Matematica

Tecniche di Fattorizzazione dei Polinomi

Fattorizzazione per Risolvere

329

•

Aggiornato Apr 3, 2026

•

3 pagine

Guida alle Disequazioni di Secondo Grado

Matilde

@matilde_elwg

Le disequazioni di secondo grado ti permettono di trovare intervalli... Mostra di più

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$# Disequazioni di secondo grado $x²+5x-6<0$ * scomporre il polinomio * studiare il segno $x²+5x-6=0$ $x_1 \cdot x_2=-6$ $x_1+ x_2=1$ $$

Risolvere disequazioni di secondo grado

Per risolvere una disequazione come $x^2 + 5x - 6 < 0$ , segui questi passi fondamentali:

Scomponi il polinomio in fattori (dopo aver risolto l'equazione associata)
Studia il segno di ciascun fattore

Per esempio, scomponendo $x^2 + 5x - 6 = (x + 6)(x - 1)$ , troviamo che le radici sono $x = -6$ e $x = 1$ . La disequazione $(x + 6)(x - 1) < 0$ è soddisfatta quando i due fattori hanno segni opposti, quindi nell'intervallo $(-6, 1)$ .

💡 Ricorda: quando moltiplichi due espressioni, il risultato è negativo solo se un fattore è positivo e l'altro negativo!

Con il coefficiente $a$ positivo, il grafico della parabola è rivolto verso l'alto. Questo significa che il polinomio è positivo all'esterno dell'intervallo tra le radici e negativo al suo interno.

$# Disequazioni di secondo grado $x²+5x-6<0$ * scomporre il polinomio * studiare il segno $x²+5x-6=0$ $x_1 \cdot x_2=-6$ $x_1+ x_2=1$ $$

Casi possibili nelle disequazioni di secondo grado

Il discriminante $\Delta = b^2 - 4ac$ determina subito il tipo di soluzione:

Quando $\Delta > 0$ (primo caso), abbiamo due soluzioni distinte $x_1$ e $x_2$ . Il segno del polinomio coincide con il segno di $a$ per valori esterni all'intervallo delle radici.

Esempio: per $x^2+x-1>0$ con $a=1$ positivo, la soluzione è $x<\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$ oppure $x>\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$

Quando $\Delta < 0$ (secondo caso), l'equazione non ha soluzioni reali. Il polinomio mantiene lo stesso segno di $a$ per ogni valore di $x$ .

🔍 Attenzione: quando lavori con frazioni, devi sempre studiare anche il segno del denominatore per evitare divisioni per zero!

Per disequazioni come $\frac{1}{3x-x^2} \ge 0$ , devi prima trovare dove il denominatore si annulla $in questo caso $x=0$ e $x=3$$ e poi determinare in quali intervalli la frazione soddisfa la disequazione.

$# Disequazioni di secondo grado $x²+5x-6<0$ * scomporre il polinomio * studiare il segno $x²+5x-6=0$ $x_1 \cdot x_2=-6$ $x_1+ x_2=1$ $$

Caso particolare: discriminante nullo

Quando $\Delta = 0$ , l'equazione ha un'unica soluzione (radice doppia). Il polinomio si può scrivere come $ax^2 + bx + c = a(x - x_1)^2$ .

In questo caso, il polinomio:

Non cambia mai segno $tranne nel punto $x_1$$
Ha lo stesso segno di $a$ per ogni $x \neq x_1$
Si annulla solo in $x = x_1$

Per esempio, con $x^2 - 2x + 1 \ge 0$ , troviamo $x_1 = 1$ come unica soluzione. La disequazione è soddisfatta per ogni $x$ reale, poiché il polinomio è sempre positivo o zero.

🌟 Trucco: con $\Delta = 0$ , le disequazioni $> 0$ o $< 0$ sono soddisfatte per tutti i valori di $x$ tranne $x_1$ , mentre le disequazioni $\ge 0$ o $\le 0$ sono soddisfatte per tutti i valori di $x$ $incluso $x_1$$ o solo per $x = x_1$ .

Il segno della parabola dipende esclusivamente dal segno del coefficiente $a$ , con la differenza che il polinomio tocca l'asse x in un solo punto.

Pensavamo che non l'avreste mai chiesto....

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