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Matematica
6 dic 2025
545
4 pagine
ele @el.eeee
Le funzioni goniometrichesono strumenti fondamentali per capire gli angoli e le loro relazioni. Scoprirai come seno, coseno... Mostra di più
La goniometria studia la misura degli angoli e ti permette di descrivere rotazioni e movimenti circolari. Un angolo divide il piano in due parti usando due semirette con la stessa origine.
Esistono due sistemi principali per misurare gli angoli. Il sistema sessagesimale usa i gradi (°), dove 1° = 1/360 dell'angolo giro. Il sistema in radianti è più elegante un radiante è l'angolo al centro che corrisponde a un arco lungo quanto il raggio.
Per convertire da gradi a radianti usi la proporzione α gradi x radianti = 360° 2π. Ricorda che π radianti = 180°, quindi π/2 = 90°, π/4 = 45°, e così via.
Gli angoli orientati hanno una direzione positivi se ruoti in senso antiorario, negativi se ruoti in senso orario. Questa distinzione è cruciale per le funzioni goniometriche!
Tip veloce Un radiante vale circa 57°, un valore utile per conversioni mentali rapide!
La circonferenza goniometrica è la circonferenza di equazione x² + y² = 1 centrata nell'origine. È il tuo strumento principale per visualizzare le funzioni goniometriche.
Il punto P(1;0) è l'origine degli archi. Quando consideri un angolo α, il punto B sulla circonferenza ti dà direttamente le coordinate sen α = yB (ordinata) e cos α = xB (ascissa).
Seno e coseno sono funzioni periodiche con periodo 2π. Questo significa che sen = sen x per qualsiasi intero k. Inoltre sono limitate -1 ≤ sen α ≤ 1 e -1 ≤ cos α ≤ 1.
I grafici di queste funzioni sono onde sinusoidali che si ripetono ogni 2π radianti. Il seno parte da 0, il coseno da 1, ma hanno la stessa forma ondulata.
Ricorda Le coordinate del punto sulla circonferenza sono letteralmente (cos α, sen α)!
La tangente è definita come tan α = sen α / cos α, cioè il rapporto tra ordinata e ascissa del punto B sulla circonferenza goniometrica.
La tangente non esiste quando cos α = 0, ovvero quando α = π/2 + kπ (90°, 270°, ecc.). In questi punti la funzione ha asintoti verticali e "salta" all'infinito.
Il periodo della tangente è π (non 2π come seno e coseno). Questo significa che tan = tan α. Il grafico mostra una serie di curve che si ripetono ogni π radianti.
Il dominio della tangente è ℝ - {π/2 + kπ, k ∈ ℤ}, mentre il codominio è tutto ℝ. A differenza di seno e coseno, la tangente può assumere qualsiasi valore reale.
Attenzione La tangente "esplode" ogni π/2, creando quelle linee verticali che non può attraversare!
Gli angoli notevoli (0°, 30°, 45°, 60°, 90° e i loro multipli) hanno valori esatti che devi memorizzare. Ad esempio sen 30° = 1/2, cos 30° = √3/2, tan 45° = 1.
Le relazioni fondamentali ti permettono di collegare le funzioni tra loro. La più importante è l'identità pitagorica cos²α + sen²α = 1, che deriva dal teorema di Pitagora applicato alla circonferenza unitaria.
Altre relazioni utili includono tan α = sen α / cos α e le funzioni reciproche sec α = 1/cos α, csc α = 1/sen α, cot α = 1/tan α. Queste ti aiutano a semplificare espressioni complesse.
Usando queste relazioni puoi ricavare una funzione dalle altre. Ad esempio, se conosci la tangente, puoi trovare seno e coseno con le formule sen α = ±tan α/√.
Trucco Memorizza i valori di 30°, 45°, 60° - sono i mattoncini per costruire tutti gli altri!
Il nostro assistente AI è costruito specificamente per le esigenze degli studenti. Sulla base dei milioni di contenuti presenti sulla piattaforma, possiamo fornire agli studenti risposte davvero significative e pertinenti. Ma non si tratta solo di risposte, l'assistente è in grado di guidare gli studenti attraverso le loro sfide quotidiane di studio, con piani di studio personalizzati, quiz o contenuti nella chat e una personalizzazione al 100% basata sulle competenze e sugli sviluppi degli studenti.
È possibile scaricare l'applicazione dal Google Play Store e dall'Apple App Store.
Sì, hai accesso completamente gratuito a tutti i contenuti nell'app e puoi chattare o seguire i Creatori in qualsiasi momento. Sbloccherai nuove funzioni crescendo il tuo numero di follower. Inoltre, offriamo Knowunity Premium, che consente di studiare senza alcun limite!!
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Strumenti Intelligenti NUOVO
Trasforma questi appunti in: ✓ 50+ Domande di Pratica ✓ Flashcard Interattive ✓ Simulazione Completa d'Esame ✓ Schemi per Saggi
App Store
Google Play
L'applicazione è molto facile da usare e ben progettata. Finora ho trovato tutto quello che cercavo e ho potuto imparare molto dalle presentazioni! Utilizzerò sicuramente l'app per i compiti in classe! È molto utile anche come fonte di ispirazione.
Stefano S
utente iOS
Questa applicazione è davvero grande! Ci sono tantissimi appunti e aiuti con lo studio [...]. La mia materia problematica, per esempio, è il francese e l'app ha così tante opzioni per aiutarmi. Grazie a questa app ho migliorato il mio francese. La consiglio a tutti.
Samantha Klich
utente Android
Wow, sono davvero stupita. Ho appena provato l'app perché l'ho vista pubblicizzata molte volte e sono rimasta assolutamente sbalordita. Questa app è L'AIUTO che cercate per la scuola e soprattutto offre tantissime cose, come allenamenti e schede, che a me personalmente sono state MOLTO utili.
Anna
utente iOS
È bellissima questa app, la adoro. È utilissima per lo studio e mi aiuta molto, anzi moltissimo, ma soprattutto mi aiutano molto i quiz, per memorizzare anche quello che non sapevo
Anastasia
utente Android
Fantastica per qualsiasi materia avere gli appunti anche di altre persone è molto utile perchè posso confrontarmi e vedere come migliorarmi. con i quiz riesco ad apprendere al meglio.
Francesca
utente Android
moooolto utile,gli appunti sono belli e funzionanti,schoolGPT da dei consigli formidabili!!
Marianna
utente Android
L'applicazione è semplicemente fantastica! Tutto ciò che devo fare è inserire l'argomento nella barra di ricerca e ottengo la risposta molto velocemente. Non devo guardare 10 video di YouTube per capire qualcosa, quindi risparmio tempo. Consigliatissima!
Sudenaz Ocak
utente Android
A scuola andavo malissimo in matematica, ma grazie a questa applicazione ora vado meglio. Vi sono molto grato per aver creato questa app.
Greenlight Bonnie
utente Android
Knowunity è un applicazione fantastica,considerando che ha degli schemi veramente molto carini e sfiziosi e che ci sono dei quiz,oltre al fatto che questa cosa dell intelligenza artificiale "school gpt" è almeno per me molto utile, perché a differenza di Chatgpt ti da le spiegazioni, ti spiega ciò che non è chiaro! Posso studiare più velocemente tramite gli schemi e che posso pubblicare io stessa gli schemi è una funzione utilissima per gli altri studenti. Knowunity è PERFETTA
Aurora
utente Android
L’app funziona benissimo e puoi trovare qualsiasi tipo di informazione. Non ho l’abbonamento ma la parte gratuita è sufficiente per uno studio approfondito.
Martina
utente iOS
in questi ultimi mesi di scuola dove il tempo è ormai poco, mi sta aiutando molto perché piuttosto che farmi io gli schemi su quello che leggo sul libro guardo questi già fatti e li uso come ripasso piuttosto che rileggermi tutto il libro
Chiara
utente IOS
Questa app è una delle migliori, nient’altro da dire.
Andrea
utente iOS
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Le funzioni goniometriche sono strumenti fondamentali per capire gli angoli e le loro relazioni. Scoprirai come seno, coseno e tangente ti aiutano a risolvere problemi pratici in fisica, ingegneria e tanto altro!
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La goniometria studia la misura degli angoli e ti permette di descrivere rotazioni e movimenti circolari. Un angolo divide il piano in due parti usando due semirette con la stessa origine.
Esistono due sistemi principali per misurare gli angoli. Il sistema sessagesimale usa i gradi (°), dove 1° = 1/360 dell'angolo giro. Il sistema in radianti è più elegante: un radiante è l'angolo al centro che corrisponde a un arco lungo quanto il raggio.
Per convertire da gradi a radianti usi la proporzione: α gradi : x radianti = 360° : 2π. Ricorda che π radianti = 180°, quindi π/2 = 90°, π/4 = 45°, e così via.
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Seno e coseno sono funzioni periodiche con periodo 2π. Questo significa che sen = sen x per qualsiasi intero k. Inoltre sono limitate: -1 ≤ sen α ≤ 1 e -1 ≤ cos α ≤ 1.
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Ricorda: Le coordinate del punto sulla circonferenza sono letteralmente (cos α, sen α)!
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Gli angoli notevoli (0°, 30°, 45°, 60°, 90° e i loro multipli) hanno valori esatti che devi memorizzare. Ad esempio: sen 30° = 1/2, cos 30° = √3/2, tan 45° = 1.
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Aurora
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