Equazioni e Disequazioni di Primo Grado

Le equazioni di primo grado sono la base di tutto! Segui questi passaggi e non sbaglierai mai: prima svolgi le operazioni, poi sposta tutti i termini con x da una parte e i numeri dall'altra.

La forma normale è ax + b = 0, e da qui hai tre possibilità. Se a ≠ 0, hai una soluzione unica x = -b/a. Se a = 0 ma b ≠ 0, l'equazione è impossibile. Se sia a che b sono zero, hai infinite soluzioni.

Per le disequazioni, tutto funziona uguale alle equazioni, ma attenzione! Quando moltiplichi o dividi per un numero negativo, devi cambiare il verso della disequazione.

💡 Attenzione: Il cambio di verso nelle disequazioni è l'errore più comune. Controlla sempre il segno!

Nell'esempio -7x > 14, dividiamo per -7 e otteniamo x < -2. Vedi come il verso si è invertito?

Equazioni di Secondo Grado

Le equazioni di secondo grado si presentano in quattro tipi diversi, ognuno con il suo metodo di risoluzione. È come avere quattro chiavi diverse per quattro serrature!

Le complete $ax² + bx + c = 0$ si risolvono con la famosa formula del discriminante. Le pure $ax² + c = 0$ sono più semplici: isoli x² e fai la radice quadrata.

Le spurie $ax² + bx = 0$ si risolvono raccogliendo x, mentre le monomie $ax² = 0$ hanno sempre soluzione x = 0.

Il discriminante Δ = b² - 4ac ti dice tutto: se è positivo hai due soluzioni, se è zero una sola, se è negativo nessuna soluzione reale.

💡 Ricorda: Per le disequazioni di secondo grado, pensa alla parabola! Sopra o sotto l'asse x?

Le disequazioni di secondo grado si risolvono pensando al grafico: una parabola con la concavità verso l'alto (a > 0) o verso il basso (a < 0).

Disequazioni con Valore Assoluto - Esempi Pratici

Risolvere disequazioni con il valore assoluto significa capire quando un'espressione è più grande o più piccola di zero. La chiave è sempre dividere il problema in casi diversi.

Nel primo esercizio, abbiamo una disequazione del tipo x$x²+2$|x²-4x+3| ≥ 0. Qui il valore assoluto è sempre positivo o nullo, e x²+2 è sempre positivo. Quindi tutto dipende dal segno di x.

Studiando i segni su una retta, vediamo che la soluzione è x > 0. Questo metodo del studio del segno è fondamentale per tutte le disequazioni.

💡 Trucco: Quando hai un valore assoluto, ricorda che è sempre ≥ 0, questo semplifica molto i calcoli!

Per il grafico della funzione y = |2x| + |x-2|, dividiamo in tre casi base su dove si annullano le espressioni dentro i valori assoluti. Il minimo globale si trova in x = 0 dove la funzione vale 2.

Equazioni di Grado Superiore

Non farti spaventare dalle equazioni di grado superiore! Sono più semplici di quanto sembrano se usi i metodi giusti.

Le equazioni monomie $ax^n = 0$ hanno sempre una sola soluzione: x = 0. Le binomie $ax^n + b = 0$ si risolvono isolando x^n, ma attenzione alle radici pari di numeri negativi!

Le equazioni trinomie sono le più interessanti. Quelle biquadratiche $come x⁴ - 5x² + 4 = 0$ si risolvono con il cambio di variabile: poni t = x² e risolvi l'equazione di secondo grado.

💡 Strategia vincente: Il cambio di variabile trasforma un problema complesso in uno che già sai risolvere!

Nell'esempio x⁴ - 5x² + 4 = 0, ponendo t = x² ottieni t² - 5t + 4 = 0, che ha soluzioni t = 4 e t = 1. Quindi x = ±2 e x = ±1.

Tecniche di Risoluzione Avanzate

Quando le equazioni diventano più complicate, hai bisogno di tecniche speciali come il raccoglimento e la regola di Ruffini.

Il raccoglimento totale funziona quando puoi mettere in evidenza un fattore comune. Nell'esempio x³ - 3x² = 0, raccogli x² e ottieni x²$x - 3$ = 0.

Il raccoglimento parziale è perfetto per polinomi a quattro termini. Raggruppi i termini e cerchi fattori comuni nei gruppi.

La regola di Ruffini è magica per le equazioni di terzo grado! Provi con i divisori del termine noto finché non trovi uno che funziona.

💡 Trucco da pro: Per Ruffini, prova sempre prima con ±1, sono i candidati più probabili!

Nell'esercizio x³ - 2x² - 5x + 6 = 0, provando con x = 1 nella tabella di Ruffini, ottieni $x - 1$$x² - x - 6$ = 0.

Il Valore Assoluto - Definizione e Prime Equazioni

Il valore assoluto è la distanza di un numero dallo zero, sempre positiva! La definizione è semplice: |x| = x se x ≥ 0, |x| = -x se x < 0.

Per risolvere equazioni con valore assoluto, devi "togliere" le barrette distinguendo i casi. È come aprire una scatola e guardare cosa c'è dentro in tutte le situazioni possibili.

Nell'esempio |2x - 3| = x + 6, consideri due casi: quando 2x - 3 ≥ 0 e quando 2x - 3 < 0. Risolvi entrambi e controlli che le soluzioni rispettino le condizioni.

💡 Metodo infallibile: Prima trova dove si annulla l'espressione dentro il valore assoluto, poi dividi in casi!

Con due valori assoluti come |2x + 1| + |x - 2| = 4, devi trovare tutti i punti critici $-1/2 e 2$ e dividere la retta in tre intervalli.

Disequazioni con Valore Assoluto

Le disequazioni con valore assoluto seguono la stessa logica delle equazioni, ma devi prestare attenzione ai versi delle disuguaglianze.

Nel caso |2x - 3| > x + 6, dividi in due situazioni: quando l'espressione dentro è positiva e quando è negativa. Risolvi i sistemi di disequazioni risultanti.

La soluzione finale è l'unione delle soluzioni valide di ciascun caso. Nell'esempio ottieni x < -1 oppure x > 9.

Per |x² - 5| ≤ 4, il ragionamento è simile ma più articolato perché hai un'espressione quadratica dentro il valore assoluto.

💡 Visualizza sempre: Disegna la retta dei numeri reali per capire meglio gli intervalli soluzione!

Il risultato finale è spesso un'unione di intervalli, come -3 ≤ x ≤ -1 oppure 1 ≤ x ≤ 3.