Rozkłady prawdopodobieństwa

Dokument omawia kilka ważnych rozkładów prawdopodobieństwa:

1. Rozkład dwumianowy - rozkład zmiennej losowej dyskretnej, oparty na niezależnych doświadczeniach z dwoma możliwymi wynikami: "sukces" lub "porażka".
2. Rozkład Poissona - również rozkład zmiennej losowej dyskretnej, opisujący rzadkie wydarzenia i przedstawiający prawdopodobieństwo, że badane zdarzenie zajdzie określoną liczbę razy.
3. Rozkład normalny - najczęściej spotykany rozkład zmiennej losowej ciągłej.

Highlight: Rozkład normalny jest niezwykle ważny w statystyce, ponieważ każda zmienna losowa może być opisana jako suma wielu niezależnych zdarzeń losowych. Ze względu na swoją popularność, rozkład normalny lub jego aproksymacje są często wykorzystywane podczas wnioskowania statystycznego i testowania hipotez.

Rozkłady powiązane z rozkładem normalnym to:

• Rozkład X² - rozkład sumy kwadratów niezależnych zmiennych losowych o rozkładzie normalnym.
• Rozkład t-studenta - stosowany dla niedużych prób, opisuje rozkład ilorazu dwóch niezależnych zmiennych losowych.

Definition: Estymacja to dział wnioskowania statystycznego obejmujący metody służące do uogólniania wyników badania próby na nieznane parametry całej populacji oraz szacowania błędów takich uogólnień.

Metody estymacji dzielą się na:

1. Estymację punktową - do oszacowania dokładnej wartości szukanego parametru
2. Estymację przedziałową - do oszacowania przedziału, do którego należy poszukiwana wartość

Estymatory i ich właściwości

Estymator to funkcja skonstruowana w celu jak najlepszego szacowania wartości parametrów. Jest on zawsze oparty na rozkładzie próby i z tego powodu obciążony ryzykiem popełnienia błędu szacunku.

Highlight: Cechy optymalnego estymatora:

1. Brak obciążenia
2. Dostateczność
3. Efektywność
4. Zgodność

Dokument omawia dwa kluczowe estymatory:

1. Średnia próby $x z kreską nad$ - najkorzystniejszy estymator średniej w populacji $μ$. Jest nieobciążony, zgodny i efektywny.

Example: Jeżeli próba pochodzi z populacji o rozkładzie normalnym, to rozkład estymatora również jest rozkładem normalnym. Dla innych rozkładów populacji mówimy o asymptotycznie normalnym rozkładzie estymatora.

2. Wariancja próby $s²$ - najkorzystniejszy estymator wariancji populacji. Jest asymptotycznie nieobciążony, zgodny i efektywny.

Te estymatory są kluczowe w statystyce, ponieważ pozwalają na wnioskowanie o parametrach całej populacji na podstawie danych z próby.

Podstawy prawdopodobieństwa i zmienne losowe

Prawdopodobieństwo to szansa na wystąpienie analizowanego zdarzenia. Istnieją dwie główne definicje prawdopodobieństwa:

1. Klasyczna definicja prawdopodobieństwa - określa częstość zdarzeń prowadzących do określonego efektu w stosunku do wszystkich możliwych zdarzeń w doświadczeniu losowym. Ta definicja ma zastosowanie tylko dla skończonych ciągów zdarzeń.
2. Aksjomatyczna definicja prawdopodobieństwa Kołmogorowa - opiera się na trzech aksjomatach:

Definition: Aksjomaty prawdopodobieństwa Kołmogorowa:

1. Prawdopodobieństwo zdarzenia A $P(A$) zawiera się w przedziale $0,1$
2. Prawdopodobieństwo zdarzenia pewnego wynosi 1
3. Prawdopodobieństwo sumy zdarzeń wykluczających się parami jest równe sumie prawdopodobieństw tych zdarzeń

Vocabulary: Aksjomat - zdanie przyjmowane za prawdziwe, nie dowodzi się go w obrębie danej teorii matematycznej.

Zmienna losowa to funkcja przypisująca wszystkim możliwym wynikom doświadczenia liczby w sposób zależny od prawdopodobieństwa uzyskania danego wyniku. Rozróżniamy dwa typy zmiennych losowych:

1. Zmienne dyskretne - gdy przestrzeń zdarzeń elementarnych jest skończona $zbiór wartości jest przeliczalny$
2. Zmienne ciągłe - gdy przestrzeń zdarzeń elementarnych jest ciągła

Highlight: Funkcja gęstości prawdopodobieństwa dla zmiennej losowej X to funkcja, dla której prawdopodobieństwo obserwacji o wartości w przedziale $a,b$ jest równe powierzchni pod krzywą funkcji gęstości prawdopodobieństwa między punktami a i b.

Dystrybuanta zmiennej losowej X w punkcie a to prawdopodobieństwo, że zmienna losowa X przyjmie wartość ≤ a. Może być empiryczna $wyliczana z wyników doświadczeń$ lub teoretyczna $odgórnie znany rozkład prawdopodobieństwa$.