Matematica

Funzioni Logaritmiche ed Esponenziali

Funzione Esponenziale

1354

•

14 gen 2026

•

4 pagine

Equazioni Esponenziali: Definizione e Metodi di Risoluzione

mimì🌺

@mimiii7

Le equazioni esponenziali sono equazioni dove l'incognita x appare nell'esponente... Mostra di più

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$# equazione esponen ziale è un'equazione in cui l'incognita x compare come esponente di una o + potenze es. $2^x-2=0$ $3^{x^2} + 3^{2x}-2=0$

Equazioni Esponenziali: Le Basi

Un'equazione esponenziale è semplicemente un'equazione dove la x si trova come esponente, tipo $2^x - 2 = 0$ o $3^{x^2} + 3^{2x} - 2 = 0$ .

La forma più semplice è l'equazione esponenziale elementare: $a^x = b$ . Ma attenzione: questa ha soluzioni in numeri reali solo se a > 0 e b > 0. Perché? Perché $a^x$ con esponente reale ha senso solo se la base è positiva, e dato che $a^x$ è sempre positivo quando a > 0, anche b deve essere positivo.

💡 Ricorda: Se vedi $3^x = -3$ , l'equazione è impossibile perché $3^x$ non può mai essere negativo!

Casi particolari da tenere a mente: $1^x = 1$ è sempre vera per ogni x, mentre $1^x = 5$ è impossibile. E $5^x = 1$ ha soluzione solo quando x = 0, perché $5^0 = 1$ .

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La Funzione Esponenziale e le Sue Proprietà

Prima di risolvere le equazioni, devi padroneggiare le proprietà delle potenze: $a^x \cdot a^s = a^{x+s}$ , $a^x : a^s = a^{x-s}$ , $(a^x)^s = a^{x \cdot s}$ e $(a \cdot b)^x = a^x \cdot b^x$ .

Il grafico della funzione esponenziale $y = a^x$ ha caratteristiche precise. Passa sempre per il punto (0,1) perché $a^0 = 1$ . Se a > 1, la curva è crescente $tipo $y = 2^x$$ . Se 0 < a < 1, è decrescente $tipo $y = (\frac{1}{2})^x$$ .

💡 Trucco visivo: Tutte le curve esponenziali stanno sempre sopra l'asse x perché $a^x$ è sempre positivo!

La curva esponenziale è fondamentale per capire il comportamento delle equazioni. Quando a > 1, più x cresce, più y esplode verso l'alto. Quando 0 < a < 1, succede il contrario.

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Risoluzione: Metodo delle Basi Uguali

Il trucco principale per risolvere le equazioni esponenziali è ottenere potenze con la stessa base. Una volta fatto questo, puoi uguagliare gli esponenti e risolvere l'equazione algebrica risultante.

Esempio pratico: $3^x = 9$ diventa $3^x = 3^2$ , quindi x = 2. Oppure $2^x = \frac{8}{4}$ si trasforma in $2^x = 2^{-3}$ , da cui x = -3.

Per equazioni più complesse come $2^{x^2-4} = 8^x$ , trasformi tutto in base 2: $2^{x^2-4} = (2^3)^x = 2^{3x}$ . Quindi $x^2 - 4 = 3x$ , che diventa l'equazione di secondo grado $x^2 - 3x - 4 = 0$ .

💡 Strategia vincente: Cerca sempre di esprimere tutto con la stessa base (2, 3, 5, 10...) prima di procedere!

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Cambio di Variabile: Il Metodo Avanzato

Quando non riesci a usare basi uguali, prova il cambio di variabile. Sostituisci $a^x$ con t per semplificare l'equazione.

Esempio: per $3^{2x} - 2 \cdot 3^x - 3 = 0$ , poni $3^x = t$ . Quindi $3^{2x} = (3^x)^2 = t^2$ e l'equazione diventa $t^2 - 2t - 3 = 0$ .

Risolvi l'equazione di secondo grado: $t_1 = 3$ e $t_2 = -1$ . Poi rifai il cambio: $3^x = 3$ $quindi x = 1$ e $3^x = -1$ (impossibile perché b < 0).

💡 Attenzione finale: Controlla sempre che le soluzioni trovate rispettino le condizioni a > 0 e b > 0!

Il metodo funziona benissimo con equazioni tipo $3^{2x} - 12 \cdot 3^x + 27 = 0$ , che con il cambio di variabile diventa semplicemente un'equazione di secondo grado.

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