Didascalia alternativa:

+ 35a³b4 - 21a²b5 + 7ab6-b7 1 1 1 1 17 1 2 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 6 15 20 15 6 1 21 35 35 21 7 1 2º SCHEDA EQUAZIONI LINEARI COS'È UN EQUAZIONE? Un'equazione è un'uguaglianza tra due espressioni algebriche, contenenti una o più incognite, che può essere verificata solo per determinati valori attribuiti ad esse. PROCEDIMENTO (INTERA): Svolgere tutte le operazioni basic; Spostare tutti termini con l'incognita da una parte dell'uguale e i termini noti dall'altra (nel fare questo i termini cambiano di segno); Somma algebriche a sinistra e a destra dell'uguale; Trovare l'eventuale soluzione dividendo il termine noto per il coefficiente dell'incognita. PROCEDIMENTO (INTERA): Svolgere tutte le operazioni basic; Spostare tutti termini con l'incognita da una parte dell'uguale e i termini noti dall'altra (nel fare questo i termini cambiano di segno); • Somma algebrica a sinistra e a destra del segno; Eventualmente, cambiare il segno, se il coefficiente dell'incognita è negativo e prestare attenzione a girare il verso del segno; ● DISEQUAZIONI LINEARI COS'È UNA DISEQUAZIONE? Una disequazione è una disuguaglianza tra due espressioni che contengono delle incognite, che è verificata per certi intervalli di valori. Trovare l'eventuale soluzione dividendo il termine noto per il coefficiente dell'incognita. ● PROCEDIMENTO (COEFFICIENTI RAZIONALI): Svolgere tutte le operazioni basic; Individuare il m.c.m tra tutti i denominatori; Per ogni termine fare→ m.c.m : denom. • num; Eliminare il denominatore; Ottenuta una disequazione intera procediamo come al solito. ● PROCEDIMENTO (COEFFICIENTI RAZIONALI): Svolgere tutte le operazioni basic; Individuare il m.c.m tra tutti i denominatori; Per ogni termine fare→ m.c.m: denom. • num; Eliminare il denominatore; Ottenuta un'equazione intera procediamo come al solito. ● ● X1/2 = 3° SCHEDA EQUAZIONI DI SECONDO GRADO Ax² + Bx + C = 0 (forma canonica) Un'equazione di secondo grado può avere massimo due soluzioni: 2 soluzioni cioè 2 soluzioni diverse = DISTINTE 1 soluzione cioè una sola soluzione= COINCIDENTI O soluzioni cioè nessuna soluzione = NULLA Una soluzione è: distinta se A> 0 coincidenti A= 0 nulla se A< 0 A=DELTA si calcola con la seguente formula = B²-4AC oppure [= B² - AC] FORMULA RISOLUTIVA: V.E > V.E > V.I < V.I < A>0 -B± √Ā 2A X₁: X₂ X1 = = −B+√Ā 2A -B-√A 2A A=0 X₁ = X₂ = VALORI ESTERNI (V.E) se il simbolo delle disequazioni è > o > VALORI INTERNI (V.I) se il simbolo delle disequazioni è < o ≤ Δ>0 A=0 x2 DISEQUAZIONI DI SECONDO GRADO Ax² + Bx + C 0 -B 2A A> 0 SEMPRE Se A < 0 bisogna moltiplicare per -1 e invertire il verso del segno Procediamo nel risolvere la disequazione come se fosse un'equazione di secondo grado: Ax² + Bx + C = 0 V.E > V.E > V.I V.I ≤ AMIVI A< 0 X1/2 Nulla A< 0 VALORE CIVETTA Si sostituisce al posto della x un valore opportuno e si valuta la scrittura algebrica Se la scrittura è: VERA→ tutte le soluzioni FALSA→ impossibile ● ● 4° SCHEDA CONDIZIONI DI ESISTENZA Una frazione algebrica può essere pensata come FUNZIONE dei valori, che sostituiti alle variabili non annullano il denominatore, anche detto DOMINIO della frazione algebrica. Per indicare questo insieme si possono usare le CONDIZIONI DI ESISTENZA. Svolgere tutte le operazioni basic; Scomporre i denominatori; Individuare il m.c.m; EQUAZIONI FRATTE PROCEDIMENTO: Per ogni termine fare→ m.c.m.: denom. • num; Eliminare il denominatore con le condizioni di esistenza (C.E); Ottenuta un'equazione intera procedere come al solito. * 2:5 1) ]a; b[ → 2) [a; b] → 3) [a; b[ → 4) ]a; b] → a = non compresa b = non compresa a = compresa b = compresa a = compresa b = non compresa a = non compresa b ● = compresa ● GLI INTERVALLI Insieme di valori continui che partono da un primo valore detto ESTREMO INFERIORE, per giungere ad un altro valore detto ESTREMO SUPERIORE. ● ● ● Svolgere tutte le operazioni basic; Scomporre i denominatori; Individuare il m.c.m; Per ogni termine fare→ m.c.m.: denom. • num; NON eliminare il denominatore imponendo le condizioni di esistenza (C.E); Ottenute due disequazioni intere risolverle separatamente (Num. E Denom.). Ricorda bisogna porre il N>0 o eventualmente ≥0 e il D sempre >0; Si procede alla trascrizione grafica della soluzione nel Grafico dei Segni; DISEQUAZIONI FRATTE PROCEDIMENTO: Si individuerà come soluzione l'intervallo del + se prima di spezzare Num. e Denom. si aveva il > o≥, altrimenti il se si aveva <o<. a a a a b b b b se nè: dispari EQUAZIONE BINOMIA Ax¹ + B = 0 A B -xn=-- A pari ● xn x = 4° SCHEDA EQUAZIONI DI GRADO SUPERIORE AL SECONDO || I x = ± n B n B A I A B A A e B devono Sempre accettata Grafico dei segni N1 x 1 ≥ 0→x ≥ 1 N2 x² - 4 ≥ 0 → V. E essere discordi Scriviamo le soluzioni x ≤-2 V 1 ≤ x ≤2 Se: Scomponiamo il polinomio al primo membro in fattori x²(x-1)- 4(x - 1) ≤0 (x − 1)(x² − 4) ≤ 0 pongo t=x"→ At² + Bt+C =0 x₁ = -2 x₂ = 2 EQUAZIONE TRINOMIA Ax2n + Bx + C = 0 DISEQUAZIONI DI GRADO SUPERIORE AL SECONDO (CON ESEMPIO) Risolviamo la disequazione: x³ – x² ≤ 4x - At² + Bt+C =0_A=... Sostituire x at Infine fare la V -2 A> 0 t₁e t₂ Portiamo tutti i termini al primo membro e riscriviamo la disequazione in forma normale: x³x² - 4x + 4 ≤0 - 4 + B=... C=... A=... A=0 t1/2 (soluzione ad intervalli →]-∞o; -2]V[1; 2]) 2 ☆☆ A<0 Nessuna soluzione + (prendiamo il segno meno perché avevamo ≤) Sº SCHEDA EQUAZIONI IRRAZIONALI CHE COS'È UN EQUAZIONE IRRAZIONALE? Un'equazione è detta irrazionale quando l'incognita è presente al radicando. METODO 1 √A(x) = B(x) questo tipo di equazione si risolve mediante il seguente sistema: {a A(x) > 0 B(x) ≥ 0 A(x)² = [B(x)]² A(x) ≥ 0 B(x) ≥ 0 [A(x)² = √B(x)² ESEMPIO: √²-5 = 2 -3 ³√ A(x)³ = B(x) 3 A(x) = [B(x)]³ x1 = = √5 :-√5 x²-520-V.E 2 ≥ 0 → sempre vera x²5=4 →x = ±3 (accettabili) x2 x²+2x-2 ≥ 0 → V.E x ≥ 0 x² + 2x - 2 = x →x²+x-2=0->> = METODO 2 A(x) = √√B(x) questo tipo di equazione si risolve mediante il seguente sistema: ESEMPIO: √x² + 2x - 2 = √√x x₁ = −1+√3 x₂ =-1-√√3 -√i 2 ESEMPIO: √√x+5=3 x + 5 = 27 x = 275 → x = 22 रौं X₁-2 (non accettabile) x₂ = 1 (accettabile) -1-√3 METODO 3 3 ³√A(x) = B(x) questo tipo di equazione si risolve procedendo in questo modo: 0 √5 12 −1+√3 12 6° SCHEDA VALORE ASSOLUTO CHE COS'È IL VALORE ASSOLUTO? Dato un numero reale x, si chiama valore assoluto (o modulo) di x, e si indica con il simbolo |x|, il numero reale così definito: Osserviamo le sezioni: 1. x < -1 2. 1 ≤ x ≤1 EQUAZIONI CON UN SOLO VALORE ASSOLUTO |x² − 1| = 3 Studiamo la positività dell'argomento del valore assoluto X1 1 X²-1≥0 V.E. x2 3. x ≥ 1 |X| { -1 2. −1≤x≤ 1²/2 3. x ≥ 1/1/2 x sex ≥ 0 -x sex ≤0 = 1 → Osserviamo le sezioni: 1. x < -1 -1 x²1=3x²=4 → -X²+1=3 x² = −2 → x² -1 =3x² =4 → EQUAZIONI CON PIÙ VALORI ASSOLUTI 12x − 1) = x + 2/(1-x) | - x₁ = 2 Non accettabile X₂=-2 Accettabile Impossibile Studiamo la positività degli argomenti dei valori assoluti 1 2x 1 ≥ 0 → x ≥ 1 x + 7 (1 − x) ≥ 0 → x ≥ −1 - -1 = 2 Accettabile X₁ x2 = -2 Non ccettabile 1 2 -2x+1 = -x −¹(1 − x) → 3x = 3 → x = 1 Non accettabile 2x-1=-x-(1-x) → -5x = -1 * = Accettabile 2x-1= x + (1 − x) → 3x = 3 → x = 1 Accettabile S S