Risolvere disequazioni di secondo grado

Per risolvere una disequazione come $x^2 + 5x - 6 < 0$, segui questi passi fondamentali:

1. Scomponi il polinomio in fattori (dopo aver risolto l'equazione associata)
2. Studia il segno di ciascun fattore

Per esempio, scomponendo $x^2 + 5x - 6 = (x + 6)(x - 1)$, troviamo che le radici sono $x = -6$ e $x = 1$. La disequazione $(x + 6)(x - 1) < 0$ è soddisfatta quando i due fattori hanno segni opposti, quindi nell'intervallo $(-6, 1)$.

💡 Ricorda: quando moltiplichi due espressioni, il risultato è negativo solo se un fattore è positivo e l'altro negativo!

Con il coefficiente $a$ positivo, il grafico della parabola è rivolto verso l'alto. Questo significa che il polinomio è positivo all'esterno dell'intervallo tra le radici e negativo al suo interno.

Casi possibili nelle disequazioni di secondo grado

Il discriminante $\Delta = b^2 - 4ac$ determina subito il tipo di soluzione:

Quando $\Delta > 0$ (primo caso), abbiamo due soluzioni distinte $x_1$ e $x_2$. Il segno del polinomio coincide con il segno di $a$ per valori esterni all'intervallo delle radici.

Esempio: per $x^2+x-1>0$ con $a=1$ positivo, la soluzione è $x<\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$ oppure $x>\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$

Quando $\Delta < 0$ (secondo caso), l'equazione non ha soluzioni reali. Il polinomio mantiene lo stesso segno di $a$ per ogni valore di $x$.

🔍 Attenzione: quando lavori con frazioni, devi sempre studiare anche il segno del denominatore per evitare divisioni per zero!

Per disequazioni come $\frac{1}{3x-x^2} \ge 0$, devi prima trovare dove il denominatore si annulla in questo caso $x=0$ e $x=3$ e poi determinare in quali intervalli la frazione soddisfa la disequazione.

Caso particolare: discriminante nullo

Quando $\Delta = 0$, l'equazione ha un'unica soluzione (radice doppia). Il polinomio si può scrivere come $ax^2 + bx + c = a(x - x_1)^2$.

In questo caso, il polinomio:

• Non cambia mai segno tranne nel punto $x_1$
• Ha lo stesso segno di $a$ per ogni $x \neq x_1$
• Si annulla solo in $x = x_1$

Per esempio, con $x^2 - 2x + 1 \ge 0$, troviamo $x_1 = 1$ come unica soluzione. La disequazione è soddisfatta per ogni $x$ reale, poiché il polinomio è sempre positivo o zero.

🌟 Trucco: con $\Delta = 0$, le disequazioni $> 0$ o $< 0$ sono soddisfatte per tutti i valori di $x$ tranne $x_1$, mentre le disequazioni $\ge 0$ o $\le 0$ sono soddisfatte per tutti i valori di $x$ incluso $x_1$ o solo per $x = x_1$.

Il segno della parabola dipende esclusivamente dal segno del coefficiente $a$, con la differenza che il polinomio tocca l'asse x in un solo punto.