esponenziali Le Basi

Un'equazione esponenziale è semplicemente un'equazione dove la x si trova come esponente, tipo $2^x - 2 = 0$ o $3^{x^2} + 3^{2x} - 2 = 0$ .

La forma più semplice è l'equazione esponenziale elementare $a^x = b$ . Ma attenzione questa ha soluzioni in numeri reali solo se a > 0 e b > 0. Perché? Perché $a^x$ con esponente reale ha senso solo se la base è positiva, e dato che $a^x$ è sempre positivo quando a > 0, anche b deve essere positivo.

💡 Ricorda Se vedi $3^x = -3$ , l'equazione è impossibile perché $3^x$ non può mai essere negativo!

Casi particolari da tenere a mente $1^x = 1$ è sempre vera per ogni x, mentre $1^x = 5$ è impossibile. E $5^x = 1$ ha soluzione solo quando x = 0, perché $5^0 = 1$ .

$# equazione esponen ziale è un'equazione in cui l'incognita x compare come esponente di una o + potenze es. $2^x-2=0$ $3^{x^2} + 3^{2x}-2=0$

La Funzione Esponenziale e le Sue Proprietà

Prima di risolvere le equazioni, devi padroneggiare le proprietà delle potenze $a^x \cdot a^s = a^{x+s}$ , $a^x a^s = a^{x-s}$ , $(a^x)^s = a^{x \cdot s}$ e $(a \cdot b)^x = a^x \cdot b^x$ .

Il grafico della funzione esponenziale $y = a^x$ ha caratteristiche precise. Passa sempre per il punto (0,1) perché $a^0 = 1$ . Se a > 1, la curva è crescente $tipo $y = 2^x$$ . Se 0 < a < 1, è decrescente $tipo $y = (\frac{1}{2})^x$$ .

💡 Trucco visivo Tutte le curve esponenziali stanno sempre sopra l'asse x perché $a^x$ è sempre positivo!

La curva esponenziale è fondamentale per capire il comportamento delle equazioni. Quando a > 1, più x cresce, più y esplode verso l'alto. Quando 0 < a < 1, succede il contrario.

$# equazione esponen ziale è un'equazione in cui l'incognita x compare come esponente di una o + potenze es. $2^x-2=0$ $3^{x^2} + 3^{2x}-2=0$

Risoluzione Metodo delle Basi Uguali

Il trucco principale per risolvere le equazioni esponenziali è ottenere potenze con la stessa base. Una volta fatto questo, puoi uguagliare gli esponenti e risolvere l'equazione algebrica risultante.

Esempio pratico $3^x = 9$ diventa $3^x = 3^2$ , quindi x = 2. Oppure $2^x = \frac{8}{4}$ si trasforma in $2^x = 2^{-3}$ , da cui x = -3.

Per equazioni più complesse come $2^{x^2-4} = 8^x$ , trasformi tutto in base 2 $2^{x^2-4} = (2^3)^x = 2^{3x}$ . Quindi $x^2 - 4 = 3x$ , che diventa l'equazione di secondo grado $x^2 - 3x - 4 = 0$ .

💡 Strategia vincente Cerca sempre di esprimere tutto con la stessa base (2, 3, 5, 10...) prima di procedere!

$# equazione esponen ziale è un'equazione in cui l'incognita x compare come esponente di una o + potenze es. $2^x-2=0$ $3^{x^2} + 3^{2x}-2=0$

Cambio di Variabile Il Metodo Avanzato

Quando non riesci a usare basi uguali, prova il cambio di variabile. Sostituisci $a^x$ con t per semplificare l'equazione.

Esempio per $3^{2x} - 2 \cdot 3^x - 3 = 0$ , poni $3^x = t$ . Quindi $3^{2x} = (3^x)^2 = t^2$ e l'equazione diventa $t^2 - 2t - 3 = 0$ .

Risolvi l'equazione di secondo grado $t_1 = 3$ e $t_2 = -1$ . Poi rifai il cambio $3^x = 3$ $quindi x = 1$ e $3^x = -1$ (impossibile perché b < 0).

💡 Attenzione finale Controlla sempre che le soluzioni trovate rispettino le condizioni a > 0 e b > 0!

Il metodo funziona benissimo con equazioni tipo $3^{2x} - 12 \cdot 3^x + 27 = 0$ , che con il cambio di variabile diventa semplicemente un'equazione di secondo grado.

Pensavamo che non l'avreste mai chiesto....

Che cos'è l'assistente AI di Knowunity?

Il nostro assistente AI è costruito specificamente per le esigenze degli studenti. Sulla base dei milioni di contenuti presenti sulla piattaforma, possiamo fornire agli studenti risposte davvero significative e pertinenti. Ma non si tratta solo di risposte, l'assistente è in grado di guidare gli studenti attraverso le loro sfide quotidiane di studio, con piani di studio personalizzati, quiz o contenuti nella chat e una personalizzazione al 100% basata sulle competenze e sugli sviluppi degli studenti.

Dove posso scaricare l'applicazione Knowunity?

È possibile scaricare l'applicazione dal Google Play Store e dall'Apple App Store.

Knowunity è davvero gratuita?

Sì, hai accesso completamente gratuito a tutti i contenuti nell'app e puoi chattare o seguire i Creatori in qualsiasi momento. Sbloccherai nuove funzioni crescendo il tuo numero di follower. Inoltre, offriamo Knowunity Premium, che consente di studiare senza alcun limite!!

Strumenti Intelligenti NUOVO

Trasforma questi appunti in: ✓ 50+ Domande di Pratica ✓ Flashcard Interattive ✓ Simulazione Completa d'Esame ✓ Schemi per Saggi

Simulazione d'Esame

Quiz

Flashcard

Saggio

Equazioni Esponenziali: Definizione e Metodi di Risoluzione

Equazioni Esponenziali Le Basi

La Funzione Esponenziale e le Sue Proprietà

Risoluzione Metodo delle Basi Uguali

Cambio di Variabile Il Metodo Avanzato

Pensavamo che non l'avreste mai chiesto....

Che cos'è l'assistente AI di Knowunity?

Dove posso scaricare l'applicazione Knowunity?

Knowunity è davvero gratuita?

Contenuti più popolari: Funzione Esponenziale

Funzioni esponenziali

Funzioni esponenziali

Funzioni esponenziali

Funzioni esponenziali

Logaritmi e esponenziali

Le funzioni esponenziali

La funzione esponenziale

Esponenziali schema riassuntivo

Contenuti più popolari di Matematica

Le funzioni

i limiti

le funzioni

Funzioni

I logaritmi

Domini delle funzioni

matematica: le funzioni

Prodotti notevoli

Le Disequazioni

Contenuti più popolari

teoria patente B

Leopardi

Riassunto patente B

Patente

riassunti promessi sposi capitolo 1/2/3/4/5/6

PATENTE B

MANUALE PATENTE A &B SCHEMATIZZATO

HEGEL

appunti patente

Non c'è niente di adatto? Esplorare altre aree tematiche.

Recensioni dei nostri utenti. Ci adorano - e anche tu, vedrai .

4.9/5

4.8/5

Equazioni Esponenziali: Definizione e Metodi di Risoluzione

Iscriviti per mostrare il contenutoÈ gratis!

Equazioni Esponenziali: Le Basi

Iscriviti per mostrare il contenutoÈ gratis!

La Funzione Esponenziale e le Sue Proprietà

Iscriviti per mostrare il contenutoÈ gratis!

Risoluzione: Metodo delle Basi Uguali

Iscriviti per mostrare il contenutoÈ gratis!

Cambio di Variabile: Il Metodo Avanzato

Pensavamo che non l'avreste mai chiesto....

Che cos'è l'assistente AI di Knowunity?

Dove posso scaricare l'applicazione Knowunity?

Knowunity è davvero gratuita?

Contenuti più popolari: Funzione Esponenziale

Funzioni esponenziali

Funzioni esponenziali

Funzioni esponenziali

Funzioni esponenziali

Logaritmi e esponenziali

Le funzioni esponenziali

La funzione esponenziale

Esponenziali schema riassuntivo

Contenuti più popolari di Matematica

Le funzioni

i limiti

le funzioni

Funzioni

I logaritmi

Domini delle funzioni

matematica: le funzioni

Prodotti notevoli

Le Disequazioni

Contenuti più popolari

teoria patente B

Leopardi

Riassunto patente B

Patente

riassunti promessi sposi capitolo 1/2/3/4/5/6